文档内容
2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6 B．a6÷a3＝a2
C．（ab4）2＝ab8 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
4．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁 11 12 13 14 15
人数 3 4 7 2 2
则该足球队队员年龄的众数是（ ）
A．15岁 B．14岁 C．13岁 D．7人
6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．D．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则
∠CED的度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．20°
8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2＝2.5，S乙 2＝8.7，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量
得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝ ，则河宽PT的长为（ ）
αA．msin B．mcos C．mtan D．
α α α
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝ ．
12．（3分）二元一次方程组 的解是 ．
13．（3分）化简：（1﹣ ）• ＝ ．
14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于 O，则 的长是 （结果保留 ）．
⊙ π
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过第一象限点A，且 ABCD的面积为6，则k＝ ．
▱
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D
的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于
点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算： ﹣3tan30°+（ ）﹣2+| ﹣2|．
18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，
老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和
“3”的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 AD的
长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，
DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 ．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣
爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影
艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只
能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）
拓展课程．21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于 O，AD是 O的直径，AD，BC的延长线交于点E，
延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DC⊙E＝90°． ⊙
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙
（2）连接AC，sin∠BAC＝ ，BC＝2，AD的长为 ．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交
于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，将△ACD 沿射线 CB 平移得到的三角形记为
△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重
叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 （用含有m的代数式
表示）；
②当0＜m＜ 时，S与m的关系式为 ；
③当S＝ 时，m的值为 ．七、（本题12分）
24．（12分）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，
点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），那么第（1）问的结
论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不α成立，α说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3 ，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当
∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣
3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的
面积记为S ，△DEF的面积记为S ，当S ＝2S 时，求点E的坐标；
1 2 1 2
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩
下的部分组成新的曲线记为C ，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C 沿
1 1
y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C 与直线BC的公共点中，选两个公共点记
1
作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．2022年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．（2分）计算5+（﹣3），结果正确的是（ ）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【分析】根据有理数异号相加法则即可处理．
【解答】解：5+（﹣3）＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键．
2．（2分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层有2个正方形，上层左边有1个正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识．注意主视图是指从物体的正面看物体．
3．（2分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a3）3＝a6 B．a6÷a3＝a2
C．（ab4）2＝ab8 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式逐项进行计算即可．
【解答】解：A．（a3）3＝a9，因此选项A不符合题意；
B．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B 不符合题意；
C．（ab4）2＝a2b8，因此选项C不符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法，同底数幂的除法的计算法则以及完全平方公式的结构特征是
正确判断的前提．
4．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标
规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（2分）调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁 11 12 13 14 15
人数 3 4 7 2 2
则该足球队队员年龄的众数是（ ）
A．15岁 B．14岁 C．13岁 D．7人
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
【解答】解：该足球队队员年龄13岁出现的次数最多，故众数为13岁．
故选：C．
【点评】本题考查了众数，掌握众数的定义是解答本题的关键．
6．（2分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．【分析】解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选
项进行逐一分析即可．
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
【点评】本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空
心圆点的区别是解答此题的关键．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则
∠CED的度数是（ ）
A．70° B．60° C．30° D．20°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行
线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，
则∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠B＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形中位线平行于
第三边是解题的关键．
8．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1
的图象经过一、二、四象限．
【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
9．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2＝2.5，S乙 2＝8.7，则乙组数据较稳定
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件
【分析】根据抽样调查与全面调查的定义，概率以及方差的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，是正确的，因此选项A
符合题意；
B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票也不一定会中奖，因此选
项B不符合题意；
C．若甲、乙两组数据的平均数相同，S甲 2＝2.5，S乙 2＝8.7，则甲组数据较稳定，因此选项C
不符合题意；
D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，因此选项D不符合
题意；
故选：A．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，方差以及随机事件、不可能事件、必然事件，理解
全面调查与抽样调查的方法，方差的意义以及随机事件、不可能事件、必然事件的定义是
正确判断的前提．
10．（2分）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量
得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝ ，则河宽PT的长为（ ）
αA．msin B．mcos C．mtan D．
α α α
【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行
计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝ ，
∴PT＝PQ•tan ＝mtan （米）， α
∴河宽PT的长α度是mtαan 米，
故选：C． α
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ay2+6ay+9a＝ a （ y + 3 ） 2 ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：ay2+6ay+9a
＝a（y2+6y+9）
＝a（y+3）2．
故答案为：a（y+3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解
题关键．
12．（3分）二元一次方程组 的解是 ．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解： ，
将②代入①，得x+4x＝5，解得x＝1，
将x＝1代入②，得y＝2，
∴方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解
