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7.2 认识证明
题型一 判断是否是命题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线 D． ，a与c相交，则b与c也相交
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等
3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（ ）
A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
4．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列四个选项中的说法不是命题的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．对顶角相等
B．过直线外一点作已知直线的平行线
C．如果 ，那么
D．三角形的外角大于任何一个内角
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）下列句子是命题的是（ ）
A．画 B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接 D．三角形的内角和为
题型二 命题的题设与结论
1．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ．
2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果 那么 ”
的形式： ．
3．（25-26八年级上·四川遂宁·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那
么…”的形式为：如果 ，那么 ．
4．（25-26八年级上·山西忻州·期中）把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的
形式： ．
5．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，
那么.....”的形式 ．
题型三 判断命题真假
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．邻补角是互补的角
C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若 ， ，则
D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若 ， ，则
2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列命题不是真命题的是（ ）
A．三角形的高一定在三角形的内部
B．三角形的三条角平分线必定交于一点
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学科网（北京）股份有限公司C．全等三角形对应边上的中线相等
D．三角形一边上的中线分成的两个三角形面积相等
3．（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．如果 ，那么
4．（25-26八年级上·四川乐山·期中）下列命题中，是真命题的是( )
A．若 ，则 B．相等的角是对顶角
C．两点之间线段最短 D．若 ，则 ．
5．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果 ，那
么 与 是对顶角；③如果两个角的和等于 ，那么这两个角互为补角．其中真命题有 ．
（填所有真命题的序号）
题型四 举反例说明是假命题
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反
例是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）能说明命题“对于任何实数a， ”是假命题的一个反例可以
是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）对于命题“如果 ，那么 ”，能说明它是假命题
的是（ ）
A． ， B． ，
C． D． ，
4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若 ，则 ”是假
命题的反例是（ ）
A． ， B． ，
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学科网（北京）股份有限公司C． ， D． ，
5．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假命题的反
例是（ ）．
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反
例不正确的是（ ）
A．设这个角是 ，它的补角是 ，但
B．设这个角是 ，它的补角是 ，但
C．设这个角是 ，它的补角是 ，但
D．设这个角是 ，它的补角是 ，但
7．（25-26八年级上·河南南阳·期中）判断命题“如果 ，那么 ”是假命题，只需举出一个反
例．这个反例中的x可以为 ．
题型五 定理与证明
1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线 上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题可以称为定理的有（ ）
① 与 的平均数是 ；②能被 整除的数也能被 整除；③ 是方程 的根；④三角形的
内角和是 ；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（18-19八年级·全国·课后作业）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个
数，结果仍是等式；③ 是一元一次方程 的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（18-19七年级下·全国·课后作业）“两点确定一条直线”这句话是（ ）
A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义
5．（18-19八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．两直线平行，同旁内角互补
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学科网（北京）股份有限公司C．n边形的内角和为（n﹣2）×180°
D．相等的角是对顶角
6．（2018·内蒙古呼和浩特·一模）用推理的方法判断为正确的命题叫做 ．
7．（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推
论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是
定理．
(1)在 和 中， ，则 ；
(2)如果 ，那么 ；
(3)三角形的任意两边之和大于第三边．
题型一 写出命题的已知、求证及证明过程
1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）在学习垂直平分线的性质时，在证明“线段垂直平分线上的点到线
段两段距离相等”这个命题时，陈老师让大家分组讨论，小振作了如图所示的证明过程，眼尖的小中说肯
定不对．
(1)聪明如你，此证明过程明显缺少环节是少写了 和 ；
(2)请将正确的证明步骤写出来．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明
步骤，证明该命题．
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学科网（北京）股份有限公司已知：如图， ，______．
求证：______．
证明：
3．（18-19八年级上·辽宁大连·期中）求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那
么这两个三角形全等．（写出此命题的已知，求证和证明过程）
4．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）证明命题：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个
三角形全等．
5．（20-21八年级上·福建泉州·期中）命题证明，求证：等腰三角形两个底角的角平分线相等．
（根据下列命题画出图形，写出已知、求证，并完成证明过程）
已知：
求证：
证明：
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
7．（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等．
8．（23-24八年级上·福建福州·期中）求证：如果直角三角形的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直
角边所对的角等于30度．
根据所给图形，将下列“已知，求证，证明”补充完整．
已知：如图，在 中， ，______．
求证：______．
证明：
题型二 以代数为背景的推理与论证
1．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c，d，e，f是1～9中六个互不相等的正整数，那么关于x的
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学科网（北京）股份有限公司方程 的最大整数解是 ．
2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图
围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有
人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有
人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我
也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ．
3．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，
，求 的最大值．
4．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数 ，满足
，且 ．
题型三 以几何为背景的推理与论证
1．（24-25七年级下·广东广州·期末）市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺
设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为 的大正方形地砖，一种是边长为
的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经
过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为 的正方形场地，那么他至少使用了 块大正方
形地砖．
2．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长方形 中，E是 的中点，F是 的一个三
等分点， 与 分别交于点G，H， 与 交于点I．则 ．
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学科网（北京）股份有限公司题型一 综合问题证明
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，直线 ，连接 ，直线 及线段 把平面分
成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点 落在某个部分时，连接 ，
构成 ， 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 角）
(1)当动点 落在第①部分时， 之间满足怎样的数量关系？并加以证明；
(2)当动点 落在第②部分时，第一问的结论还成立吗？若不成立，请求出 之间又
满足怎样的数量关系？并加以证明；
(3)当动点 落在第③部分时， 之间又满足怎样的关系，直接写出最后的结论．
2．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知 和 相交于点 ．
(1)如图（1），试说明 的理由；
(2)如图（2），点P是线段 上一点，连结 ．试说明式子 成立的理由；
(3)如图（3）若点M是射线 上一点，作 直线 于点 与 的平分线相交于点N，
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