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7.2 认识证明
题型一 判断是否是命题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线 D． ，a与c相交，则b与c也相交
【答案】C
【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可．
【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假，
选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题；
选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题，
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键．
定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可．
【详解】解：定义是给出术语含义的语句，
选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明，
选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征，
故选：C．
3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三
角形的定义，符合要求．
【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合
定义的特征；
∴选项D是定义．
其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义．
故选：D．
4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
【答案】A
【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的
核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项．
【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题；
B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题；
∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴
∵C、D不是命题．
故选：A．
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
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学科网（北京）股份有限公司B．过直线外一点作已知直线的平行线
C．如果 ，那么
D．三角形的外角大于任何一个内角
【答案】B
【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题，熟记命题的定义是解题的关键．根据命题的
定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、对顶角相等，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
B、过直线外一点作已知直线的平行线，不是判断一件事情的语句，不是命题，则此项符合题意；
C、如果 ，那么 ，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
D、三角形的外角大于任何一个内角，是判断一件事情的语句，是命题，则此项不符合题意；
故选：B．
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
【答案】A
【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键；命题是能判断真假的陈述句；选项A是
陈述句且为真；选项B和C是操作指令，不是陈述句；选项D是疑问句，不是陈述句．
【详解】解：∵命题是能判断真假的陈述句，
A.“垂线段最短”是陈述句，且为真；
∴B.“作一个角等于已知角”是操作指令，不是陈述句；
C.“将16开平方”是操作指令，不是陈述句；
D.“负数小于正数吗？”是疑问句，不是陈述句；
故选：A．
7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接 D．三角形的内角和为
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题的概念，命题是能判断真假的陈述句．根据命题的定义即可作出判断即可．
【详解】解：∵命题需为陈述句且可判断真假，
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学科网（北京）股份有限公司A项“画 ”为指令，非陈述句；
B项“小于直角的角是锐角吗？”为疑问句，非陈述句；
C项“连接 ”为指令，非陈述句；
D项“三角形的内角和为 ”为陈述句，且在初中几何中为真命题．
∴只有D是命题．
故选：D．
题型二 命题的题设与结论
1．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查命题的概念；将命题改为“如果…，那么…”的形式，需要先找出命题的条件和结论，
“如果”后面接条件，“那么”后面接结论.
【详解】解：∵原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，
∴改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果 那么 ”
的形式： ．
【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么
的后面是结论．
根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．
【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，
那么它们的对应角相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
3．（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那
么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面
接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，
结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一
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学科网（北京）股份有限公司条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的
形式： ．
【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等
【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可．
【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三
个内角都相等”；
故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等．
5．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，
那么.....”的形式 ．
【答案】如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形
【分析】本题考查了命题的改写方法，解题的关键是准确区分命题中的题设（条件）和结论．
先确定原命题中表示条件的部分“一个三角形有两条边相等”和表示结论的部分“这个三角形叫做等腰三
角形”；再用“如果”引导条件，“那么”引导结论，完成命题改写．
【详解】解：首先分析原命题的结构，原命题中“一个三角形有两条边相等”是条件，“这个三角形叫做
等腰三角形”是结论；
故答案为：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形．
题型三 判断命题真假
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．邻补角是互补的角
C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若 ， ，则
D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若 ， ，则
【答案】A
【分析】本题考查命题的真假，熟练掌握假命题的定义是解题的关键．
根据平行线的性质、邻补角的定义、平行公理的推论，平行线的判定定理判断即可．
