文档内容
1.5 角平分线
题型一 利用角平分线的性质进行简单计算
1．【答案】B
2．【答案】7
3．【答案】2
4．【答案】16
题型二 角平分线的判定定理
1．【答案】A
2．
【答案】答案见解析
【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可．
【详解】证明：过点P分别作 ， ， ．
∵ 平分 （已知），且 ， ，
∴ （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴ ，
∴ （等量代换）．
又∵ ， ，
∴点P在 的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上）
∴ 平分 ．
3．
【答案】见解析
【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键．过点P
作 于点 ，过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，根据角平分线的性质得到
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，再根据角平分线的判定进行证明即可．
【详解】解：过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，过点P作 于点 ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点 ， 于点
∴ 平分 ．
4．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性
质定理是解题关键．
（1）首先解得 的值，结合 ，即可获得答案；
（2）过点 作 于 ， 于 ，利用角平分线的性质定理证明 ，然后证明结论即
可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：过点 作 于 ， 于 ，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ．
5．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；
（1）证明 即可得到 ；
（2）过点 分别作 于点 ， 于点 ，根据 得到 ，
，利用三角形的面积公式得到 ，再利用角平分线的判定定理即可证明 平分
．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
，
，
．
（2）证明：过点 分别作 于点 ， 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得， ，
， ，
，
，
又 ， ，
平分 ．
题型三 角平分线（尺规作图）
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．
【答案】(1)见解析
(2) ； ； ；
【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌
握以上知识点是解题的关键．
（1）以点 为圆心，以超过 到 的距离为半径画弧，交 于 ，再分别以 为圆心，以大于
为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 交 于点 ，则 为所求；
（2）根据角平分线的性质，可得 ，结合平角 ，可知 ，接着利
用 证明 ，从而得出结论．
【详解】（1）解：下图 即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明：过点C作 交 延长线于点F，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】2
5．【答案】
6．【答案】
7．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)①见解析；② ，见解析
(2) ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅助线构
建全等三角形是解题的关键．
（1）①过点 作 交于 ，由角平分线的性质得 ，再由角平分线的判定定理即可得证；
②由 可判定 ，由全等三角形的性质即可得证；
（2）在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，由 判
定 ，结合全等三角形的性质，再由 判定 、 ，由全等三
角形的性质即可得证．
【详解】（1）①证明：过点 作 交于 ，
平分 ， ，
，
点 为 的中点，
，
，
， ，
平分 ；
② ，
证明： ， ，
（ ），
，
同理可证 ，
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学科网（北京）股份有限公司；
（2）解： ，
理由如下：在 上截取 ，连接 ，过点 作 交于 ，作 交于 ，
，
平分 ，
，
，
（ ），
， ，
，
，
，
点 为 的中点，
，
，
（ ），
，
平分 ，
，
，
（ ），
，
．
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学科网（北京）股份有限公司故 时，能使得（1） 中结论依然成立．
题型二 与角平分线有关的面积计算问题
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】4
4．【答案】
5．【答案】9
6．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上
的点到角的两边的距离相等是解题关键．
（1）根据垂直得到 ，利用三角形外角的性质得到 ，再根据 ，
即可求出 的度数；
（2）过点E作 ， ，根据角平分线的性质得到 ， ，进而得到 ，
再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
（3）根据三角形的面积公式求出 ，再根据三角形的面积公式计算，即可求出 的面积．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明：过点E作 交 于点G， 交 于点H，
由（1）可知， ，
平分 ，
， ，
，
平分 ， ， ，
，
，
， ，
平分 ；
（3）解： ，
， ， ，
，
．
题型三 角平分线性质的实际应用
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司4．【答案】B
5．【答案】B
6．
【答案】(1)见解析；
(2)这个服务站 到三条公路的距离均为 米．
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）分别作 和 平分线即可；
（ ）连接 ，设点 到三边的距离均为 ，则有 ，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：作 和 平分线，交于点 ，则点 即为所求，如图所示，
（2）解：连接 ，设点 到三边的距离均为 ，
∴ ，解得 ，
即这个服务站P到三条公路的距离均为 米．
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学科网（北京）股份有限公司7．
【答案】4处，作图见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理的应用，尺规作角平分线，
作三角形内角的平分线，两条平分线交于点 ，点 到这个三角形三边的距离相等；再作两个外角的平分线，
交于点 ，点 到这三条公路的距离相等；同理还有点 ， ，则此题可解.
【详解】解：如图所示，一共有4处，即点 ， ， ， .
8．
【答案】(1) ， ，
(2)成立，证明见解析
【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出 是解决问题的关
键．
（1）由角平分线的性质得到 ，再由 即可得到答案；
（2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到 ，再由
即可得到答案．
【详解】（1）解：过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司平分 ，且 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ， ， ；
（2）解：成立．
已知：如图，在 中， 平分 一个外角 ，交 所在直线于点 ．
求证： ．
证明：过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ，如图所示：
平分 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ＝ ．
题型一 角平分线性质与判定的综合运用
1．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出 ， ， ，
，利用角的和差关系得出 ，利用 证明 ，得出
，根据平行线的判定定理即可得结论；
（2）过点 作 ，交 延长线于 ， 于 ，根据直角三角形两锐角互余及对顶角相等
得出 ，利用 证明 ，得出 ，根据角平分线的判定定理即可得出
．
（3）以 为边，作等边三角形 ，连接 ，利用等边三角形的性质及角的和差关系得出 ，
，利用 证明 ，得出 ，利用勾股定理即可得答案．
【详解】证明：∵ 、 为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ．
（2）解：如图，过点 作 ，交 延长线于 ， 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图，以 为边，作等边三角形 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定及勾股定理，熟练掌握
相关性质及判定定理是解题关键．
2．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）延长 ，过点C作 ， ，证 ，得到 ，即
可得到 平分 ．
（2）延长 至点N，连接 ，通过角度转化，得到 ，由 得到
，则 ，得到 ．
（3）连接 ，延长 、 交于点T，过点F作CD的平行线交 的延长线于点Q，设 ，则
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，先证 是等边三角形，得到 ，证
，得到 ， ，再证 ，得到 ，
再证 ，得到
，根据 列方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长 ，过点C作 ， ，
，
，
又 ，
，
，
平分 ．
（2）如图，延长 至点N，连接 ，
由（1）可知 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
，
，
．
（3）如图，连接 ，延长 、 交于点T，过点F作CD的平行线交 的延长线于点Q，设 ，
则 ， ， ，
由（1）可知 ，由（2）可知 ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
又 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是 的中位线，
，
，
，解得 ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形
的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键．
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