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第 03 讲 勾股定理的应用
1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和
爆破、航行和信号塔、速度等问题）.
2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
知识点01 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三
角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考
的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．题型01 求梯子滑落高度
【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，
，这时，梯子的底端 到墙底 的距离 为 ．
(1)求此时梯子的顶端 距地面的高度 ．
(2)如果梯子的顶端 沿墙下滑 ，那么梯子底端 外移 吗？通过计算说明你的结论．
【变式1】（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯 斜靠在建筑物的侧墙
上， 长7米．
(1)求梯子上端到墙的底端E的距离 的长；
(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？
【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙 ， 长为 ， 为 ．
(1)求梯子 的长．
(2)梯子的顶端A沿墙下滑 到点C，梯子底端B外移到点D，求 的长．题型02 求旗杆高度
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙 的顶部 处安装了一根安全
绳 ，让它垂到地面时比墙高多出了 米，教练把绳子的下端 拉开 米后，发现其下端刚好接触地面
（即 米）， ，求攀岩墙 的高度．
【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为
了测得下图风筝 的高度，他们进行了如下操作：
（1）测得 的长度为 米；
（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米；
（3）牵线放风筝的小明身高 米，求风筝的高度 ．
【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的
高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
题型03 求小鸟飞行距离
【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的
最短路程是________．
【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点
处，则小鸟至少要飞行多少米？
题型04 求大树折断前的高度
【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著
作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，
末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高 丈( 丈 尺)，中部有一处折断，竹梢
触地面处离竹根 尺，试问折断处离地面多高？
【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，
树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？
【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高 ，因刮大风旗杆从点 处折断，顶部 着地且离旗杆底部的距离 ．
(1)求旗杆折断处 点距离地面的高度 ；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点 的下方 的点 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的
旗杆从点 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的 处，形成一个直角 ，请求出 的长．
题型05 解决水杯中筷子问题
【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 ，高是 ，上底
面中心有一个小圆孔，则一条长 的直吸管露在罐外部分 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不
计）范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，
葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈 尺）
其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长 的筷子，置于底面直径为 ，
高为 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是 ，则h的取值范围是________．
题型06 解决航海问题
【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 处测得小岛 位于北偏东
方向上，继续向东航行 海里到达点 处，测得小岛 在轮船的北偏东 方向上，此时轮船与小岛
的距离为____海里．
【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线
上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西 方向航行，每小时30海里，
乙船沿北偏东 方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？
【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东
的方向航行 到达B港口，然后再沿北偏西 方向航行 到达C港口．(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）
(2)C港口在A港口的什么方向．
题型07 求台阶上地毯长度
【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米， 米，
米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（ ）
A．65 B．85 C．90 D．150
【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5
米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高
5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要
_______________元．题型08 判断汽车是否超速
【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速 ，如图，一辆小汽车在这条道路上
沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处，过了 ，小汽车到达B处，
此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．
(1)求 的长；
(2)这辆小汽车超速了吗？
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速 的街路上沿直道行驶，某一
时刻刚好行驶到路面车速检测仪 A的正前方 处的C点，过了 后，测得小汽车所在的B点与车速检
测仪A之间的距离为 ．
(1)求B，C间的距离．
(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面
车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；
(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
题型09 判断是否受台风影响
【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强
的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向 由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB
上的两点A、B的距离分别为 ， ，又 ，经测量，距离台风中心
及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的
B处有一台风中心正以 的速度向 方向移动，已知城市A到 的距离 ，那么：
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为 ）最好选择什么方向？
【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路 由点A向点B行驶，
已知点C为一所学校，且点C与直线 上两点A，B的距离分别为200m和150m， ，环卫车周
围 以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
题型10 求最短路径
【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A环绕油罐
建梯子，正好到A点的正上方点B，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高 是5米）
【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体 中，点E是棱 的中点，已知
cm， cm， cm．一只小虫从A点出发沿长方体的表面到E点处觅食，求小虫爬行的最
短距离．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的
长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从正面
看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块
的侧面展开图，并用实线连接 ．
(2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____．
(4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____．
题型11 选址使到两地距离相等
【典例1】（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中 所
在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处， 于点A， 于点B，
已知 ，问：图书室E应建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校
的距离相等？【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上 、 两点相距 千米， 、 为两居民
区， 于 ， 于 ，已知 千米， 千米，现要在公路 段上建一超市 ，使
、 两居民区到 的距离相等，则超市 应建在离 处多远处．
【变式2】（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的 所在的直
线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点 和点 处， 于 ， 于 ，已知，
， ， ，试问，图书室 应该建在距点 多少 知处．才能使它到两
所学校的距离相等？一、选择题
1．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛
期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风
中距地面 处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为 ，这棵大树在折断前的高度为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西 方向的点
A处，一艘渔船在观测站P的南偏东 方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、
60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（
）
A． 小时 B．2小时 C． 小时 D．4小时
3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为 和 ，
高为 ，将一支长为 的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的
最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推
6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长
是（ ）A． m B． m C．6m D． m
5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长 ，宽
，高 ，点M在 上，且 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到
点M，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面 的 处向地面拉一条长为 的钢缆，
则地面钢缆 到电线杆底部 的距离是______ ．
7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米
一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米
8．（2023春·八年级课时练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到
达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路 和公路 在点 处交汇， ，公路
上 处距离 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路
上沿 方向以72千米/小时的速度行驶时， 处受到噪音影响的时间为________秒．
10．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离
杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为___________ ．（杯壁厚度不计）
三、解答题
11．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走
向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多
高？
12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，铁路上 ， 两点相距 ， ， 为两村庄，
于点 ， 于点 ，已知 ， ，现在要在铁路 上建一个土特产品收
购站 ，使得 ， 两村到 站的距离相等，则 站应建在离 站多少 处？13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，
以每小时40 km的速度向北偏东60°的 方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？
14．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B
两村到河岸的距离分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两
村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．
(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一架长10米的梯子 ，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离
墙 6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
16．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽
着绳子另一端向右走，绳端从点 移动到点 ，同时小船从点 移动到点 ，且绳长始终保持不变，回答
下列问题：
(1)根据题意，可知 ________ （填“ ”“ ”“ ”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离 （结果保留根号）．
17．（2023·江苏·八年级假期作业）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起
来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标
语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处
有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在
公路MN上沿MN方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
18．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下
三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体
表而爬到点C 处；
1
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体
侧面爬到点C处．