【详解】解：选项A、同旁内角互补的前提是两直线平行，否则不一定成立，则A是假命题；
选项B、邻补角定义是相邻且互补的角，则B是真命题；
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学科网（北京）股份有限公司选项C、平行线具有传递性：若 ， ，则 ，则C是真命题；
选项D、 在同一平面内，若 ， ，则 ，则D是真命题，
故选：A．
2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（ ）
A．三角形的高一定在三角形的内部
B．三角形的三条角平分线必定交于一点
C．全等三角形对应边上的中线相等
D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等
【答案】A
【分析】此题主要考查了命题与定理，利用三角形的有关性质分别判断得出是解题关键．
根据三角形的角平分线，高，中线和全等三角形的性质，分别进行判断得出答案即可．
【详解】解：A、在钝角三角形中，从锐角顶点向对边所作的高在三角形的外部，故A不是真命题，符合题
意；
B、三角形的三条角平分线必交于一点（内心），故B是真命题，不符合题意；
C、全等三角形对应边上的中线相等，故C是真命题，不符合题意；
D、三角形一边上的中线将底边分为两等分，且两个三角形等高，所以三角形一边上的中线分成的两个三
角形面积相等，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
3．（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】本题考查命题的真假判断．根据直线公理、余角的性质、全等三角形的性质以及反例逐项判断即
可．
【详解】解：选项A：两点确定一条直线，是几何基本公理，正确；
选项B：同角的余角相等，设 和 均为 的余角，则 ， ，∴ ，
正确；
选项C：全等三角形的对应角相等，由全等三角形性质可知，正确；
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学科网（北京）股份有限公司选项D：取 ， ，则 ，但 ， ， ，即 ，∴ 命题不成立．
∴ 假命题是D，
故选：D．
4．（25-26八年级上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的是( )
A．若 ，则 B．相等的角是对顶角
C．两点之间线段最短 D．若 ，则 ．
【答案】C
【分析】本题考查了真假命题的判断，A选项两负数相乘为正，故错误；B选项相等的角不一定是对顶角，
故错误；C选项是公理，正确；D选项 时 ，不一定 ，故错误．
【详解】解：A．若 ， ，则 ，
∴ 不成立，假命题；
B．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角(如等腰三角形底角)，假命题；
C．两点之间线段最短，是真命题；
D．∵ ，当 时 ，但 也成立，
不成立，假命题．
故选：C．
5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果 ，那
么 与 是对顶角；③如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角．其中真命题有 ．
（填所有真命题的序号）
【答案】 /3
【分析】③本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断.
【详解】解：①一个角的余角不一定大于这个角，
反例： 的余角是 ， ，故①是假命题；
②如果 ，那么 与 是对顶角，
反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题；
③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题.
故答案为③
题型四 举反例说明是假命题
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学科网（北京）股份有限公司1．（25-26八年级上·全国·课后作业）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反
例是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握反例的定义是解题的关键．
分别计算各选项中钝角与锐角的差，若差不是锐角，则为反例．
【详解】解：反例需满足命题条件但结论不成立，即钝角减锐角差非锐角，
选项A、 ，是锐角，不符合题意；
选项B、 非钝角，不符合命题条件；
选项C、 ，是锐角，不符合题意；
选项D、 ，是钝角，非锐角，符合题意，
故选：D．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）能说明命题“对于任何实数a， ”是假命题的一个反例可以
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，说明一个命题是假命题只需举一个反例．根据“对于任何实数a，
”成立的条件是 即可得答案．
【详解】解：∵ 时， ，
∴当 时，原命题不成立，故A符合题意；
当 时，原命题成立，故B不符合题意，
当 时，原命题成立，故C不符合题意，
当 时，原命题成立，故D不符合题意，
故选：A．
3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假命题
的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． ， B． ，
C． D． ，
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，角度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．要说明命题是假命题，
需找到满足条件但结论不成立的反例．
【详解】解：A、 ，其和为90°，但 ，符合原结论，不能说明命题是假命题；
B、 ， ，和为 ，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题；
C、 ，和为 且 ，能说明命题是假命题；
D、 ， ，和为 ，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题．
故选：C．
4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若 ，则 ”是假
命题的反例是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若 ，则 ”为假，需找到反例，即 成
立但 不成立，逐一验证各选项即可解答．
【详解】解：选项A： ， ， 成立， ，结论成立，不符合反例；
选项B： ， ， 成立， ，结论成立，不符合反例；
选项C： ， ， 成立，结论 不成立，符合反例；
选项D： ， ， 不成立，不符合反例条件．
故选：C．
5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假命题的反
例是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查假命题的反例判断，关键是确保前提成立但结论不成立．
要证明命题“若 ，则 ”是假命题，需找反例，即x满足 但 ．
【详解】解：A、 时， ，且 ，不符合反例；
B、 时， ，前提不成立，不符合反例；
C、 时， ，且 ，不符合反例；
D、 时， ，但 ，即 ，结论不成立，符合反例，
故选：D．
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反
例不正确的是（ ）
A．设这个角是 ，它的补角是 ，但
B．设这个角是 ，它的补角是 ，但
C．设这个角是 ，它的补角是 ，但
D．设这个角是 ，它的补角是 ，但
【答案】C
【分析】本题主要考查了举反例判断命题是假命题，判断哪个选项不能作为反例证明命题“一个角的补角
大于这个角”为假，需找出补角大于角的情况．根据补角性质，当角 时，补角 角．
【详解】 一个角 的补角为 ，命题“补角大于角”即 ，解得： ，
当 时，补角 角，命题不成立，此类情况可作为反例，
A选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故A选项不
符合题意；
B选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B选项不
符合题意；
C选项： ，补角 ，补角 角，命题成立，不能说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，
故C选项符合题意；
D选项： ，补角 ，补角 角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故D选项不
符合题意．
故选：C．
7．（25-26八年级上·河南南阳·期中）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只需举出一个反
