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1.5 角平分线
题型一 利用角平分线的性质进行简单计算
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在 内作一条射线 ，在 上取一点P，过点P分
别作 于点Q， 于点E，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离相等的
点在角的平分线上，进而求出 的度数．
【详解】解：∵ ， ， ，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 是 的角平分线，
∴ ，
故选：B．
2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， ，点 在 上， 于点 ， 于
点 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定 是角的平分线，利用角平分线的性
质即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：7．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点
E， 于点D，如果 ， ，那么 的长是 ．
【答案】2
【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出 ，再由角平分线的性质即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ．
故答案为：2．
4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， 、 的角平分线交于点 ，过点
作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为 ， ，则 的周长是
．
【答案】16
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由角平分线与平行线的性质，证出 ，得 ，同理可证 ，结合周长公式可得
出结果．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ，
∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：16．
题型二 角平分线的判定定理
1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与
的边 ， 重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A． 的平分线上 B．边 的高线上
C．边 的垂直平分线上 D．边 的中线上
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
作射线 ，根据角平分线的判定定理得到 平分 ，得到答案．
【详解】解：作射线 ，
由题意得， ， ， ，
平分 ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在 中，D、E分别是边 、 延长线上的点，
平分 ， 平分 ，求证： 平分 ．
要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（ ）”中填证明依据
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学科网（北京）股份有限公司证明：过点P分别作 ， ， ．
∵ 平分 （已知），且 ， ，
∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵ 平分 ，且______，
∴ ，
∴______（等量代换）．
又∵ ， ，
∴点P在 的平分线上（ ）
∴ 平分 ．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可．
【详解】证明：过点P分别作 ， ， ．
∵ 平分 （已知），且 ， ，
∴ （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴ ，
∴ （等量代换）．
又∵ ， ，
∴点P在 的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上）
∴ 平分 ．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图， 中， ， 分别是边 ， 延长线上的点， 平分
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学科网（北京）股份有限公司， 平分 ，求证： 平分 ．
【答案】见解析
【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P
作 于点 ，过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，根据角平分线的性质得到
，则 ，再根据角平分线的判定进行证明即可．
【详解】解：过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点 ， 于点
∴ 平分 ．
4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在 中，点 在 边上， ， 的
平分线交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ，连接 ．
(1)求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求证： 平分 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性
质定理是解题关键．
（1）首先解得 的值，结合 ，即可获得答案；
（2）过点 作 于 ， 于 ，利用角平分线的性质定理证明 ，然后证明结论即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 于 ， 于 ，如下图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ．
5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 和 中， ， ， ，
分别交 ， 于点 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；
（1）证明 即可得到 ；
（2）过点 分别作 于点 ， 于点 ，根据 得到 ，
，利用三角形的面积公式得到 ，再利用角平分线的判定定理即可证明 平分
．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
，
，
．
（2）证明：过点 分别作 于点 ， 于点 ，
由（1）得， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
又 ， ，
平分 ．
题型三 角平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的
是（ ）
A．说明 的依据是
B．
C． 上任意一点到 两边的距离相等
D．点M，N到 的距离不相等
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可
得 ，证明 即可判断A；根据作图即可判断B；点E为 上任意
一点，过点E作 于点G， 于点H，证明 即可判断C；过点N作
于点P，过点M作 于点Q，证明 ，即可判断D．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、由作图可知： ，
又 ，
∴ ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
B、由作图可得： ，故B正确，不符合题意；
C、点E为 上任意一点，过点E作 于点G， 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 上任意一点到 两边的距离相等，
故C正确，不符合题意；
D、过点N作 于点P，过点M作 于点Q，
∵ ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故D错误，符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长度为
半径画弧，交 、 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 为半径画弧．两弧在
内相交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则点 到 的距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
