文档内容
专题 9.5 抛物线
题型一 抛物线的定义与方程
题型二 抛物线方程与位置特征
题型三 距离的最值问题
题型四 实际问题中的抛物线
题型五 抛物线中的三角形和四边形问题
题型六 抛物线的简单几何性质
题型一 抛物线的定义与方程
例1．（2023秋·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q
在抛物线准线上的射影为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线的定义及内错角相等，可得 ，
，可得答案.
【详解】由于 为焦半径，
所以 ，
题中求的是角，故把边转化到角，如图，
则 ，
，
，
又 ，
所以 ，，从而 .
故选：C
例2．（2023·山东烟台·统考三模）设抛物线 的焦点为 ，点 ，
过点 的直线交 于 两点，直线 垂直 轴， ，则 ________．
【答案】
【分析】根据抛物线定义求出 ，再设直线 的方程为 ，得到韦达定理式，
求出 点横坐标，再利用抛物线定义即可求出 的长.
【详解】由题意得 ,因为直线 垂直于 轴, ,准线方程为 ，
所以 点的横坐标为 ,设 ，
根据抛物线的定义知 ，解得 ，
则 ，则 ，可设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程有 可得 ，
，则 ，
则 ，解得 ，则 ，
故答案为： .
练习1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点
到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A． B．C． D． 或
【答案】B
【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为 ，则准线方程为 ，由条件
结合抛物线的定义求出 的值即可.
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为 , ，则准线方程为 ，
由抛物线的定义知，点 到焦点的距离是 ，所以 ，
所以抛物线的方程是： ，
故选：B.
练习2．（2021秋·高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .
【答案】(1) 或
(2) 或 或 或
【分析】（1）由题意方程可设为 或 ,将 代入求解即可;
（2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为 ,即 ,写出抛物线方程即可.
【详解】（1）由题意,方程可设为 或 ,
将点 的坐标代入,得 或 ,
∴ 或 ,
∴所求的抛物线方程为 或 .
（2）由焦点到准线的距离为 ,可知 ,
∴所求抛物线方程为 或 或 或 .
练习3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，
准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ，则抛物线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得
，从而可得答案．
【详解】如图，连接 ，设准线与 轴交点为
抛物线 的焦点为 ，准线 ：
又抛物线的定义可得 ，又 ，所以 为等边三角形，
所以 ，
所以在 中， ，则 ，所以抛物线 的方程为 .
故选：C.
练习4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知抛物线 与圆 ，
过抛物线的焦点 作斜率为 的直线 与抛物线交于 两点，与圆交于 两点（
在 轴的同一侧），若 ，则 的值是___________．
【答案】8
【分析】根据给定条件，写出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并结合圆
的性质及向量等式求解作答.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，于是直线 ： ，显然
，由 消去y得： ，设 ，
则 ，又圆 的圆心为 ，半径为1，
由 ，得 ，即 ，
于是 ，整理得 ，又 ，解得 ，
则 ，解得 ，
所以 的值是8.
故答案为：8
练习5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线 的
焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若 ，则 ___________
【答案】4
【分析】先求出准线 方程为 ，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在
直角梯形 中由平行线得比练习线段，从而可得 ，即 ，从而可得 ．
【详解】易知焦点F的坐标为 ，准线方程为 ，如图，作 于 ，
于 ，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为 ， ，
，
所以 ，又由定义知 ，
所以 .
故答案为：4.
题型二 抛物线方程与位置特征例3．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线 绕其顶点顺时针旋转 之后，正好与
抛物线 重合，则 （ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根据抛物线旋转规律可得，其焦点坐标从 轴负半轴旋转到 轴正半轴，即可得
.
【详解】根据题意可得抛物线 的焦点坐标为 ，
抛物线 的标准方程为 ，可得其焦点坐标为 ，
易知 绕原点顺时针旋转 之后得到 ，即可得 ，
解得 .
故选：A
例4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)焦点为 ，准线方程为 ；
(2)焦点为 ，准线方程为 ．
【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及 ，进而写出焦点坐标和准线
方程；
（2）将抛物线 化成标准方程可得 ，即可写出焦点坐标和准线方程；
【详解】（1）由抛物线方程为 ，可得 ，且焦点在 轴正半轴上，
所以可得其焦点为 ，准线方程为 ；
（2）将 化成标准方程为 ，
可得 ，且焦点在 轴负半轴上，所以焦点为 ，准线方程为 .
练习6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程
与 的曲线大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.
【详解】由 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
方程 化为 ，
由于 ，则方程表示焦点在 轴上开口向左的抛物线.