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学科网（北京）股份有限公司例．这个反例中的x可以为 ．
【答案】2（答案不唯一， 即可）
【分析】本题考查了举反例．要判断命题为假命题，需举出反例， “如果 ，那么 ”，其反
例为大于0的数而且能使 ．
【详解】解：当 ，则 ，条件成立；
故 为反例．
故答案为2（答案不唯一， 即可）．
题型五 定理与证明
1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线 上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句．
根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 在直线 上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意；
C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题可以称为定理的有（ ）
① 与 的平均数是 ；②能被 整除的数也能被 整除；③ 是方程 的根；④三角形的
内角和是 ；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过
严格证明的结论．包括平均数的计算、能被 和 整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、
等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：命题①平均数的计算是 ，所以“ 与 的平均数是 ”是错误的，不是定理；
命题②能被 整除的数不一定能被 整除，例如 能被 整除，但不能被 整除，所以该命题错误，不是定
理；
命题③“将 代入方程 ，左边 ，右边 ，左边 右 边，所以
该命题是错误的，不是定理；
命题④“三角形的内角和是 ”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具
有普遍适用性的结论，是定理；
命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定
的、具有普遍意义的结论，是定理；
综上，命题④和命题⑤是定理，共 个．
故选：A．
3．（18-19八年级·全国·课后作业）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个
数，结果仍是等式；③ 是一元一次方程 的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据定理的含义可知只有④是定理.
【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍
是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理.
故选A.
【点睛】本题考查了定理的含义，演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.
4．（18-19七年级下·全国·课后作业）“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义
【答案】B
【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实．
【详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；
故选B．
【点睛】此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题．
5．（18-19八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
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学科网（北京）股份有限公司B．两直线平行，同旁内角互补
C．n边形的内角和为（n﹣2）×180°
D．相等的角是对顶角
【答案】D
【分析】根据定理是正确的命题判断．
【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理；
两直线平行，同旁内角互补，B是定理；
n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理；
相等的角不一定是对顶角，D不是定理．
故选D．
【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．（2018·内蒙古呼和浩特·一模）用推理的方法判断为正确的命题叫做 ．
【答案】定理．
【分析】本题考查定理的定义．
【详解】解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
故答案为定理。
【点睛】本题考查了定理，掌握定理的定义是解题的关键，定理是用推理的方法判断为正确的命题．
7．（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ．
【答案】两直线平行，同位角相等
【分析】任意写出一个角相等的定理即可．
【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推
论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角
【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答
即可．
【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角
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学科网（北京）股份有限公司9．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是
定理．
(1)在 和 中， ，则 ；
(2)如果 ，那么 ；
(3)三角形的任意两边之和大于第三边．
【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理．
(2)依据：等量代换，是公理．
(3)依据：两点之间线段最短，是定理．
【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，
定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的．
（1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理；
（2）根据等量代换得出 ，进而得出理由．
（3）根据三角形的三边关系解答即可；
【详解】（1）解：在 和 中， ，则 ，依
据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理．
（2）解：如果 ，那么 ，依据：等量代换，是公理．
（3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定
理．
题型一 写出命题的已知、求证及证明过程
1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线
段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯
定不对．
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学科网（北京）股份有限公司(1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ；
(2)请将正确的证明步骤写出来．
【答案】(1)已知，求证；
(2)见解析
【分析】本题考查了证明的步骤，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题
关键．
（1）根据证明的一般步骤作答即可；
（2）根据证明的一般步骤，写出已知和求证，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）解：由题意可知，此证明过程明显缺少环节是少写了已知和求证，
故答案为：已知，求证；
（2）解：已知：如图，直线 垂直平分线段 ，垂足为 ，点 在 上．
求证： ．
证明： 直线 垂直平分线段 ，
， ，
又 ，
，
．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明
步骤，证明该命题．
已知：如图， ，______．
求证：______．
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学科网（北京）股份有限公司证明：
【答案】 和 分别平分 和 ， ，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由
可证 ，进而得出 ，可证
．
【详解】已知：如图， ， 和 分别平分 和 ，
求证： ．
证明： ，
．
分别是 和 的角平分线，
，
．
在 和 中，
，
，
．
故答案为： 和 分别平分 和 ， .