法是正确解答的关键．
13．（3分）化简：（1﹣ ）• ＝ x ﹣ 1 ．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．
【解答】解：（1﹣ ）•
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于 O，则 的长是 （结果保留
）． ⊙
π
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于 O，
∴AB＝BC＝DC＝AD，⊙∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，
解得：AO＝2 ，
∴ 的长＝ ＝ ，
π
故答案为： ．
【点评】本题考π查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题
的关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过第一象限点A，且 ABCD的面积为6，则k＝ 6 ．
▱
【分析】作AE⊥CD于E，由四边形ABCD为平行四边形得AB∥x轴，则可判断四边形
ABOE为矩形，所以S平行四边形ABCD ＝S矩形ABOE ，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形
＝|k|，利用反比例函数图象得到．
ABOE
【解答】解：作AE⊥CD于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥x轴，
∴四边形ABOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD ＝S矩形ABOE ＝6，
∴|k|＝6，
而k＞0，∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |．
16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D
的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于
点H．EN＝2，AB＝4，当点H为GN的三等分点时，MD的长为 2 ﹣ 4 或 4 ．
【分析】根据点H为GN三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质
证明∠GMN＝∠MNG，得到MG＝NG，证明△FGH∽△ENH，求出FG的长，过点G作
GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，设MD＝MF＝x，根据勾股定理列方程求出x即可．
【解答】解：当HN＝ GN时，GH＝2HN，
∵将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，
∴MF＝MD，CN＝EN，∠E＝∠C＝∠D＝∠MFE＝90°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC，
∴∠GFH＝90°，∠DMN＝∠MNG，
∴∠GMN＝∠MNG，
∴MG＝NG，
∵∠GFH＝∠E＝90°，∠FHG＝∠EHN，
∴△FGH∽△ENH，
∴ ＝ ＝2，
∴FG＝2EN＝4，
过点G作GP⊥AD于点P，则PG＝AB＝4，
设MD＝MF＝x，
则MG＝GN＝x+4，
∴CG＝x+6，
∴PM＝6，∵GP2+PM2＝MG2，
∴42+62＝（x+4）2，
解得：x＝2 ﹣4，
∴MD＝2 ﹣4；
当GH＝ GN时，HN＝2GH，
∵△FGH∽△ENH，
∴ ＝ ＝ ，
∴FG＝ EN＝1，
∴MG＝GN＝x+1，
∴CG＝x+3，
∴PM＝3，
∵GP2+PM2＝MG2，
∴42+32＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴MD＝4；
故答案为：2 ﹣4或4．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股
定理列方程求解是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（6分）计算： ﹣3tan30°+（ ）﹣2+| ﹣2|．
【分析】先计算开方运算、特殊三角函数值、负整数指数幂的运算及绝对值的运算，再合并
即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣3× +4+2﹣＝2 ﹣ +4+2﹣
＝6．
【点评】此题考查的是实数的运算，负整数指数幂的运算，特殊三角形函数值，掌握其运算
法则是解决此题的关键．
18．（8分）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，
老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝
上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和
“3”的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可．
（2）画树状图，表示出所有等可能的结果数，以及两张卡片上的数字是“2”和“3”的结
果数，再结合概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，
随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，
∴小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题
的关键．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，
DF．
（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 垂直平分线 ．
（2）求证：四边形AEDF是菱形．
【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质则AF＝DF，AE＝DE，进而得出DF∥AB，同理DE∥AF，于是
可判断四边形AEDF是平行四边形，加上FA＝FD，则可判断四边形AEDF为菱形．
【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；
故答案为：垂直平分线；
（2）证明：∵MN是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，AE＝DE，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠BAD，
∴DF∥AB，
同理DE∥AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵FA＝FD，
∴四边形AEDF为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图以及菱形的判定方法，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣
爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影
艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只
能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 12 0 名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）
拓展课程．
【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出选择B的人数，然后即可将条形统计图补充完
整；
（3）用360°乘以D（劳动实践）所占比例可得答案；
（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），
故答案为：120；
（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），
补全的条形统计图如图所示；（3）360°× ＝72°，
即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；
（4）800× ＝320（名），
答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题
的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 15 0 平方厘米．
【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，根据面积公式列出一元二次方
程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，
∴x• ＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，
∴S＝x• ，即S＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣15）2+150，
∵﹣ ＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．
解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最
值．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，四边形ABCD内接于 O，AD是 O的直径，AD，BC的延长线交于点E，
延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DC⊙E＝90°． ⊙
（1）求证：PA是 O的切线；
⊙
（2）连接AC，sin∠BAC＝ ，BC＝2，AD的长为 6 ．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠BAD＝∠DCE，然后根据已
知可得∠BAP+∠BAD＝90°，从而可得∠OAP＝90°，即可解答；
（2）连接BO并延长交 O于点F，连接CF，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCF＝
⊙
90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得sin∠BAC＝sinF＝ ，最后在Rt△BCF中，利用
锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°， ⊙
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BAD＝∠DCE，
∵∠BAP+∠DCE＝90°，∴∠BAP+∠BAD＝90°，
∴∠OAP＝90°，
∵OA是 O的半径，
∴PA是圆⊙O的切线；
（2）连接BO并延长交 O于点F，连接CF，
⊙
∵BF是 O的直径，
∴∠BCF⊙＝90°，
∵∠BAC＝∠F，
∴sin∠BAC＝sinF＝ ，
在Rt△BCF中，BC＝2，
∴BF＝ ＝ ＝6，
∴AD＝BF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交
于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，将△ACD 沿射线 CB 平移得到的三角形记为
△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重
叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （ 用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜ 时，S与m的关系式为 m 2 ；
③当S＝ 时，m的值为 或 1 5 ﹣ 2 ．
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，
进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的
坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出
本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜ 时，当 ＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜
15时，S与m的关系式，分别令S＝ ，建立方程，求出m即可．
【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴ ，
解得 ．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9；（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝ m，C′F＝ m，
∴C′（8﹣ m，3+ m），A′（12﹣ m， m），D′（8﹣ m， m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝ x，
∴E（8﹣ m，3﹣ m）.
