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第 02 讲 平行线的判定与性质(5 类热点题型讲练)
1.了解并掌握平行线的判定公理和定理；
2.了解证明的一般步骤；
3.理解并掌握平行线的性质公理和定理；
4.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明.
知识点01 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
知识点02 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.题型01 同位角相等，两直线平行
例题：（2023春·四川雅安·七年级校考期中）如图，直线 、 分别与 相交于点 、 ，已知
， ，试说明： ．
【答案】见解析
【分析】根据对顶角相等得出 ，进而根据 ，即可得证．
【详解】解：如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，
．
求证：
【答案】见解析
【分析】利用全等三角形的判定和性质定理及平行线的判定解答即可．【详解】证明： ，
，
．
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，正确利用全等三角形的判定定理进行
解答是解题的关键．
2．（2023秋·福建南平·八年级校考阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一直线上， ， ，
，求证：
(1)
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 得到 ，然后利用 判定定理证明 ，再根据全等三
角形的性质即可得出结论．
（2）根据（1）知 ，则 ，再根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴
∴ ；
（2）证明：由（1）知 ，∴
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的
关键．
题型02 内错角相等，两直线平行
例题：（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图所示，已知 ， 平分 ，试说明 ．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的定义得出 ，再推出 ，利用内错角相等，两直线平行证明即
可．
【详解】证明：∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出 ．
【变式训练】
1．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，点A，B，C，D在同一直线上，
， ， ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】先根据根据 证明 ，进而得到 ，最后根据平行线的判定定理证
明即可.
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是证出 .
2．（2023秋·山西朔州·八年级校联考阶段练习）如图，点C，D在 上，且 ， ，
．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求出 ，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）证明：
，
，
，
在 和 中
，
；
（2）证明： ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关
键．
题型03 同旁内角互补，两直线平行
例题：（2023秋·七年级课时练习）如图，已知 平分 平分 ，且 与 互余．试说明：
．【答案】证明见解析．
【分析】根据余角定义得到 ，由角平分线定义求出 ，由此推出 ．
【详解】解： 与 互余，
平分 平分 ，
．
．
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，直线 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）如图，已知 ，求证：
∥【答案】见解析
【分析】先根据垂直的定义可得 ，进而得到 ，然后根据“同旁内角互补，
两直线平行”即可证明即可．
【详解】解：∵ （已知），
∴ （垂直的定义），
∵ （已知），
∴ ，即 ．
∴ （同旁内角互补，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查平行线的判定、垂直定义等知识点，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
题型04 垂直于同一直线的两直线平行
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知 ，点D在线段 上，求
证： // ．
【答案】见解析
【分析】由 ，推导 ，再由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”推导
，结合已知条件推导 ，最后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明
// ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定条件与性质．
【变式训练】
1．（2023春·湖南邵阳·七年级统考期末）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若 ， ，则a
c．【答案】
【分析】根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的
关键．
2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EP⊥AB，∠1＝
∠2．求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴DG//AC．
∴∠2＝ ；（ ）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （等量代换）．
∴EF//CD（ ）．
∴∠AEF＝∠ ．
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝ °（ ）．
∴CD⊥AB （ ）．
【答案】答案见解析
【分析】直接利用“同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行”、平行线的判定与性质、垂直的
定义、等量代换等依次判断即可．
【详解】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴DG//AC．
∴∠2＝ ∠ ACD ；（两直线平行，内错角相等）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ ∠ ACD （等量代换）．
∴EF//CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEF＝∠ ADC ．∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝ 90 °（等量代换）．
∴CD⊥AB （垂直定义）．
【点睛】本题考查了垂线的性质、平行线的判定与性质、垂直的定义、等量代换等知识，解题关键是牢记
相关概念与性质．
题型05 平行线的判定与性质综合
例题：（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）已知：如图， ， ．
(1)求证： ．
(2)若 平分 ， 平分 ，且 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质可得 ，从而可有 ，即可说明 ；
（2）由 ，得 ，由角平分线的定义可求得 的度数．
【详解】（1）解：证明： ，
，
又 ，
，
．
（2）由（1）得： ，
，
， ，
平分 ，
，
，
平分 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定定理与性质定理是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图， ．(1)求证： ．
(2)若 平分 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1） 与 是邻补角，则 ，结合已知得出 ，根据内错角相等，
两直线平行判定即可；
（2）根据 可得 ，由于 ，所以得到 ，判定 ，根据
，利用角平分线的定义即可求出 的度数．
【详解】（1）证明： 与 是邻补角，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角
的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定
和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）如图，在四边形 中， ，点E，F分别在
的延长线上，且 ．(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如果 平分 ，且 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由同角的补角相等，得 ，进而得 ，于是 ；
（2）由平行线性质，得 ，进而得 ，于是 ；
（3） ，由角平分线定义，得 ，于是 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质；掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．一、单选题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论判断求解即可．
【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故①错误，不符合题意；
②平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确，符合题意;