故选：A.
练习7．（2022·高三单元测试）已知 ，则方程 与 在同一坐标
系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④【答案】B
【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得
到答案.
【详解】对于①：由双曲线的图像可知： ；由抛物线的图像可知： 同号，
矛盾.故①错误；
对于②：由双曲线的图像可知： ；由抛物线的图像可知： 异号，符合要求.
故②成立；
对于③：由椭圆的图像可知： ；由抛物线的图像可知： 同号，且抛物线的
焦点在x轴上，符合要求.故③成立；
对于④：由椭圆的图像可知： ；由抛物线的图像可知： 同号，且抛物线的
焦点在x轴上，矛盾.故④错误；
故选：B
练习8．（2022·高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点 ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】（1）根据抛物线的准线方程为 ，得到 且焦点在y轴上求解；
（2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到 求解；
（3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到 求解；
（4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为 ，将点 代入求解.
(1)
解：因为抛物线的准线方程为 ，
所以 ，p=3，
所以抛物线的方程是 ；其图象如下：(2)
因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以 ，
所以抛物线的方程是 或 ；其图象如下：
(3)
因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以 ，p=4，
所以抛物线的方程是 或 ；其图象如下：(4)
因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为 ，
因为抛物线经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程是 ，其图象如下：
练习9．（2023·全国·模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-
1131）发现了三次方程 的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在
伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出
三次方程的数值解．在平面直角坐标系 上，画抛物线 ，在 轴上取点
，以 为直径画圆，交抛物线于点 ．过 作 轴的垂线，交 轴于点 ．
下面几个值中，哪个是方程 的解？（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出圆的方程，联立圆与抛物线的方程求出P的横坐标满足的方程可得解.
【详解】由题意，圆的方程为 ，如图，
联立 ，
消去 可得： ，
即 ，
可得 或 ，
即P点的横坐标满足方程 ，
故 点的横坐标 可以满足的方程 .
故选：A
练习10．（2022·高三单元测试）（多选）已知 ，则方程 与 在同一坐标系内对应的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先将方程化为标准方程得 ， ，再根据抛物线图形与椭圆或双
曲线图形判断即可.
【详解】解：将对应方程化为标准方程得 ， ，
所以抛物线 的焦点在 轴上，故排除D选项，
对于A选项，由图可知 ， ， ，矛盾，故A错误；
对于B选项，由图可知 ， ， ，满足，故B正确；
对于C选项，由图可知， ， ， ，满足，故C正确；
故选：BC.
题型三 距离的最值问题
例5．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶
点），过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为______.
【答案】3
【分析】设出点 的坐标，结合圆的切线的性质求出 ，再借助式子几何意义作答.
【详解】依题意，设 ，有 ，圆 的圆心 ，半径 ，
于是 ，
因此 ，表示抛物线 上的点 到y轴距离与到定点 的距离的和，
而点 在抛物线 内，当且仅当 是过点 垂直于y轴的直线与抛物线 的交点时，
取得最小值3，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
例6．（2023秋·高三课时练习）若点 的坐标为 ，F为抛物线 的焦点，点
在抛物线上移动，为使 最小，点 的坐标应为__________．
【答案】
【分析】根据 点位置和抛物线方程可得焦点 和准线 ，利用抛物线定义可
知 ，当 三点纵坐标相同时取最小值，即可求得
.
【详解】由 以及抛物线 可知，点 在抛物线内部，如下图所示：抛物线 的焦点坐标 ，准线方程为 ；
作 垂直于准线，垂足为 ，
由抛物线定义可得 ，则 ，
当且仅当 三点共线时， 取最小值 ，
此时 三点纵坐标相同，所以点 的纵坐标为 ，
代入抛物线方程可得 .
故答案为：
练习11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 是抛物线
的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线 上一动点，
则 的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据题意，过点 作 ，垂足为 ，过点 ，垂足为 ，根据抛物线的定义，
转化为 ，结合图象，得到，当且仅当 在一条直线上时，
的最小值，即可求解.
【详解】由抛物线 ，可得焦点坐标为 ，准线方程为 ，
又由曲线 ，可化为 ，
可得圆心坐标为 ，半径 ，
过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，交抛物线于 ，如图所示，
根据抛物线的定义，可得 ，
要使得 取得最小值，只需使得点 与 重合，此时 与 重合，
即 ，当且仅当 在一条直线上时，
所以 的最小值为 .
