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第 05 讲 易错易混集训：利用勾股定理求解易错
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】.............................................................................1
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】....................................................................................3
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】.....................................................................7
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】.......................................................10
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长
的平方是__
【答案】7或25
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方 ；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方 ．
故答案为：7或25．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为___．
【答案】10或
【分析】分两种情况：6和8分别为两直角边；8为斜边，6为直角边；分别利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当6和8分别为两直角边时，斜边长 ；
当8为斜边，6为直角边时，则另一条直角边长 ；
故答案为：10或 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题关键．2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若 ， ，
则这个直角三角形的面积为______．
【答案】 或
【分析】此题有两种情况：当a，b为直角边，此时用面积公式即可求解；当a，c为直角边，用勾股定理
求出b，再用面积公式即可求解；
【详解】解：当a，b为直角边时， ；
当a，c为直角边时，根据勾股定理， ，即 ，
故答案为 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理，正确分类讨论是解题关键．
3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为 ， ，且满足 ，
则该直角三角形的第三条边长为_____．
【答案】 或
【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得， ， ，
解得： ， ，
当 为直角边时，直角三角形的第三条边长 ，
当 为斜边时，直角三角形的第三条边长 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角
形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，
MN＝4，则BN的长为______．
【答案】5或 ## 或
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：当 为直角边时，当 为斜边时，则 为直角边，再利用勾股
定理可得答案.
【详解】
解：当 为直角边时，当 为斜边时，则 为直角边，
故答案为： 或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考阶段练习）若在 中， ，
，高 ，则 的长为 _____；
【答案】 或
【分析】根据高的定义可得 ，进而根据勾股定理分别求得 ，分类讨论即可求
解．
【详解】解：如图，
为边 上的高，
，
在 中， ，
在 中， ，
当点 在线段 上时， ；
当点 在线段 的延长线上时， ，
的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形高的定义，勾股定理，分类讨论解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模） 的高 长为3，且 ， ，则 的周长是
___________．
【答案】 或
【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1：
， ， ，
所以三角形 的周长 ；
如图2：
， ， ，
所以三角形 的周长 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，
且BP＝6，则线段AP的长为__________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，
∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在 中，
或
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．
3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在 中， 是 边上的高， ，
， ，则 的面积为______．
【答案】30或18/18或30
【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得 的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
（1）如图，当 在 的内部时，
是 边上的高，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
（2）如图，当 在 的外部时，
是 边上的高，
，在 中， ，
在 中， ，
，
，
故答案为：30或18．
【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得 的长是解决本题的关键．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在 中，
，动点 从点 出发沿射线BC以 的速度运动，设运动的时间为 ，
为直角三角形时，则 的值_______．
【答案】 或
【分析】当 为直角三角形时，分两种情况：①当 为直角时，②当 为直角时，分别求出
此时 的值即可．
【详解】在 中，由勾股定理得： ，
，
由题意得： ．，
①当 为直角时，
如图①，点 与点 重合，
，
；
②当 为直角时，
如图②， ． ， ，
在 中， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类
讨论，否则会出现漏解．
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】
例题：如图是一个直角三角形纸片， ，BC，AC的长分别为3cm，4cm.现要给它再拼接一个直角
三角形纸片，两纸片不重叠且无缝隙，使得拼成的图形是等腰三角形，则拼接成的等腰三角形的周长为
________.
【答案】18cm或16cm
【分析】分BC为重合边和AC为重合边计算即可.
【详解】解：由勾股定理，得： （cm），
当BC为重合边时，周长为 （cm）；
当AC为重合边时，周长为 （cm）.
故答案为18cm或16cm.