先根据尺规作图判断 是 的平分线，再利用角平分线的性质得出点 到 的距离等于 的长
度．
【详解】解：设点 到 的距离为 ，
由题意可得 平分 ，
∵ ，即 ，点 到 的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在长方形 中，连接 ，以A为圆心适当长
为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，分别以E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
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学科网（北京）股份有限公司内交于点H，画射线 交 于点M．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键．
先利用矩形的性质得到 ，则利用平行线的性质可计算出 ，再由作法得 平分
，所以 ．
【详解】解：在长方形 中，
∵ ， ，
∴ ，
由作法得： 平分 ，
∴ ．
故选：C．
4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，适当
长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧．两
弧在 的内部相交于点 ．作射线 交 于点 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于
点 和点 ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ．连接 交 于点
．若 ，则 的周长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了作图—角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直角三角
形的性质，理解题意是解决本题的关键．
由作图可得， 是 的角平分线， ，则根据角平分线的性质 ，证明 ，
可得 ，进而即可求解．
【详解】解：由作图可得， 是 的角平分线， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为
．
又∵ ，且 ，
∴ ，
∴
．
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26九年级上·重庆·月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边
形 中， ，若 平分 ，则 ，请根据他的思路完成以下作图和推理
填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作 的垂线，交 于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： ．
证明：过点C作 交 延长线于点F
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴①．
∵ ，②，
∴ ．
在 和 中，
∴ （④）．
∴ ．
【答案】(1)见解析
(2) ； ； ；
【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）以点 为圆心，以超过 到 的距离为半径画弧，交 于 ，再分别以 为圆心，以大于
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学科网（北京）股份有限公司为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 交 于点 ，则 为所求；
（2）根据角平分线的性质，可得 ，结合平角 ，可知 ，接着利
用 证明 ，从而得出结论．
【详解】（1）解：下图 即为所求：
（2）证明：过点C作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法
1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在 中， 的平分线交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则点 到 的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键．
先由题意求出 ，过点 作 于点 ，如图所示，从而由角平分线的性质得到 即可
确定答案．
【详解】解： ，
，
过点 作 于点 ，如图所示：
在 中， 的平分线交 于点 ，
由角平分线的性质可知 ，
则点 到 的距离为 ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图， 是 中 的平分线， 交 于点E，若
， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司过点D作 ，由角平分线的性质可得， ，由题意知 ，计算求
解即可．
【详解】解：过点D作 ，如图，
是 的平分线，且 ， ，
，
，
，
解得 ．
故选：B．
3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 ， 交于点M，连接 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．
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学科网（北京）股份有限公司证明 ，得到 ， ， ， ，则
，即 ，作 于点I， 于点L，可知 ，即点O在
的平分线上，即可求出 的度数．
【详解】解： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
， ， ， ，
，
，
，
作 于点I， 于点L，则 ，
，
，
点O在 的平分线上，
平分 ，
，
故选：C．
4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形 中， 平分 ， ， ，且
的面积为2，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，得到 是解题的关键．
过点 作 的延长线于点 ，利用角平分线的性质可得出 ，再利用三角形的面积公式
求解即可．
【详解】解：如图所示，过点 作 的延长线于点 ，
平分 ， ，
，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：2．
5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形 中， ， ， ， 平分
交 于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点D作 于点E，利用勾股定理求出 的
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学科网（北京）股份有限公司长，由角平分线的性质得到 ，根据 求出 的长，再利用勾股定理即可求出
的长．
【详解】解：如图所示，过点D作 于点E，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， 中， 平分线 和边 的垂直平分线 交于点
，已知点 到 边距离为 ，那么点E和点A之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点 作 ，根据题意得到
，由角平分线的性质可得 ，利用勾股定理即可求出 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：过点 作 ，
由题意得 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E和点A之间的距离为 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点 为 的中点， 平分 ．
(1)若 ．
①求证： 平分 ．
②猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
(2)若 ，请你思考 应该满足什么条件，能使得（1） 中结论依然成立，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；② ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构
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学科网（北京）股份有限公司建全等三角形是解题的关键．
（1）①过点 作 交于 ，由角平分线的性质得 ，再由角平分线的判定定理即可得证；