3．（18-19八年级上·辽宁大连·期中）求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那
么这两个三角形全等．（写出此命题的已知，求证和证明过程）
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题
的关键．证出 ，根据 证 ，推出 ，根据 证 即
可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：已知：在 和 中， 与 分别是 边上的中线，
且 ，
求证： ；
证明：∵ 与 分别是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
4．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）证明命题：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个
三角形全等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题的证明，全等三角形的判定等知识，解题的关键是：先画出图形，写出已知、求
证，然后根据全等三角形的判定方法证明即可；
【详解】已知，如图，在 和 中， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司求证： ．
证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
5．（20-21八年级上·福建泉州·期中）命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等．
（根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，命题证明类问题；难
点是写出已知和求证．先确定命题的题设和结论，据此画图用数学符号语言表示，再利用角平分线的性质
及三角形全等进行证明．
【详解】已知：如图，在 中， 是 的角平分线．
求证： ．
证明：∵ ， 是 的角平分线．
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
∴ ．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键．
先写出已知，求证，再证明即可．
【详解】解：已知： 是两个连续的自然数．
求证： 是偶数．
证明：当n是奇数时， 就是偶数，所以 是偶数．
当n是偶数时， 是偶数．
综上所述， 是偶数．
即两个连续自然数的积是偶数．
7．（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得 ， ，即可得证．
【详解】已知： ， ， ．
求证： ．
证明： ， （已知），
（等量代换），
（等式的性质）．
（已知），
（等式的性质），
（等量代换）．
8．（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直
角边所对的角等于30度．
根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整．
已知：如图，在 中， ，______．
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学科网（北京）股份有限公司求证：______．
证明：
【答案】 ； ．证明见解析
【分析】本题主要考查命题的证明，根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论，再延长 至D，
使得 ，连接 ，即可证明 垂直平分 ，进一步有 是等边三角形，利用三角形内角
和定理即可证明．
【详解】解：根据直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，则 ．
根据这条直角边所对的角等于30度，则 ．
延长 至D，使得 ，连接 ，如图，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ．
∴ 垂直平分
∴ ，
∴ ，
则 是等边三角形．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ．
故答案为： ， ，（证明见上）．
题型二 以代数为背景的推理与论证
1．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c，d，e，f是1～9中六个互不相等的正整数，那么关于x的
方程 的最大整数解是 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了推理与论证、一元一次方程等知识点，根据题意正确推理是解题的关键．
原方程整理可得 ，则 ，要求最大整数解，首先使x为正数且为整数；
其次应使 的绝对值尽量小且不为0，即使其绝对值为1，同时要使 的绝对值尽可能大，显
然最大只能为 ，所以x最大为8．使x取到8的a，b，c，d，e，f的取值情况很多，举一例子即可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
a、b、c、d、e、f是1到9中六个互不相等的正整数，
∵
∴当 或 ，对应的 或 时，其商为最大，且等于8．
故答案为：8．
2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图
围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有
人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有
人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我
也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案.