故答案为： .练习12．（2022秋·河南焦作·高三统考期末）已知 是抛物线 上的一个动点，则点
到直线 和 的距离之和的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】B
【分析】先判断直线 与抛物线的位置关系，过点 作 于点 ， 于点 ，
连接 ，根据抛物线的定义，得到 ，推出 ，结合图形，
可得 ， ， 共线时， 最小，进而可得出结果.
【详解】由 消去 得 ，
因为 ，所以方程 无解，
即直线 与抛物线无交点；
过点 作 于点 ， 于点 ，记抛物线 的焦点为 ，连接 ，
因为 点 到直线 的距离为 , 为抛物线 的准线，
根据抛物的定义可得， ，
则 到直线 和 的距离之和为 ，
若 ， ， 三点不共线，则有 ，
当 ， ， 三点共线，且 位于 之间时， ，
则 ，
又 ，
所以 ，即所求距离和的最小值为 .故选： .
练习13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，
则 的最小值为______.
【答案】 /
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线 上的动点 到直线
和 轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距
离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线 上的动点 作直线 的垂线交直
线于 ，过点 作 轴的垂线交 轴于 ，交准线于 点， 为抛物线焦点，
由 ，得 ，所以 ，如图所示
则 动点 到 轴的距离为
所以 ，
当且仅当 三点共线时， 有最小值，即
(此时 为点 到直线 的距离)，所以 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
练习14．（2023·河南·校联考模拟预测）设P为抛物线C： 上的动点， 关于
P的对称点为B，记P到直线 的距离分别 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 ，再利用抛物线的定义
结合三角不等式求解.
【详解】解：如图，
因为 ，且 关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点 ，
所以
.
当P在线段AF上时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：A
练习15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高级中学有限公司等）2023届高三一模
数学试题）（多选）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，若点 不在抛物线上，且满足 的最小值为 ，则 的值可以为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】ABC
【分析】分类讨论A的位置，再由抛物线的定义转化线段和求最小值或三角形三边关系判
定最小值即可.
【详解】
如上图所示，若A在抛物线内，易知 ，抛物线的准线为 ，
过P作PE垂直于抛物线准线，垂足为E，过A作AB垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛
物线于 ，
由抛物线的定义知 ，当且仅当A、P、B三点共线时，
即 重合时取得最小值， ，
又A在抛物线内，故 ，
所以 ，即 ；
若A在抛物线外，连接AF交抛物线于G点，则 ，
当且仅当 重合时取得最小值，此时即 .综上 .
故选：ABC
题型四 实际问题中的抛物线
例7．（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶距离水
面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为
，根据抛物线过点 ，求出 的值，即可得到抛物线方程，再令 ，
求出 的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为 ，
又抛物线过点 ，则 ，解得 ，
则抛物线的方程为 ，当 时， ，故当水面宽度为 米时，拱顶与水面之间的距离为 米.
故选：D
例8．（2023春·广东韶关·高三校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一
长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶
部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限
制高度为______m.
【答案】3.8
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则 ， ， ， ，
如图可设，抛物线方程为 ，将 代入，可得 ，求得 ，
故抛物线方程为 ，
将 代入抛物线方程，可得 ，
.
故答案为：3.8.
练习16．（2023春·广西南宁·高三统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，
神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自
豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以
轴为对称轴， 为顶点的抛物线的一部分（从点 到点 ）.已知观测点A的坐标
，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点 的坐标；
(2)求航天器降落点 与观测点A之间的距离.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）设出点 ，利用 的距离和椭圆方程可求出点 的坐标；
（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.
【详解】（1）设 ，由题意， ，即 ，
又 ，联立解得 或 （舍），当 时， ，
故 的坐标为 .
（2）由题意设抛物线的方程为 ，
因为抛物线经过点 ， ，
所以 ， ，解得 ，即 ；
令 可得 或 （舍），即 ；
所以 ，
所以航天器降落点 与观测点A之间的距离为3.
练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部
的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别
是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.(1)求杠杆AB的长度；
(2)求等腰梯形的周长.
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】（1）以 所在的直线为 轴， 为原点， 的垂直平分线为 轴建立平面直角
坐标系，设 分别与 轴的交点为 点，根据已知条件求出
坐标，设抛物线的解析式为 ，代入 求出抛物线方程，令 解得
可得答案；
（2）由（1） 米，设 ，直线 的解析式为
，把 代入解得 ，利用直线 的解析式与抛物线方程联立，再由
解得 ，可得 ， A，B分别是PS和QR的中点得 ，从
而得出答案.
