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第 02 讲 平行线的判定与性质(5 类热点题型讲练)
1.了解并掌握平行线的判定公理和定理；
2.了解证明的一般步骤；
3.理解并掌握平行线的性质公理和定理；
4.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明.
知识点01 平行线的判定
1）判定方法一：同位角相等，两直线平行.
2）判定方法二：内错角相等，两直线平行.
3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行.
4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l （用共面知识可证明，此处不证）
1 3 2 3 1 2.
知识点02 平行线的性质
1）两直线平行，同位角相等;
2）两直线平行，内错角相等;
3）两直线平行，同旁内角互补.
注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系.题型01 同位角相等，两直线平行
例题：（2023春·四川雅安·七年级校考期中）如图，直线 、 分别与 相交于点 、 ，已知
， ，试说明： ．
【变式训练】
1．（2023秋·广西玉林·八年级校考阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，
．
求证：
2．（2023秋·福建南平·八年级校考阶段练习）如图，点B，E，C，F在同一直线上， ， ，
，求证：
(1)
(2)题型02 内错角相等，两直线平行
例题：（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图所示，已知 ， 平分 ，试说明 ．
【变式训练】
1．（2023秋·山东临沂·八年级临沂第九中学校考阶段练习）如图，点A，B，C，D在同一直线上，
， ， ，求证： ．
2．（2023秋·山西朔州·八年级校联考阶段练习）如图，点C，D在 上，且 ， ，
．求证：
(1) ；
(2) ．题型03 同旁内角互补，两直线平行
例题：（2023秋·七年级课时练习）如图，已知 平分 平分 ，且 与 互余．试说明：
．
【变式训练】
1．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）如图，直线 ，求证： ．
2．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考阶段练习）如图，已知 ，求证：
∥
题型04 垂直于同一直线的两直线平行
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知 ，点D在线段 上，求
证： // ．【变式训练】
1．（2023春·湖南邵阳·七年级统考期末）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若 ， ，则a
c．
2．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EP⊥AB，∠1＝
∠2．求证：CD⊥AB．
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），
∴DG//AC．
∴∠2＝ ；（ ）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝ （等量代换）．
∴EF//CD（ ）．
∴∠AEF＝∠ ．
∵EF⊥AB（已知），
∴∠AEF＝90°
∴∠ADC＝ °（ ）．
∴CD⊥AB （ ）．
题型05 平行线的判定与性质综合
例题：（2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）已知：如图， ， ．(1)求证： ．
(2)若 平分 ， 平分 ，且 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图， ．
(1)求证： ．
(2)若 平分 ， ， ，求 的度数．
2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）如图，在四边形 中， ，点E，F分别在
的延长线上，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如果 平分 ，且 ，求 的度数．一、单选题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）如图，直线 ， ，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图， ， ，
，判断 与 的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定二、填空题
5．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ．
6．（2023春·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）如图， ，则 的度数是
．
7．（2023春·河北沧州·七年级校考期中）如图，已知 ，
（1）当 时， ，理由是： ；
（2）在（1）的条件下，若 ，则 ．
8．（2023春·安徽黄山·七年级统考期中）若 和 的两边分别平行，且 比 的两倍少 ，则
的度数为
三、证明题
9．（2023秋·广东惠州·八年级校考开学考试）已知，如图， ， ，求证：
请完成下面证明过程的填空：
∵ （已知）
∴______∥______（内错角相等，两直线平行）
∴ （两直线平行，______）
又∵ （已知）
∴ （______）
∴ （______）10．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）看图填写，已知：如图， ， ， ．
求证： 平分 ．
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ （___________）（填推理依据），
∴ ___________（两直线平行，同位角相等），
（___________）（填推理依据），
又∵ ，∴ ___________，
∴ 平分 ．
11．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图， ，点 ， ， 在同一条直线上.
(1)求证： ；
(2)当 ， 时，求线段 的长.
12．（2023春·云南玉溪·七年级统考期末）如图，三角形 中， 是 上一点， 是 上一点，点
， 在 上， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数．
13．（2023秋·山东潍坊·八年级校考阶段练习）已知：如图， 平分 ，点 在 上，点 在
上，连接 、 ， 与 相交于点 ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 ．
14．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1， 中， 的平分线交于O点，过O点作
平行线交 于D、E．(1)请写出图1中线段 之间的数量关系？并说明理由．
(2)如图2， 若 的平分线与 的外角平分线交于O，过点O作 平行线交 于D，交
于E．那么 之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
