文档内容
专题 9.5 抛物线
题型一 抛物线的定义与方程
题型二 抛物线方程与位置特征
题型三 距离的最值问题
题型四 实际问题中的抛物线
题型五 抛物线中的三角形和四边形问题
题型六 抛物线的简单几何性质
题型一 抛物线的定义与方程
例1．（2023秋·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q
在抛物线准线上的射影为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山东烟台·统考三模）设抛物线 的焦点为 ，点 ，
过点 的直线交 于 两点，直线 垂直 轴， ，则 ________．
练习1．（2023秋·高三课时练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点
到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
练习2．（2021秋·高三课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:
(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点 ;
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 .
练习3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，
准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
练习4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知抛物线 与圆 ，
过抛物线的焦点 作斜率为 的直线 与抛物线交于 两点，与圆交于 两点（
在 轴的同一侧），若 ，则 的值是___________．
练习5．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线 的
焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若 ，则 ___________
题型二 抛物线方程与位置特征
例3．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线 绕其顶点顺时针旋转 之后，正好与
抛物线 重合，则 （ ）
A． B． C．-2 D．2
例4．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1) ；
(2) ．
练习6．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）在同一坐标系中，方程
与 的曲线大致是（ ）
A． B．C． D．
练习7．（2022·高三单元测试）已知 ，则方程 与 在同一坐标
系内对应的图形编号可能是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
练习8．（2022·高三课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为 ；
(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是y轴，经过点 ．
练习9．（2023·全国·模拟预测）十一世纪，波斯（今伊朗）诗人奥马尔·海亚姆（约1048-
1131）发现了三次方程 的几何求解方法，如图是他的手稿，目前存放在
伊朗的德黑兰大学．奥马尔采用了圆锥曲线的工具，画出图像后，可通过测量的方式求出
三次方程的数值解．在平面直角坐标系 上，画抛物线 ，在 轴上取点
，以 为直径画圆，交抛物线于点 ．过 作 轴的垂线，交 轴于点 ．
下面几个值中，哪个是方程 的解？（ ）A． B． C． D．
练习10．（2022·高三单元测试）（多选）已知 ，则方程 与 在
同一坐标系内对应的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 距离的最值问题
例5．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶
点），过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为______.
例6．（2023秋·高三课时练习）若点 的坐标为 ，F为抛物线 的焦点，点
在抛物线上移动，为使 最小，点 的坐标应为__________．练习11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 是抛物线
的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线 上一动点，
则 的最小值为_______．
练习12．（2022秋·河南焦作·高三统考期末）已知 是抛物线 上的一个动点，则点
到直线 和 的距离之和的最小值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
练习13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，
则 的最小值为______.
练习14．（2023·河南·校联考模拟预测）设P为抛物线C： 上的动点， 关于
P的对称点为B，记P到直线 的距离分别 ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
练习15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高级中学有限公司等）2023届高三一模
数学试题）（多选）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的动点，若点 不在抛物线
上，且满足 的最小值为 ，则 的值可以为（ ）
A． B．3 C． D．
题型四 实际问题中的抛物线
例7．（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶距离水
面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
例8．（2023春·广东韶关·高三校考阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一
长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶
部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限
制高度为______m.
练习16．（2023春·广西南宁·高三统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，
神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自
豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的
轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以
轴为对称轴， 为顶点的抛物线的一部分（从点 到点 ）.已知观测点A的坐标
，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令.
(1)求航天器变轨时点 的坐标；(2)求航天器降落点 与观测点A之间的距离.
练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部
的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别
是PS和QR的中点.梯形的高和CD的长度都是4米.
(1)求杠杆AB的长度；
(2)求等腰梯形的周长.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）有一正方形景区 ， 所在直线是一条公路，
该景区的垃圾可送到位于 点的垃圾回收站或公路 上的流动垃圾回收车，于是，景区
分为两个区域 和 ，其中 中的垃圾送到流动垃圾回收车较近， 中的垃圾送到垃圾回
收站较近，景区内 和 的分界线为曲线 ，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点
为 的中点，点 的坐标为 ．
(1)求景区内的分界线 的方程；
(2)为了证明 与 的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线
在点 处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；
思路②：设直线 ： ，分界线 恒在直线 的下方（可以接触），求 的最小值，
借助于直线 与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明
上述结论．
练习19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如图1所示，抛物面天线是指由抛
物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采
用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比
值 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈
源的方向角 满足， ，则其焦径比为（ ）
A． B． C． D．
练习20．（2023·全国·高二专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太
阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，
如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面
是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是 ，灯深 ，则光源到
反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型五 抛物线中的三角形和四边形问题
例9．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线 的焦点为 ，
准线 与坐标轴交于点 是抛物线上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
例10．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、
是 上异于点 的两点（ 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为_________．
练习21．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设抛物线 ：
（ ）焦点为 ，准线为 ，过第一象限内的抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ．
设 ， 与 相交于 ．若 ，且 的面积为 ，则抛物线的方
程为________________.
练习22．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）设O为坐标原点， F为抛物线C：
的焦点，过焦点F且倾斜角为 的直线 与抛物线C交于M，N两点（点N
在第一象限），当 时， ，则 ____________，
练习23．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点， ，线段 的中点为 ，过点 作抛物线 的准线的垂
线，垂足为 ，则 的最小值为____．
练习24．（2023·全国·模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，点A，B在抛物线上，
且 的重心坐标为 ，则 （ ）
A． B．6 C． D．
练习25．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线 的
焦点为F，准线l交x轴于点E，过F的直线与C在第一象限的交点为A，则 的最大值
为______．
题型六 抛物线的简单几何性质
例11．（2023·全国·高三对口高考）已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
例12．（2022秋·重庆·高三统考期末）已知 ，则方程 表示的
曲线可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习26．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）（多选）对于抛物线
，下列描述不正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．准线方程为 D．准线方程为
练习27．（2023秋·高三课时练习）抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． 时为 时 B． 时为 时为
C． D．
练习28．（2023秋·高三课时练习）抛物线 上一点到准线和抛物线的对称轴
距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，P为C上一点， ，
，当 最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
练习30．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线 的焦点为F，
点A，B在抛物线上．若 ，则当 取得最大值时，
___________．