【点睛】本题考查了勾股定理和图形的剪拼，主要利用了等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题型．
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，
AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角
形时，t的取值为_____．
【答案】5或8或【解析】
【分析】
当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出
BP的长度，继而可求得t值．
【详解】
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
①当AB＝BP时，如图1，t＝5；
②当AB＝AP时，如图2，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以 ，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ ．
故答案为：5或t＝8或t＝ ．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，
注意不要漏解．
2．已知：如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿射线 以
的速度移动，设运动的时间为 秒．
(1)求 边的长；
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
(3)当 为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)3cm(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得： ， ，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知
识即可解答；
（3）当 为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、
勾股定理等知识即可解答．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ．
（2）解：
当 时，点 与点 重合，
∴ ，
即 ；
当 时，如下图所示：
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
综上：当 为直角三角形时， 或 ；
（3）解：当 时，如下图所示：
∵ ，
∴ ，
即 ．
当 时，如下图所示：∴ ；
当 时，如下图所示：
则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ．
综上：当 为轴对称图形时， 或 或 ．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关
键．
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在
杯内壁离杯底 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A
处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接 ，过点B作 于
D，由已知得： ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ．
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高 ，底面周长为 ，在外侧距下底
处 有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处 的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇
的最短路线长是______ ．
【答案】15
【分析】展开后连接 ，求出 的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作 于E，求出
、 ，根据勾股定理求出SF即可．
【详解】解：如图展开后连接 ，求出 的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，
过S作 于E，
则 （ ）， （ ），
在 中，
由勾股定理得： （ ），故答案为15．
【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适
中．
2．（2022秋·七年级单元测试）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是 、 、 ，一只蚂蚁想
从盒底的 点爬到盒顶的 点，它至少要爬行__________ ．
【答案】
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，再根据勾股定理求出 的长，最短者即
为正确答案．
【详解】解：如图1所示，当沿长方体的高展开时，
由勾股定理得 ，
如图2所示，当沿长方体的长展开时，
由勾股定理得 ，
∵ ，
∴
∴蚂蚁爬行的最短路程是 ．故答案为： ．
【点睛】此题考查了平面展开—最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上．若
米，点 到 的距离是6米，有一只蚂蚁要从点 爬到点 ，它的最短行程是________米．
【答案】
【分析】可将教室的墙面 与地面 展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理
求解即可．
【详解】解：如图，将教室的墙面 与地面 展成一个平面，
过P作 于G，连接 ，
∵ 米， 米，
∴ (米)，
∴ 米，
∴ （米）．
故这只蚂蚁的最短行程应该是 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的
线段长来进行解决．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体
去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘 ，点 在
上， ．一名滑雪爱好者从 点滑到 点时，他滑行的最短路程约为______（ 取3）．【答案】15
【分析】要使滑行的距离最短，则沿着 的线段滑行，先将半圆展开为长方形，展开后，A、D、E三点
构成直角三角形， 为斜边， 和 为直角边，求出 和 的长，再根据勾股定理求出 的长度
即可．
【详解】解：将半圆面展开可得，如图所示：
∵滑行部分的斜面是半径为3的半圆
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用和两点之间线段最短，解题关键是把U型池的侧面展开成长方形，
“化曲面为平面”，再利用勾股定理求解．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长 米，宽 米的长方形草地上放着一根长方形木
块，已知该木块的较长边和草地宽 平行，横截面是边长为 米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木
块到达C处需要走的最短路程是多少米？【答案】最短路程是10米
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的宽，
∴长为 米；宽 米．
于是最短路径为： 米．
答：最短路程是10米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理求最短路径问题，两点之间线段最短，掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三
个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体
表而爬到点C 处；
1
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体
侧面爬到点C处．
【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm；（2）蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm；（3）
蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．【分析】（1）根据正方体的侧面展开图，利用勾股定理求出AC 的长即可得答案；
1
（2）分横向展开和竖向展开两种情况，分别利用勾股定理求出AC 的长，比较即可得答案；
1
（3）画出圆柱侧面展开图，利用勾股定理求出AC的长即可得答案．
【详解】（1）正方体的侧面展开图如图所示：AC 为蚂蚁需要爬行的最短路径长，
1
∵正方体的棱长为5cm，
∴AC=10，CC =5，
1
∴AC = = cm．
1
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
（2）分两种情况：
①如图，当横向展开时：AC=10，CC =6，
1
∴AC = = cm，
1
②如图，当竖向展开时：AD=11，DC =5，
1
∴AC = = cm，
1
∵ ＜ ，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．
（3）圆柱侧面展开图如图所示：
∵圆柱底面周长为10cm，高为5cm，
∴BC=5，AB=5，
∴AC= = cm，
∴蚂蚁需要爬行的最短路径长为 cm．【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图及勾股定理，熟记各立体图形的侧面展开图是解题关键．