∴C′E＝3+ m﹣（3﹣ m）＝ m．
故答案为： m．
②法一、当点D′落在直线OC上时，有 m＝ （8﹣ m），
解得m＝ ，
∴当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，
此时S＝ C′E•CF＝ • m• m＝ m2；
法二、∵C′D′∥BO，∴△CC′E∽△CBO，
∴ ＝（ ）2，即 ＝ ，
∴S＝ m2．
故答案为： m2．
③法一、
分情况讨论，当0＜m＜ 时，由②可知，S＝ m2；
令S＝ m2＝ ，解得m＝ ＞ （舍）或m＝﹣ （舍）；
当 ≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（ m， m），
∴D′E＝ m﹣（3﹣ m）＝ m﹣3，
D′M＝ m﹣（8﹣ m）＝ m﹣8；
∴S＝ m2﹣ •（ m﹣3）•（ m﹣8）
＝﹣ m2+ m﹣12，
令﹣ m2+ m﹣12＝ ；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝ 或m＝ ＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′ ＝ ×4×3＝6≠ ，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，∴BN＝ （15﹣m），A′N＝ （15﹣m），
∴S＝ • （15﹣m）• （15﹣m）＝ （15﹣m）2，
令 （15﹣m）2＝ ，解得m＝15+2 ＞15（舍）或m＝15﹣2 ．
法二、分情况讨论，当0＜m＜ 时，由②可知，S＝ m2；
令S＝ m2＝ ，解得m＝ ＞ （舍）或m＝﹣ （舍）；（同法一）
当 ≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∵S△A′C′D′ ＝ ×4×3＝6，
∴S△A′CM ＝6﹣ ＝ ，
∵S△AOC ＝18，
∵A′D′∥OA，
∴△A′CM∽△ACO，
∴ ＝ ，
∴CA′＝ ，
∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣ ，
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′ ＝ ×4×3＝6≠ ，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
∵A′D′∥x轴，
∴△A′BK∽△ABO，
∵S＝ ，S△ABO ＝54，∴ ＝ ，解得BA′＝2 ，
∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2 ．
故答案为： 或15﹣2 ．【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三
角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨
论是解题关键．
七、（本题12分）
24．（12分）【特例感知】
（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，
点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 AD ＝ BC ；
【类比迁移】
（2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），那么第（1）问的结
论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不α成立，α说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3 ，连接BC．
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 8+ 3 ；
②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当
∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值．
【分析】（1）证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；（2）利用旋转性质可证得∠BOC＝∠AOD，再证明△AOD≌△BOC（SAS），即可得出结论；
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，先证得△ABC∽△TBD，得出
DT＝3 ，即点D的运动轨迹是以T为圆心，3 为半径的圆，当D在AT的延长线上时，
AD的值最大，最大值为8+3 ；
②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T
作TH⊥AD于点H，可证得△BAC∽△BTD，得出DT＝ AC＝ ×3 ＝ ，再求出
DH、AH，即可求得AD；如图5，在AB下方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接
DE，可证得△BAC∽△BTD，得出DE＝ ，再由勾股定理即可求得AD．
【解答】解：（1）AD＝BC．理由如下：
如图1，∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OA＝OB，OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC，
故答案为：AD＝BC；
（2）AD＝BC仍然成立.