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意；
④同旁内角互补，两直线平行，故④错误，不符合题意；
只有一个正确；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定与性质；平行公理及
推论是解题的关键．
2．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据平行线的判定与性质进行判断即可．
【详解】解：若 ，则 ，故A选项不符合题意；
若 ，则 ，故B选项不符合题意；若 ，则 ，故C选项符合题意；
若 ，则 ，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）如图，直线 ， ，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”，三角形内角和定理作相应判断；
【详解】解：A. ；
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．原结论错误，本选项不合题意；
B. ；
∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
原结论错误，本选项不合题意；
C. ，
∵
∴ ，结论正确，本选项符合题意；
D. ；无法得证，原结论错误，本选项不合题意；
故选：C
【点睛】本题考查平行线的判定；熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
4．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图， ， ，
，判断 与 的大小关系（ ）A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形锐角互余即可求解；
【详解】过C作 于H，
， ，
H、C、D三点共线，
则 ，
∵ ，
∴ ，
，
；
故选：C
【点睛】该题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解答该题的关键是将角度进行等量转换
二、填空题
5．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题解答即可．
【详解】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一
个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
6．（2023春·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图， ，则 的度数是
．【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【详解】解： ，
，
，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
7．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，已知 ，
（1）当 时， ，理由是： ；
（2）在（1）的条件下，若 ，则 ．
【答案】 同旁内角互补，两直线平行
【分析】（1） ，由“同旁内角互补，两直线平行”即可求解；
（2）可得 ，即可求解．
【详解】解：（1）因为当 时， ，
由“同旁内角互补，两直线平行”得：
，
故答案： ，同旁内角互补，两直线平行．
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．8．（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）若 和 的两边分别平行，且 比 的两倍少 ，则
的度数为
【答案】 或
【分析】根据平行线的性质，分类讨论：当 ；当 ，即可．
【详解】∵ 和 的两边分别平行，
∴当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质，学会分类讨论的解题思路．
三、证明题
9．（2023秋·广东惠州·八年级校考开学考试）已知，如图， ， ，求证：
请完成下面证明过程的填空：
∵ （已知）
∴______∥______（内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，______）
又∵ （已知）
∴ （______）
∴ （______）
【答案】 ， ，内错角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵ （已知）
∴ （内错角相等，两直线平行）∴ （两直线平行，内错角相等）
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （内错角相等，两直线平行）
故答案为： ， ，内错角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用．
10．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）看图填写，已知：如图， ， ， ．
求证： 平分 ．
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ （___________）（填推理依据），
∴ ___________（两直线平行，同位角相等），
（___________）（填推理依据），
又∵ ，∴ ___________，
∴ 平分 ．
【答案】同位角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等； ．
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ （同位角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
又∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
故答案为：同位角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等； ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，
两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位
角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．11．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图， ，点 ， ， 在同一条直线上.
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求线段 的长.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形全等的性质得到 ，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论；
（2）根据三角形全等的性质得到 ， ，根据 即可求出最后结果．
【详解】（1）证明： ，
，
；
（2） ，
， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键．
12．（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）如图，三角形 中， 是 上一点， 是 上一点，点
， 在 上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的判定及性质即可求证结论．
（2）利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
13．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）已知：如图， 平分 ，点 在 上，点 在
上，连接 、 ， 与 相交于点 ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意和对顶角相等得到 ，根据平行线的性质和判定即可证得．
（2）根据角平分线的性质求出 ，由（1） ，根据平角的定义即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
．
（2）解： 平分 ，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质与判定，掌握角平分线的性质，平行线的性质与判定
是解题的关键．
14．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过P作 ，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作 ，如图，
∴ ，
∵ （已知），
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，∴ ，
故答案为： ；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1， 中， 的平分线交于O点，过O点作
平行线交 于D、E．
(1)请写出图1中线段 之间的数量关系？并说明理由．
(2)如图2， 若 的平分线与 的外角平分线交于O，过点O作 平行线交 于D，交
于E．那么 之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1） 和 的平分线相交于点O， ，所以 ，进而 ，即可求解；
（2） 和 的平分线相交于点O，所以 ，过O点作 平行线
交 于D、E．得 ，进而即可求解；
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 和 的平分线相交于点O，
∴ ， ，
∵过O点作 平行线交 于D、E．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2） ，理由如下：
∵ 和 的平分线相交于点O，
∴ ，
∵过O点作 平行线交 于D、E．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及证明，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
