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专题 9.6 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
题型二 弦长问题
题型三 三角形（四边形）问题
题型四 中点弦问题
题型五 求参数范围及最值问题
题型六 定点问题
题型七 定值问题
题型八 定直线问题
题型九 圆锥曲线的切线问题
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）已知直线 与双曲线
没有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·上海浦东新·高三统考期中）已知椭圆 ，直线
，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
练习1．（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）直线 ： 与
椭圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
练习2．（2023秋·高二课时练习）已知直线 ，抛物线 ，l与 有一
个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条D．1条、2条或3条
练习3．（2021秋·高三单元测试）讨论直线 与双曲线 的公共点的个
数．
练习4．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知 为坐标原点，双曲线 ：
（ ， ）的左，右焦点分别为 ， ，过左焦点 作斜率为 的直线
与双曲线交于 ， 两点（ 在第一象限）， 是 的中点，若 是等边三角形，
则直线 的斜率为______．
练习5．（2023·全国·高三对口高考）已知实数x，y满足： ，则 的最大值
为（ ）
A． B．2 C． D．5
题型二 弦长问题
例3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线 的焦点 作直线，交
抛物线于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例4．（2023·全国·高三对口高考）过椭圆 的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，
且 ，则这样直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
练习6．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直
线交椭圆于 、 两点，则弦 的长为_________．
练习7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F
的直线与该抛物线交于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则_____________．
练习8．（2023春·广东·高三统考开学考试）设抛物线 的焦点为 ，过点 的直
线与 相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
练习9．（2023·山东·模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 ，与双曲线交于
两点，若 ，则这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
练习10．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知焦点在y轴上的椭圆C，过点
，离心率 直线l: 被椭圆C所截得的弦长为 ，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数 的值.
题型三 三角形（四边形）问题
例5．（2023秋·高二课时练习）正方形ABCD的边AB在直线 上，C、D两点在抛
物线 上，则正方形ABCD的面积为__________．
例6．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
直线 与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
练习11．（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆 的右焦点 的直线 的倾斜
角为 ，交椭圆于A、B两点， 是椭圆的左焦点，求 的周长和面积．练习12．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线 的左、右焦点分别为
， ，以 为直径的圆与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， ， ， 四点.若
，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
练习13．（2023·全国·模拟预测）如图，已知双曲线 的左、右焦点
分别为 为双曲线右支上一点，且 的延长线交 轴于点 ，且 ，
的内切圆半径为4， 的面积为9，则 （ ）
A．18 B．32 C．50 D．14
练习14．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过点F
作两条互相垂直的直线 ， ，且直线 ， 分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形
ADBE面积的最小值是______________.
练习15．（2023秋·高二单元测试）过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则 的面积等于__________．
题型四 中点弦问题
例7．（2023·全国·高三对口高考）直线 截椭圆 所得弦的中点M与
椭圆中心连线 的斜率为_________．
例8．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可
为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
练习16．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）设经过点 的直线与抛物线
相交于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
练习17．（2022秋·高三课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过
原点与线段MN中点的直线的斜率为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为4，离
心率为 ，直线 与 交于 两点， 是线段 的中点， 为坐标原点．若点 的横
坐标为 ，则 的取值范围为______．
练习19．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与 轴重合的直线 经过点
，双曲线 ： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M
的横坐标为 ，若 ，则 的值为_________.练习20．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线
截得弦的中点的横坐标为 ，则椭圆的方程为_________．
题型五 求参数范围及最值问题
例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线
的左焦点为 ，左顶点为 ， 为左准线上动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023秋·高三课时练习）已知抛物线 上三点A，B，C，且
当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习21．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考期中）已知抛物线C的焦点
为F，点A，B在抛物线上，过线段AB的中点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，以
AB为直径的圆过点F，则 的最大值为________．
练习22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知 是平面向量， ，若非零向量
满足 ，向量 满足 ，则 的轨迹方程为__________； 的
最小值为__________.
练习23．（2023秋·重庆·高三校联考期末）若点 依次为双曲线
的左、右焦点，且 ， ， . 若双曲线C上
存在点P，使得 ，则实数b的取值范围为__________.
练习24．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 、 是椭圆 的左、
右焦点，点P是直线 上一点，则 的最大值是（ ）A． B． C． D．
练习25．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，曲
线 按照伸缩变换 后得到曲线方程
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆交于相异的两点 ，且 ，求实数 的取值范围
题型六 定点问题
例11．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为 坐标原点，
， ， 和 交点为 .
(1)求点 的轨迹 ；
(2)直线 和曲线 交与 两点，试判断是否存在定点 使 ？
如果存在，求出 点坐标，不存在请说明理由.