②由 可判定 ，由全等三角形的性质即可得证；
（2）在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，由 判
定 ，结合全等三角形的性质，再由 判定 、 ，由全等三
角形的性质即可得证．
【详解】（1）①证明：过点 作 交于 ，
平分 ， ，
，
点 为 的中点，
，
，
， ，
平分 ；
② ，
证明： ， ，
（ ），
，
同理可证 ，
；
（2）解： ，
理由如下：在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
平分 ，
，
，
（ ），
， ，
，
，
，
点 为 的中点，
，
，
（ ），
，
平分 ，
，
，
（ ），
，
．
故 时，能使得（1） 中结论依然成立．
题型二 与角平分线有关的面积计算问题
1．（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图， 是 的角
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学科网（北京）股份有限公司平分线， 于点E， ， ，则 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点D作 于点F，根据角平分线的性质定理可得
，再由三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作 于点F，
∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B
2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知 中， 平分 ， 于点 ，连接 ，若
，则 的面积是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．6 B．7.5 C．10 D．15
【答案】B
【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作 于点F，由 平分
， 于点E，根据角平分线的性质得 ，而 ，则
，于是得到问题的答案．
【详解】解：作 于点F，
∵ 平分 ， 于点E，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为 的角平
分线． ， 相交于点 ， 平分 ，已知 ， ， 的面积 ，求
的面积 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】4
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三
角形面积公式是解题的关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线性质定理得 ，结合三角
形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出 ，再通过 证明 ，
，则 ， ， ，根据三角形面积公式求出 ，
，再根据 的面积 求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
， ， 分别为 的角平分线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司同理可得 ，
，
，
， ，
，
的面积 ，
，
，
为 的角平分线， ， ，
，
，
的面积 ，
故答案为：4．
4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图， 中，点 在 边上，连接 ， 的角平分线与
的角平分线交于点 ，连接 ．若 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，利用角平分线的性质，推导点 到 、 的
距离相等是解题关键．
作 到 、 、 的垂线，可由角平分线性质得三条垂线段相等，然后通过 的面积求出垂线
段长度，用该长度计算 的面积即可．
【详解】解：如图，过点 分别作 、 、 的垂线，交 延长线于点 ，交 延长线于点 ，
交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， 平分 ，
， ，
，
已知 ， ， ，
，
解得 ，即 ，
．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知在 中， ， ， ， 平分
， 平分 ， 与 交于点O，若过点O的直线 平分 面积，那么 的长
为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理；过点O作 ，垂足分别
为H、G、P，连接 ，由角平分线的性质得到 ，利用勾股定理求出 ，进而利用等
面积法求出 ，再由过点 的直线 平分 面积，得到 ，
则 ，再根据 可得答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：如图所示，过点O作 ，垂足分别为H、G、P，连接 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 的直线 平分 面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
故答案为：9．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图， 中，点 在 边上， ， 的平分
线交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ， ， ，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上
的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到 ，利用三角形外角的性质得到 ，再根据 ，
即可求出 的度数；
（2）过点E作 ， ，根据角平分线的性质得到 ， ，进而得到 ，
再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出 ，再根据三角形的面积公式计算，即可求出 的面积．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
， ，
，
（2）证明：过点E作 交 于点G， 交 于点H，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知， ，
平分 ，
， ，
，
平分 ， ， ，
，
，
， ，
平分 ；
（3）解： ，
， ， ，
，
．
题型三 角平分线性质的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线 ， ， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A． 处 B． 处 C． 处 D． 处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键．根据角平分线上的点到角两边
的距离相等，作图分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点
到三条公路的距离相等，
∴可供选择的地址有4个，
故选：D ．
2．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示， 是一个正在修建的口袋
公园，要在公园里修建一座凉亭 ，使该凉亭到公路 、 、 的距离都相等，则凉亭 是 的
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭 ，使该凉亭到公路 、
、 的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉
亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到
三边的距离相等．
【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，
∴该点应是三角形三条角平分线的交点，
故选：B．
4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点 在点 的北偏西 的方向上，且 ， ，
．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在点 北偏东 方向上
B．点 在点 南偏西 方向上
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学科网（北京）股份有限公司C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查方向角，作图—角平分线基本作图，角平分线的性质，含 角的直角三角形，能根据作
图得出 是 的角平分线是解决此题的关键.
