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第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则（
）
A．a >0 B．a≠0 C．a=0 D．a≧0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据一元二次方程的概念进行求解即可．
【详解】
关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且
a≠0），熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）把一元二次方程 化成一般形式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为 从而可得答案．
【详解】
解：∵ ，
∴
∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解
本题的关键．
3．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中，是关于 的一元二次方程的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解．
【详解】
解：A、该方程属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
C、 化简得： 符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4．（2021·河南周口·九年级期中）把方程 化成一般式 ，则正确的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】
【分析】
将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．
【详解】
将 去括号得 ；移项得
∴ ，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．
5．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程，逐项
判定即可．
【详解】
解：A、 是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、 分母中含有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、 未知数的最高次数是1不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
6．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项的系数即可．
【详解】
解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0，
∴二次项系数为1，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式．
二、填空题
7．（2022·辽宁阜新·九年级期末）把一元二次方程x(3x+4)＝(2x+1)2化为一般式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接去括号，进而移项得出答案．
【详解】
解：由x(3x+4)＝(2x+1)2得： ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．
8．（2022·湖南怀化·九年级期末）已知方程 ．当 _____时，为一元二次方程．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得到 且 ，解得即可．【详解】
根据题意得， 且 ，
解得k=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方
程，熟知定义是解题的关键．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）＋5＝__．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意“a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根”，则可把x=a代入原方程，得到关于a的一个一元二次方程，
通过移项得到“2a2﹣7a＝1”，将2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式，即可得到答案．
【详解】
解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将
2a2﹣7a当作一个整体，代入原代数式是解题的关键．
10．（2022·江苏·九年级）（1）若(m﹣2)x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是
________．
（2）一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m＝________．
【答案】 m≠2 1
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义可进行求解；
（2）把x＝0代入方程即可求解．【详解】
解：（1）∵方程（m﹣2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，解得m≠2．
故答案为：m≠2；
（2）将x＝0代入（m+1）x2+x+m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0，
∴m＝1或m＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义及其它的解是解题
的关键，注意二次项系数不能为0．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程 的常数项为0，求m
的值．
【答案】m＝﹣2
【解析】
【分析】
根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 的常数项为0，
∴
解得：
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，熟练掌握其定义是解本题的关键．
y=2x2
12．（2022·全国·九年级）已知关于x的方程（m﹣ ） ﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝ 或 或±1
(2)m＝﹣
【解析】
【分析】
（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
(1)
解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m﹣ ＝0，解得m＝ ，
当m＝ 时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝ 或 或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
(2)
解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣ ≠0，
解得m＝﹣ ，
当m＝﹣ 时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做
一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
提升篇
一、填空题
1．（2021·浙江温州·八年级期中）若m是方程 的一个根，则 的值为______．
【答案】2019
【解析】
【分析】
首先根据题意可得 ，再把 变式，即可求得其值．
【详解】
解： m是方程 的一个根，
，
，
=2019
故答案为：2019．
【点睛】
本题考查了利用方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用利用方程的解求代数式值的方法是解决本题的关
键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一个根是0，
则m＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解关于m的方程，最后利用一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】
解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m＝2，m＝﹣2，
1 2
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义得出k−1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．
【详解】
解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴k−1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝−1，
故答案为：−1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且
所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
4．（2021·福建·上杭县第三中学九年级期末）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣2021=0的一个根，则m2﹣
2m=_____．
【答案】2021
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的解的定义代入的方法计算m2-2m的值．
【详解】
解：把x=m代入方程x2﹣2x﹣2021=0，
得m2-2m-2021=0，∴m2-2m=2021．
故答案为：2021．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）在一元二次方程 中，若 ，则称a是该方程的中
点值．
（1）方程 的中点值是______；
（2）已知 的中点值是3，其中一个根是2，则此时mn的值为______．
【答案】 4 48
【解析】
【分析】
（1）利用中点值的定义进行分析即可；
（2）利用中点值的定义求出 的值，将 的值与方程的根代入方程即可求出 ，从而计算 的值．
【详解】
解：（1）由 ，得 ，
，
该方程的中点値为 ．
（2）由 ，得 ，
该方程的中点值为 ，
，解得 ．
的一个根是 ，
，即 ，
解得 ．
符合题意．
．故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查了新定义概念，解决本题的关键是充分理解新定义的含义．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将
m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．
【详解】
解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
【点睛】
本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整
体代入法的运用．
7．（2022·全国·九年级专题练习）计算：
先化简，再求值： ，其中x的值是一元二次方程 的解．
【答案】 ， 6
【解析】
【分析】
先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，继而根据方程变形得出
，代入计算即可．【详解】
解：原式
；
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
8．（2022·湖南·株洲景炎学校一模）先化简，再求值： ，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0
的根．
【答案】 ，1
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法
运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，将x=a代入方程得到a2－a＝1，代
入化简后的式子中计算，即可求出值．
【详解】
解：原式∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴a2－a－1＝0，
∴a2－a＝1，
∴原式＝1．
【点睛】
本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”思想是解题的关
键，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2－a＝1整体代入化简后的代数式．
