文档内容
7.2 认识证明 （第2课时 公理与定理）教学设计
1.教学内容
本课时选自北师大版2024八年级上册第七章“证明”中的“第2课时 公理与定理”，核心内容
包括：公理、定理、证明的概念和区别，九条基本事实的作用，及如何进行简单的几何命题证明。重
点在于理解公理化思想及证明在几何学习中的价值。
2.内容解析
本节内容围绕“公理、定理、证明”三大主题展开，先通过命题真假辨析与举反例等活动，培养
学生对几何结论的慎思态度；之后结合《原本》的公理化思想与九条基本事实，说明“公理”作为公
认真命题与“定理”需逐步证明的差异；最后聚焦对顶角相等、同角补角相等、三角形两边之和大于
第三边等常见定理的演绎推理过程，帮助学生初步形成条理化的几何证明思路。此外，还注重在推理
与计算间的转换，让学生体会数学证明的逻辑性与严谨性，为后续的平行线、全等三角形等核心内容
打下扎实基础。
1.教学目标
•初步感悟公理化思想，了解北师大版教科书所采用的基本事实，理解证明的必要性，了解定理、公理、
证明的概念。
•能依据基本事实、定理等证明“同角（或等角）的补角相等”“对顶角相等”“三角形的任意两边之
和大于第三边”等定理，掌握证明的基本步骤和格式。
•在证明定理的过程中，学会分析问题、寻找证明依据的方法，提升数学思维的条理性，感受数学的严
谨与逻辑，激发对数学证明的兴趣，培养理性精神，增强对数学学科的认同感。
2.目标解析
• 通过辨析命题真伪与认识公理、定理，初步建立对公理化体系的理解。
• 指导学生使用九条基本事实等进行简单几何推理，规范“已知、求证、证明”三要素，注重逻辑性
与格式要求。
• 让学生在反复演绎和归纳中体会“何以为真”，形成初步的严谨推理意识与对数学系统性的认同感。
3.重点难点
• 教学重点：理解公理、定理、证明的基本概念，能利用所给公理与已有定理完成简单几何结论的演
绎推理。
• 教学难点：在证明过程中如何灵活选用合适的公理、定义及已得定理作为依据，规范地书写演绎过
程。学生已在七年级和八年级上册积累了基本的几何概念与初步的推理经验，如直线与角的关系、
全等三角形判定与性质、勾股定理等。对“已知—求证—证明”的形式已有所了解，但对公理化思想
与“为何要证明”的理解仍不够深入。部分学生在推理思维上存在步骤松散、因果倒置等问题。通过
本课时，力求帮助学生进一步凝练思维、巩固基础推理框架，为今后学习平行线判定与性质、三角形
综合性问题等做好准备。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
2.情景引入
①回答下列问题:
①今天是晴天吗？ ②同旁内角相等;
③同角的余角相等; ④作线段AB的垂直平分线;
⑤如果a2 >b2 ,那么a>b; ⑥对顶角相等.
(1)在上面的句子中,属于命题的是______;
(2)在上面的句子中,把是命题的改写成“如果……那么……”的形式,并说出它们的条件和结论;
(3)在上面的命题中,是假命题的是______,是真命题的是______.
解：②③⑤⑥；②⑤，③⑥
②说明一个命题是假命题通常用的方法是____________。
解：举一个反例
教师提问：如何证实一个命题是真命题呢?【设计意图】通过日常生活中的判断（“今天是晴天吗？”）和简单几何或代数语句，激发学生对
“哪些可以视为命题、如何判断真伪”的思考，进而引出“命题、真命题、假命题”的概念，为深入
理解“证明”的意义和必要性做好铺垫，明确学习方向。
探究点1：公理、证明、定理的定义
追根溯源
①《原本》（欧几里得，古希腊）
这是几何证明史上的里程碑式著作。全书以5个公理、5个公设和23个定义为基础，通过演绎
推理证明了460多个命题，建立了人类史上第一个完整的公理演绎体系。他在编写这本书时进行了大
胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据。
例如，书中对“对顶角相等”“三角形内角和为180°”等定理的证明，成为后世几何证明的典
范。它的中文译本有多个版本，如1607年利玛窦与徐光启合译的前6卷，以及后来李善兰与伟烈亚力
合译的完整版本，对中国数学的发展影响深远。
②《原本》:
1.原名：数学名词称为原名。
2.公理：公认的真命题称为公理。
3.证明：演绎推理的过程称为证明。
4.定理：经过证明的真命题称为定理。
总结：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
③九条基本事实：
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
⑧三边分别相等的两个三角形全等；
⑨两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（未学）说明：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明
的依据.例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又
如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据。
④定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系:
（1）联系:这四者都是命题.