先得到 是 的角平分线，求出 ，
，即可推导出 ，点 在点 北偏东 方向上； 点 在点 南偏西 方向
上； ， ，则 ，即可解答．
【详解】解：如图，由题意，及图得
是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
即点 在点 北偏东 方向上，
故A正确；
∵ ， ， 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴点 在点 南偏西 方向上，
故B错误，C正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故D正确．
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，只有B错误．
故选B．
5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板
电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长 ，支撑板顶端的C恰好是托板
的中点，托板 可绕点C转动，支撑板 可绕点D转动．当 ，且射线 恰好是 的平分
线时，此时点B到直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点 作 ，垂足为点F，根据C是 的中点可求 的长度，再根据角平分线的性质求解
即可．
【详解】解：如图：过点 作 ，垂足为点F，
∵C是 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，射线 是 的平分线，
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学科网（北京）股份有限公司．
故选：B．
6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，
我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域 ．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形
区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等．
(1)请你用尺规作图选定位置 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若已知三角形区域 周长是 米，面积是 平方米，请你计算这个服务站 到三条公路的距
离．
【答案】(1)见解析；
(2)这个服务站 到三条公路的距离均为 米．
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）分别作 和 平分线即可；
（ ）连接 ，设点 到三边的距离均为 ，则有 ，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：作 和 平分线，交于点 ，则点 即为所求，如图所示，
（2）解：连接 ，设点 到三边的距离均为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，
即这个服务站P到三条公路的距离均为 米．
7．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中
转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】4处，作图见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线，
作三角形内角的平分线，两条平分线交于点 ，点 到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，
交于点 ，点 到这三条公路的距离相等；同理还有点 ， ，则此题可解.
【详解】解：如图所示，一共有4处，即点 ， ， ， .
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第 页第 题：
经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，
等于这个角的两邻边的比．
过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ．
平分 ，且 点 ， 于点 ，
∴___________，
∴ ___________，
又∵ ___________，
∴ ．
(1)请你补全小海同学的证明过程；
(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？
请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ， ，
(2)成立，证明见解析
【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出 是解决问题的关
键．
（1）由角平分线的性质得到 ，再由 即可得到答案；
（2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到 ，再由
即可得到答案．
【详解】（1）解：过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
平分 ，且 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ， ， ；
（2）解：成立．
已知：如图，在 中， 平分 一个外角 ，交 所在直线于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司求证： ．
证明：过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝ ．
题型一 角平分线性质与判定的综合运用
1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）【初步感知】
（1）如图1，已知 为等边三角形，点D是边 上一动点（点D不与点B，点C重合），以 为
边向右侧作等边 ，连接 ．求证： ；
【类比探究】
（2）如图2，已知，在 中， ， ，点G为边 上一点，过点C作 垂直射线
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学科网（北京）股份有限公司于点 ，连接 ，请求出 的度数；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形 中， ， 是对角线， 是等边三角形， ，若 ，
，请求出 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ， ， ，
，利用角的和差关系得出 ，利用 证明 ，得出
，根据平行线的判定定理即可得结论；
（2）过点 作 ，交 延长线于 ， 于 ，根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等
得出 ，利用 证明 ，得出 ，根据角平分线的判定定理即可得出
．
（3）以 为边，作等边三角形 ，连接 ，利用等边三角形的性质及角的和差关系得出 ，
，利用 证明 ，得出 ，利用勾股定理即可得答案．
【详解】证明：∵ 、 为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ,
∴ ．
（2）解：如图，过点 作 ，交 延长线于 ， 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，以 为边，作等边三角形 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及勾股定理，熟练掌握
相关性质及判定定理是解题关键．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形 中， ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2) 在 边上，连接 ，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下， ， 交 于 ， 在 边上， ， 交
于 ，过 作 于 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）延长 ，过点C作 ， ，证 ，得到 ，即
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学科网（北京）股份有限公司可得到 平分 ．
（2）延长 至点N，连接 ，通过角度转化，得到 ，由 得到
，则 ，得到 ．
（3）连接 ，延长 、 交于点T，过点F作CD的平行线交 的延长线于点Q，设 ，则
， ， ，先证 是等边三角形，得到 ，证
，得到 ， ，再证 ，得到 ，
再证 ，得到
，根据 列方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长 ，过点C作 ， ，
，
，
又 ，
，
，
平分 ．
（2）如图，延长 至点N，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）可知 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
．
（3）如图，连接 ，延长 、 交于点T，过点F作CD的平行线交 的延长线于点Q，设 ，
则 ， ， ，
由（1）可知 ，由（2）可知 ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是 的中位线，
，
，
，解得 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形
的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键．
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