证明：如图2，∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOC＝∠AOC+∠COD＝90°+ ，
即∠BOC＝∠AOD， α
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴AD＝BC；
（3）①过点A作AT⊥AB，使AT＝AB，连接BT，AD，DT，BD，
∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT＝ AB，BD＝ BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，
∴ ＝ ＝ ，∠ABC＝∠TBD，
∴△ABC∽△TBD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DT＝ AC＝ ×3 ＝3 ，
∵AT＝AB＝8，DT＝3 ，
∴点D的运动轨迹是以T为圆心，3 为半径的圆，
∴当D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值为8+3 ，
故答案为：8+3 ；
②如图4，在AB上方作∠ABT＝30°，过点A作AT⊥BT于点T，连接AD、BD、DT，过点T
作TH⊥AD于点H，
∵ ＝ ＝cos30°＝ ，∠ABC＝∠TBD＝30°+∠TBC，
∴△BAC∽△BTD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DT＝ AC＝ ×3 ＝ ，
在Rt△ABT中，AT＝AB•sin∠ABT＝8sin30°＝4，
∵∠BAT＝90°﹣30°＝60°，
∴∠TAH＝∠BAT﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°，
∵TH⊥AD，
∴TH＝AT•sin∠TAH＝4sin30°＝2，AH＝AT•cos∠TAH＝4cos30°＝2 ，
在Rt△DTH中，DH＝ ＝ ＝ ，
∴AD＝AH+DH＝2 + ；
如图5，在AB上方作∠ABE＝30°，过点A作AE⊥BE于点E，连接DE，
则 ＝ ＝cos30°＝ ，
∵∠EBD＝∠ABC＝∠ABD+30°，
∴△BDE∽△BCA，∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ AC＝ ×3 ＝ ，
∵∠BAE＝90°﹣30°＝60°，AE＝AB•sin30°＝8× ＝4，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝ ；
综上所述，AD的值为2 + 或 ．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形
或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣
3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．
（1）①求抛物线的函数表达式；
②直接写出直线AD的函数表达式；
（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的
面积记为S ，△DEF的面积记为S ，当S ＝2S 时，求点E的坐标；
1 2 1 2
（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方的部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩
下的部分组成新的曲线记为C ，点C的对应点为C′，点G的对应点为G′，将曲线C 沿
1 1
y轴向下平移n个单位长度（0＜n＜6）．曲线C 与直线BC的公共点中，选两个公共点记
1
作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线AD的解析式；
（2）如图1，过点B作BG∥y轴交直线AD于G，过点E作EH∥y轴交直线AD于H，由题
意得出 ＝2，再由△BFG∽△EFH，可得出BG＝2EH，由于BG＝4，可得EH＝2，设E
（x， x2﹣x﹣3），则H（x， x﹣1），可得EH＝﹣ x2+ x+2，建立方程求解即可得出答
案；
（3）根据题意可得：点C′（0，3），G′（2，4），向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣ （x﹣
2）2+4，向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部
分的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣4﹣n，利用待定系数法可得：直线BC的解析式为y＝ x﹣
3，直线C′G′的解析式为y＝ x+3，由四边形C′G′QP是平行四边形，分类讨论即可．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣3；②由①得y＝ x2﹣x﹣3，
当y＝0时， x2﹣x﹣3＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣2，
1 2
∴A（﹣2，0），
设直线AD的函数表达式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线AD的函数表达式为y＝ x﹣1；
（2）如图1，过点B作BG∥y轴交直线AD于G，过点E作EH∥y轴交直线AD于H，
∵S ＝2S ，即 ＝2，
1 2
∴ ＝2，
∵BG∥y轴，EH∥y轴，
∴BG∥EH，
∴△BFG∽△EFH，
∴ ＝ ＝2，即BG＝2EH，
∵点G在直线y＝ x﹣1上，BG∥y轴，
∴G（6，﹣4），
∴BG＝4，
∴EH＝2，
设E（x， x2﹣x﹣3），则H（x， x﹣1），
∴EH＝ x﹣1﹣（ x2﹣x﹣3）＝﹣ x2+ x+2，
∴﹣ x2+ x+2＝2，解得：x ＝0，x ＝2，
1 2
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
（3）∵y＝ x2﹣x﹣3＝ （x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为G（2，﹣4），
当x＝0时，y＝3，即点C （0，﹣3），
∴点C′（0，3），G′（2，4），
∴向上翻折部分的图象解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+4，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+4﹣n，平移后抛物线剩下部分的
解析式为y＝ （x﹣2）2﹣4﹣n，
设直线BC的解析式为y＝k′x+d′（k′≠0），
把点B（6，0），C（0，﹣3）代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝ x﹣3，
同理直线C′G′的解析式为y＝ x+3，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为（s， s﹣3），
∵点C′（0，3），G′（2，4），
∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，
∵四边形C′G′QP是平行四边形，
∴点Q（s+2， s﹣2），
当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，则 ，
解得： ，
∵0＜n＜6，
∴s＝0，n＝6不符合题意，舍去；
当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
综上所述，点P的坐标为（1+ ， ）或（1﹣ ， ）．【点评】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性
质，三角形面积，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移、翻折变换等，
利用数形结合思想解答是解题的关键．