【详解】（1）以 所在的直线为 轴， 为原点， 的垂直平分线为 轴建立平面直角
坐标系，
设 分别与 轴的交点为 点，则 轴为图象的对称轴，
且 ， ， 米， ，
所以 ，设抛物线的解析式为 ，
代入 得 解得 ，所以 ，
当 时 ，解得 ，所以 ，
所以 （米），
所以杠杆AB的长度为 米；
（2）由（1） 米， ，设 ，且 ，
直线 的解析式为 ，把 代入得 ，解得 ，
所以直线 的解析式为 ，与抛物线方程联立得
，
因为PS和QR分别与抛物线相切于A，B，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
经检验， 是分式方程的根，符合题意，
所以 ，由勾股定理得 米，
因为A，B分别是PS和QR的中点，所以 米，
所以 米，
即等腰梯形的周长为 米.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）有一正方形景区 ， 所在直线是一条公路，
该景区的垃圾可送到位于 点的垃圾回收站或公路 上的流动垃圾回收车，于是，景区
分为两个区域 和 ，其中 中的垃圾送到流动垃圾回收车较近， 中的垃圾送到垃圾回
收站较近，景区内 和 的分界线为曲线 ，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点
为 的中点，点 的坐标为 ．(1)求景区内的分界线 的方程；
(2)为了证明 与 的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线
在点 处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；
思路②：设直线 ： ，分界线 恒在直线 的下方（可以接触），求 的最小值，
借助于直线 与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明
上述结论．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据给定信息，可得分界线上任意点到点F与直线EH距离相等，再列出方
程化简作答.
（2）选①，求出分界线 在点 处的切线方程，再求出该切线与y轴分正方形所成两部分
面积差即可；选②，借助恒成立求出b的最小值得直线L，再求出直线L与y轴分正方形所
成两部分面积差即可.
【详解】（1）分界线C上任意点到点F与直线EH距离相等，直线EH： ，点
，设分界线C上任意一点为 ，
于是得 ，整理得 ，
所以景区内的分界线 的方程： .
（2）选①：点 的坐标为 ，显然切线斜率存在，设切线方程为 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
因此分界线 在点 处的切线方程为 ，设切线交 轴于点 ，则 ，
梯形 面积 ，显然 ，因此 ，
所以 ．
选②：依题意， 对 恒成立，即 ，
而 ，当且仅当 时取等号，则 ，
即 的最小值为1，直线 方程为 ，设直线 交 轴于点 ，则 ，梯形 面积 ，显然 ，因此 ，
所以 ．
练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛
物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采
用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、
方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比
值 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈
源的方向角 满足， ，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ， ，
代入抛物线方程可得 ，根据 ，解得 与 的关系，即可得出 ．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得： ，解得 ，
由于 ，得 或 （舍）
又 ，化为： ，
解得 或 （舍）
.
故选：C.
练习20．（2023·全国·高二专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太
阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，
如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面
是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是 ，灯深 ，则光源到
反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为 轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得 .
设抛物线的标准方程为 ，于是 ，解得 .
所以抛物线的焦点到顶点的距离为 ，即光源到反射镜顶点的距离为 .
故选：B.
题型五 抛物线中的三角形和四边形问题
例9．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线 的焦点为 ，
准线 与坐标轴交于点 是抛物线上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.
【详解】由 ，
得 ，
则 ，
根据抛物线的定义知 2，
解得 ，
代入 ，
得 ，
所以 的面积为 .
故选：D.
例10．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、
是 上异于点 的两点（ 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于
点 ，则 的最小值为_________．
【答案】1【分析】结合图形，利用抛物线的定义和基本不等式即可求解.
【详解】
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
因为
，
所以 ，则 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立．
故答案为： .
练习21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设抛物线 ：
（ ）焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ．
设 ， 与 相交于 ．若 ，且 的面积为 ，则抛物线的方
程为________________.
【答案】
【分析】由抛物线定义可得四边形 为平行四边形，故 可得点 即
得抛物线方程.
【详解】如图所示， ， ．所以 ．
轴， ， ，
所以四边形 为平行四边形，
， ．
，解得 ，
代入 可取 ，
，
解得 ． .
故答案为： .
练习22．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）设O为坐标原点， F为抛物线C：
的焦点，过焦点F且倾斜角为 的直线 与抛物线C交于M，N两点（点N
在第一象限），当 时， ，则 ____________，
【答案】
【分析】运用抛物线定义及相似三角形性质可求得结果.
【详解】设直线l与抛物线准线交于点E，过点M作准线的垂线垂足为B，准线与y轴交于
点G，如图所示，
则 ，
由抛物线定义知， ，所以在 中， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，
所以 .