【详解】解：五人依次记为 ，从 开始报数：
如下表：
（小明） （小华）
第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数
第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手
第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数
第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数
∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有
犯错．”
∴游戏结束时对应的数字是 ；
故答案为：
3．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，
，求 的最大值．
【答案】
【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越
大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知 ，
因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证 ，8时均无解，
当 时， ， ，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解．
【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以 越大，乘积越大，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ， ，此时符合题意且积最大，
此时积为： ．
4．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数 ，满足
，且 ．
【答案】满足条件的所有正整数n为
【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当 时，及 时原式的取值是解题关键，首
先得出 ，进而利用当 时，及 时求出原式的取
值范围，进而求出答案．
【详解】解：由于 是正整数，且满足 ，
，
，
当 时，令 ，
则 ，
当 时，其中 ，
令 ，
则 ，
综上所述，满足条件的所有正整数n为 ．
题型三 以几何为背景的推理与论证
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺
设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为 的大正方形地砖，一种是边长为
的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经
过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为 的正方形场地，那么他至少使用了 块大正方
形地砖．
【答案】
【分析】根据已知图形找出基本单元，求解基本单元内大正方形数量，根据场地面积求解其内有几个基本
单元，从而得到大正方形的数量．
本题主要考查了推理与论证，根据图形找出基本可重复的最小单元图形是本题解题的关键．
【详解】解：如图：
可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个，
红框边长为： ，
正方形场地内基本单元的数量为： ，
大正方形的数量为： （个）
故答案为：
2．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长方形 中，E是 的中点，F是 的一个三
等分点， 与 分别交于点G，H， 与 交于点I．则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底
的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接 ， ，由在长方
形 中，E是 的中点，F是 的一个三等分点，可设 ，继而求得 ，
以及 的面积，则可求得 的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案．
【详解】解：根据题意， ，
如图所示，连接 ，
设 ，
在长方形 中，E是 的中点，F是 的一个三等分点，
， ，
，
，
设点 到 的高为 ，点 到 的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
，
，
又 ，
， ，
，
故答案为： ．
题型一 综合问题证明
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线 ，连接 ，直线 及线段 把平面分
成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 落在某个部分时，连接 ，
构成 ， 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 角）
(1)当动点 落在第①部分时， 之间满足怎样的数量关系？并加以证明；
(2)当动点 落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出 之间又
满足怎样的数量关系？并加以证明；
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学科网（北京）股份有限公司(3)当动点 落在第③部分时， 之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)当动点P落在直线 右侧时， ；当动点P落在直线 左侧时，
．
【分析】(1) 过点P作 ，得到 ， ，由此得到
；
(2) 过点P作 ，得到 ， ，由此得到
；
(3) 过点P作 ，当动点P落在第③部分时且在直线 右侧时，得到
，由此得 ；当动点P落在第③部分时且在直线
左侧时， 得 ， ，由 ，得
．
【详解】（1）解： ．
证明：过点P作 ，
则 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ．
证明：过点P作 ，
则 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）解：当动点P落在第③部分时且在直线 右侧时， ．
理由：过点P作 ，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
当动点P落在第③部分时且在直线 左侧时， ．
理由：过点P作 ，
则 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
综上，当动点P落在直线 右侧时， ；当动点P落在直线 左侧时，
．
【点睛】此题考查了平行线，熟练掌握平行公理，平行线的判定和性质正确掌握平行线的性质，添加辅助
线构建平行线，分类讨论，是解题的关键．
2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知 和 相交于点 ．
(1)如图（1），试说明 的理由；
(2)如图（2），点P是线段 上一点，连结 ．试说明式子 成立的理由；
(3)如图（3）若点M是射线 上一点，作 直线 于点 与 的平分线相交于点N，
求 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余以及三角形的外角性质，
熟记上述的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据对顶角相等以及题目给出的条件可得 ，再根据平行线的判定方法可得 ；
（2）过点P 作 ，可知 ，再根据两直线平行，内错角相等证明即可；
（3）分类讨论: 当点 在点 、 之间时②当点 在点 、 之外时,过点 N 作 ，则
①,再根据平行的性质以及角平分线的性质等解答即可．
【详解】（1）（1）证明：∵ ， ， ，
，
；
（2）过点P 作 ，
,
则 ,
,
;
（3）解：①当点 在点 、 之间时，
如图 所示，过点 N 作 ，
，
则 ，
，
又 直线 且 、 分别是 与 的平分线，
，
;
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学科网（北京）股份有限公司②当点 在点 、 之外时，如图所示，
同理可求得 。
综上所述， 为 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司
