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第 05 讲 易错易混集训：利用勾股定理求解易错
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】.............................................................................1
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】....................................................................................3
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】.....................................................................7
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】.......................................................10
【易错一 没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长
的平方是__
【变式训练】
1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为___．
2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）已知一个直角三角形的三边长分别为a，b，c．若 ， ，
则这个直角三角形的面积为______．
3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为 ， ，且满足 ，
则该直角三角形的第三条边长为_____．
4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角
形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，
MN＝4，则BN的长为______．
【易错二 三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】
例题：（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考阶段练习）若在 中， ，
，高 ，则 的长为 _____；
【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模） 的高 长为3，且 ， ，则 的周长是
___________．
2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，
且BP＝6，则线段AP的长为__________．
3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在 中， 是 边上的高， ，
， ，则 的面积为______．
4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在 中，
，动点 从点 出发沿射线BC以 的速度运动，设运动的时间为 ，
为直角三角形时，则 的值_______．
【易错三 等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】
例题：如图是一个直角三角形纸片， ，BC，AC的长分别为3cm，4cm.现要给它再拼接一个直角
三角形纸片，两纸片不重叠且无缝隙，使得拼成的图形是等腰三角形，则拼接成的等腰三角形的周长为
________.
【变式训练】
1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，
AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角
形时，t的取值为_____．
2．已知：如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿射线 以的速度移动，设运动的时间为 秒．
(1)求 边的长；
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
(3)当 为等腰三角形时，求t的值．
【易错四 求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在
杯内壁离杯底 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A
处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）
A．20 B．25 C．30 D．40
【变式训练】
1．（2022秋·山东威海·七年级统考期末）如图，圆柱形玻璃杯高 ，底面周长为 ，在外侧距下底
处 有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处 的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇
的最短路线长是______ ．
2．（2022秋·七年级单元测试）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是 、 、 ，一只蚂蚁想
从盒底的 点爬到盒顶的 点，它至少要爬行__________ ．3．（2023春·八年级课时练习）如图，教室的墙面 与地面 垂直，点 在墙面上．若
米，点 到 的距离是6米，有一只蚂蚁要从点 爬到点 ，它的最短行程是________米．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体
去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘 ，点 在
上， ．一名滑雪爱好者从 点滑到 点时，他滑行的最短路程约为______（ 取3）．
5．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长 米，宽 米的长方形草地上放着一根长方形木
块，已知该木块的较长边和草地宽 平行，横截面是边长为 米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木
块到达C处需要走的最短路程是多少米？6．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三
个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C 处；
1
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体
表而爬到点C 处；
1
（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体
侧面爬到点C处．