故答案为：3.
练习23．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂
线，垂足为 ，则 的最小值为____．
【答案】
【分析】运用抛物线定义及作差法比较大小可求得结果.
【详解】如图所示，设抛物线的准线为 ，作 于点 ， 于点 ，
由抛物线的定义可设： ， ，
因为 ，
所以由勾股定理可知： ，
由梯形中位线的性质可得： ，
又因为 ，当且仅当
时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
又因为 ， ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
练习24．（2023·全国·模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，点A，B在抛物线上，
且 的重心坐标为 ，则 （ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点 的坐标，利用三角形重心坐标公
式结合斜率坐标公式求出弦AB长的表达式，再利用抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线： 的焦点 ，准线方程为 ，设点 ，
由 的重心为 ，得 ， ，解得 ，
，
直线 的斜率 ，则
，
又 ，所以.
故选：D
练习25．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线 的焦
点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则 的最大值为
______．
【答案】
【分析】先根据抛物线定义转化为 ，再联立直线和抛物线得出切线斜率即
可求出最大值.
【详解】由题意可知， ， ．如图所示，过 作 ，垂足为 ，因为
，所以 ．
只要 最小，满足题意，即 最小，结合图形可知， 与 相切时，
最小．
设直线 的方程为 ．
由 得， ，
由 ，解之得 或 （舍去），
此时 ， 取得最大值 ．
故答案为：
题型六 抛物线的简单几何性质
例11．（2023·全国·高三对口高考）已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合抛物线的对称性，得到 关于 轴对称，设直线 的方程为
，由 的垂心恰好是抛物线的焦点 ，得到 ，根据 ，
列出方程，即可求解.
【详解】由点 是抛物线 上的两点，且 ，
根据抛物线的对称性，可得 关于 轴对称，
设直线 的方程为 ，则 ，
因为 的垂心恰好是抛物线的焦点 ，
所以 ，可得 ，即 ，
解得 ，即直线 的方程为 .
故选：C.
例12．（2022秋·重庆·高三统考期末）已知 ，则方程 表示的
曲线可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由方程 得 或 ，通过分类讨论，
结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.
【详解】方程 ，得 或 ，
当 时，则有 或 ，分别表示开口向上的抛物线满足
的部分和斜率为正且在 轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；
当 时，则有 或 ，分别表示开口向上的抛物线满足
的部分和斜率为负且在 轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，
综上，方程 表示的曲线可能是C.
故选：C.
练习26．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）（多选）对于抛物线
，下列描述不正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．准线方程为 D．准线方程为
【答案】BC
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以抛物线开口向上，焦点为 ，其准线方程
为 ，结合选项可得A,D正确.
故选：BC.
练习27．（2023秋·高三课时练习）抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． 时为 时 B． 时为 时为C． D．
【答案】C
【分析】抛物线 化为 ，分 ， 两种情况讨论求解，
综合即可得出答案.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，抛物线 的焦点坐标
为 .
抛物线 化为 ，
当 时，其表示焦点在 轴正半轴上，开口向上的抛物线， ，故焦点坐标为 ；
当 时，其表示焦点在 轴负半轴上，开口向下的抛物线， ，故焦点坐标为
即 ，
综上，抛物线 的焦点坐标为 .
故选：C.
练习28．（2023秋·高三课时练习）抛物线 上一点到准线和抛物线的对称轴
距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．
【答案】1或9
【分析】设该点的坐标为 ，根据题中条件列出方程组求解即可.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，对称轴为 轴，
设该点的坐标为 ，
由题意可得， ，则 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 或 .
故答案为：1或9.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，P为C上一点， ，，当 最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】设 ，由抛物线的定义可得 ， ，设
化简 可得当 时， 取得最小值，求出 的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线 ，则焦点为 ，准线为 ，
又 ， ，则点 为抛物线的焦点，
过 作准线的垂线，垂足为 ，
设 ，则 ，故 ，
由抛物线的定义可得 ，
，
又 ，则设 故 ，
则
，
当 时， 取得最小值为 ，则 ， ，
将 代入抛物线可得 ，所以
故选：A
练习30．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线 的焦点为F，
点A，B在抛物线上．若 ，则当 取得最大值时，___________．
【答案】 或4
【分析】利用余弦定理可得 ，再利用基本不等式可求得
的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得 的值．
【详解】在 中，由余弦定理可得 ．
， ．
， ，当且仅当 时，等号成立．
根据抛物线的对称性可知， 或 ，
或4．
故答案为： 或4．