例12．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，
的三个顶点都在抛物线上，且 的重心为抛物线的焦点，若 所在直线l的方
程为 ．
(1)求抛物线S的方程；
(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足 ．试说明动直线 是否
过定点．
练习26．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设 ， ，以线段
为直径的圆经过原点O．
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)过点 作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为 ，试判断直
线 是否恒过定点．
练习27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点 的距离比它到直线l：的距离小 ，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于 ， 两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，
使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且 ？若存在，请求出P点坐标，若不
存在，请说明理由.
练习28．（2023·安徽淮南·统考二模）双曲线 的离心率为 ， 分
别是 的左，右顶点， 是 上异于 的一动点，直线 分别与 轴交于点 ，
请写出所有满足条件 的定点 的坐标______________.
练习29．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正
切值为 .若直线 （ 且 ）与双曲线交于A，B两点，直线 ，
的斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点为_____________.
练习30．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原
点O对称，P是动点，且直线 与 的斜率之积等于 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线 和 分别与直线 交于点M，N,问：是否存在点P使得 与 的
面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型七 定值问题
例13．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆 的焦距为
为椭圆右焦点， .(1)求椭圆 的方程与离心率；
(2)设 为原点， 为椭圆上一点， 的中点为 .直线 与直线 交于点 ，过 且
平行于 的直线与直线 交于点 .求证： .
例14．（安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题）已知双
曲线的标准方程为 ，其中点 为右焦点，过点 作垂直于 轴的垂线，
在第一象限与双曲线相交于点 ，过点 作双曲线渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点 作 的平行线 ，在直线 上任取一点 ，连接 与双曲线相交于点 ，求证
点 到直线 的距离是定值.
练习31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系
中，点 在椭圆 ： 上，从原点 向圆
作两条切线分别与椭圆 交于点 ， ，若直线 ， 的
斜率分别为 ， ，且 ．(1)求圆 的半径 ；
(2)探究 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
练习32．（2023秋·高三课时练习）如图，已知椭圆 的右焦点为
，上顶点为 ，右顶点为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于 的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点 ，求
证： 为定值．
练习33．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：
经过点 ，右焦点为 ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线
l： 上的射影为N，O为坐标原点，设 的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为
， ，证明： 是定值.
练习34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：
如图1，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左
焦点 .我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某
“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为 分别为其左、
右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后（ 在同一直线
上），满足 .(1)当 时，求双曲线的标准方程；
(2)过 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于 两点，点 是线段 的中点，
试探究 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
练习35．（2023·全国·高三对口高考）已知 是抛物线 上一点，经过点
的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线 分别交直线
于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证： 为定值．
题型八 定直线问题
例15．（2023·广西·统考一模）已知抛物线 和圆 ，倾斜
角为45°的直线 过 的焦点且与 相切．
(1)求p的值：
(2)点M在 的准线上，动点A在 上， 在A点处的切线l 交y轴于点B，设
2
，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知双曲线C：
的离心率为 ，过点 的直线l与C左右两支分别交于M，N
两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在
定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由练习36．（2022·高三课时练习）如图，过抛物线 焦点F的直线与抛物线交于A，B
两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D．
(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为 ， ，求 的值；
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上．
练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线E： （p>0），过点 的两
条直线l，l 分别交E于AB两点和C，D两点．当l 的斜率为 时，
1 2 1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
练习38．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：
， ， 为Γ的左、右顶点， 为Γ上一点， 的斜率与 的斜率之积为 ．
过点 且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线 上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定
直线上．
练习39．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称
轴，左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点 的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．
练习40．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线
．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设 ，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线 与曲
线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？
若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
题型九 圆锥曲线的切线问题
例17．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，直
线 与抛物线 在第一象限的交点为 且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过直线 上的点 作抛物线 的两条切线，设切点分别为 ， ，求点
到直线 的距离的最大值.
例18．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆 ．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点 是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 ；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为 ，
求△ 的面积的最小值．
练习41．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知A，B为抛物线 上两点，以
A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为 ，若点P的横坐标
为 ，则 ______.
练习42．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知在平面直角坐标系 中,动点 到点的距离与它到直线 的距离之比为2.记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程;
(2)若 是曲线 上一点,且点 不在 轴上.作 于点 ,证明:曲线 在点 处的切线过
的外心.
练习43．（2023秋·山东滨州·高三统考期末）已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点
的距离与它到直线 的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的
切线过 PQA的外心.
△
练习44．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）椭圆 的左､右焦点分
别为 ，过点 作椭圆的切线，切点为 ，若点 在线段 上，且满足
，则点 的坐标为__________.
练习45．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）设抛物线C： 的焦点为F，过F的
直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线 ， ，若 与 交于点P，且满足
，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