（2）区别:定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过
基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
【设计意图】通过追溯《原本》、列举九条基本事实，让学生初步感受公理化思想，认识到数学证明
是从公理、定义、已知定理等确凿依据出发，运用演绎推理形式来证实更多结论，从而理解“为何要
证明”的深层原因
探究点2：证明的过程
1.回顾思考
①回顾七年级和八年级上册课本上的定理
- 补角性质：同角（或等角）的补角相等。
- 余角性质：同角（或等角）的余角相等。
- 对顶角性质：对顶角相等。
- 平行线判定定理：
- 同位角相等，两直线平行。
- 内错角相等，两直线平行。
- 同旁内角互补，两直线平行。
- 平行线性质定理：
- 两直线平行，同位角相等。
- 两直线平行，内错角相等。
- 两直线平行，同旁内角互补。
- 全等三角形性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
- 全等三角形判定定理：
- 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。
- 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。- 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。
- 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。
- 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端
点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
- 角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，到角的两边距离相
等的点在这个角的平分线上。
- 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
- 勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.尝试交流
例1 证明：对顶角相等
（1）该命题的条件和结论分别是什么？
（2）已知的是什么？要求证的是什么？
（3）图形怎么画？
例2 证明：同角（或等角）的补角相等
（1）该命题的条件和结论是什么？
（2）我们该如何写出已知，求证呢？
（3）请参考上一例题并尝试证明。
3.尝试思考
例1 已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O.
∴ ∠AOB 与∠COD都是平角（平角的定义）.
∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）.
由上面的例题，我们可以得到定理：
对顶角相等.
例2 证明：同角（或等角）的补角相等
（1）已知：∠B和∠C是∠A的补角，求证：∠B=∠C.
证明：∵∠B和∠C是∠A的补角，
∴∠B=180°-∠A，
∠C=180°-∠A，∴∠B=∠C（等量代换），
∴同角的补角相等.
（2）已知：∠A=∠B，∠C和∠D分别是∠A、∠B的补角，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠C和∠D分别是∠A、
∠B的补角，
∴∠C=180°-∠A，
∠D=180°-∠B，
∵∠A=∠B（已知），
∴∠C=∠D（等量代换），
∴等角的补角相等.
例3 独立完成证明：同角（或等角）的余角相等
4.归纳总结
证明命题的一般步骤:
①分析命题的条件和结论。
②画出图形，用符号语言写出已知、求证。
③利用所学知识，运用符号语言条理清晰地写出证明过程。
【设计意图】通过对补角、余角以及对顶角等常见几何事实的证明过程，让学生掌握书写几何证明的
一般方法，感受数学的严谨与逻辑性，培养理性精神与学科认同感。
1．下列说法正确的是（ ）
A.命题一定是正确的 B.不正确的判断就不是命题
C.定理都是真命题 D.基本事实不一定是真命题
解：C．
2.下面关于公理和定理的联系的说法，不正确的是( )
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性是人们公认的，定理的正确性需证明
解：B．
3.下列命题中，属于公理的是____________，
属于定理的是______，既不是公理也不是定理的是______.(填序号)
①两点确定一条直线；
②同角的补角相等；③同位角相等，两直线平行；
④三角形的任意两边之和大于第三边；
⑤三边分别相等的两个三角形全等；
⑥直角三角形的两锐角互补。
解：①③⑤,②④,⑥
4.请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
证明：
观察图中三角形，若把它的任意两个顶点，如A、B看作定点，则由“两点之间线段最短”，
可得AC+BC >AB.
同理可得AB+BC >AC，AB+AC >BC.
5. 如图，点 A，O，B在一条直线上，OC平分∠BOD，OE⊥OC 垂足为点O. 试判断∠AOE与∠DOE
有怎样的数量关系，并说明理由．
解：∠AOE ＝∠DOE.
理由：如图，∵OE⊥OC，
∴∠1＋∠3＝90 °.
又∠AOB＝180 °，
∴∠2＋∠4＝90 °，
又∠1＝∠2 ，
∴∠3＝∠4，即∠AOE＝∠DOE.
6.课外阅读
《周髀算经》成书于两汉之间或西汉时期，是中国古代重要的数理天文理论著作，也是最早涉及几何证明的古籍之
一。其中记载了商高对勾股定理的证明思路，通过“既方之，外半其一矩，环而共盘”的割补法，直
观且严谨地推导出勾股定理，体现了中国古代“形数统一”的数学思想，其相关证明图示还被选为第
24届国际数学家大会会标。
《九章算术》及《九章算术注》（刘徽注）
《九章算术》收集了战国、秦、汉时期的数学成果，包含多种几何图形的面积、体积计算方法及勾股
定理的应用等。刘徽为其作注的《九章算术注》，对书中的几何结论补充了严格的证明，例如他的
“割圆术”，通过不断倍增圆内接正多边形的边数，证明了圆的面积公式，并计算出圆周率的近似值
为3.14，展现了高超的几何证明技巧。
1.验证一个命题是真命题的方法
2.在数学推理和证明中，可以作为推理依据的内容
3.九条基本事实
4.证明命题的一般步骤
主板书 副板书
7.2 认识证明 （第2课时 公理与定理） 例题
探究点1 公理、证明、定理的定义
探究点 2 证明的过程 学生练习板演
课堂小结
1. 必做题：教科书章末复习题第1，2题。
2. 探究性作业：现实生活中的一些游戏、交流、比赛等活动，得选一些大家认可的结论、规则作为出
发点，这不正是《原本》的思想吗？找出一些实例，和同伴交流。
