文档内容
2.1 认识实数-北师大版(2025)数学八年级上册
一、选择题
1
1．（2018八上·灌云月考）下列各数中，
3.14159，−√38，0.131131113⋅⋅⋅，−π，√25，−
7
，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023八上·顺德月考）下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数
B．无理数包括正无理数、0、负无理数
C．带根号的数都是无理数
D．实数与数轴上的点是一一对应的
3．（2024八上·贵阳期末）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC=1，连接OB，
以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ）
A．√5 B．−√5 C．2−√5 D．√5−2
4．（2023八上·济南开学考）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无
理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2019八上·丹东期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．−2 与 − B．|−√2| 与 √2
2
C．√(−2) 2 与 √3−8 D．√3−8 与 −√38
6．（2023八上·栾城期中）若实数a的立方根与b的立方根互为相反数，则a与b的关系是（ ）
1
A．a=b=0 B．a=b C．a+b=0 D．a=
b
x
7．（2021八上·滕州月考）若 √32y−1 与 √31−3x 互为相反数，则 的值为（ ）．
y
2 3 2 3
A． B． C．− D．−
3 2 3 2
1 / 138．（2024八上·高邑期末）数轴上表示1，√2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则
点C所表示的数是（ ）
A．√2-1 B．1-√2 C．2-√2 D．√2-2
二、填空题
22
9．（2021八上·长春月考）π ， ， √8 ， √3343 ，3，1416， √3 无理数的个数是 个．
7
10．（2019八上·陇西期中）√3 -2的相反数是 ，绝对值是
11．若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：
12．（2021八上·嘉祥月考）已知a，b，c是三角形的三边长，化简： |a−b+c|−|a−b−c|=
．
13．（2024八上·天元期末）点A在数轴上表示的数是−√15，点B在数轴上表示的数为√7，则A、B
之间表示的整数点有 个.
14．（2023八上·连平期中）如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交
数轴于点A，则点A表示的数是 ．
三、解答题
15．（2017八上·东莞期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
7
﹣5，﹣2.626 626 662…，0，π，﹣ ，0.12，|﹣6|．
4
（1）正数集合：{ …}；
（2）负数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
16．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；
反之为无理数．如√2不能表示为两个互质的整数的商，所以，√2是无理数．
可以这样证明：
a
设√2= ，a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
b
2 / 13a2
则2= a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以
b2
b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，√2是无理数．仔细阅读上文，然后，
请证明：√5是无理数．
17．（2023八上·砀山月考）已知a，b，c是△ABC的三边长.
（1）化简：|a−b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|；
（2）若(2a−b−4) 2+|a−2b+7|+(c−7) 2=0，求△ABC的周长.
18．（2023八上·成都期中）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算
（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
四、阅读理解题
19．（初中数学北师大版八年级上册2.1认识无理数练习题）无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细
阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等
的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小
数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完
全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把 0.3˙ 和 0.21˙7˙ 化为分数
3 / 13请用以上方法解决下列问题
（1）把 0.1˙7˙ 化为分数
（2）把 0.31˙3˙ 化为分数．
20．阅读下列材料：“为什么√2不是有理数”．
n
假√2是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得√2= ，于是有2m2=n2．
m
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．
设n=2t（t是正整数），则n2=2m，∴m也是偶数
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误
∵√2不是有理数
有类似的方法，请证明√3不是有理数．
五、实践探究题
21．（2024八上·衡山期末） 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想
解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着
人们，更因为应用广泛而使人入迷．
4 / 13（1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为
圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD=6m，
踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
5 / 13答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无
理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。
故答案为：B。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②π的倍数的数，
③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断得出答案。
2．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：无限循环小数都是有理数，故A不符合题意；
无理数包括正无理数、负无理数，故B不符合题意；
带根号的数不一定都是无理数，如√4=2，故C不符合题意；
实数与数轴上的点是一 一对应的，表述正确，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据无理数的含义与分类逐项判断即可．
3．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥OC，
∴∠BCO=90°，
∴OB=√BC2+OC2=√12+22=√5，
∴OA=OB=√5，
∴点A表示的数是√5
故答案为：A ．
【分析】利用勾股定理求出OB长解题即可.
4．【答案】A
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①有理数与 无理数的差都是无理数，不符合题意；
②无限不循环小数都是无理数，不符合题意；
③无理数都是无限小数，符合题意；
6 / 13④两个无理数的和不一定是无理数，符合题意；
⑤无理数分为正无理数、负无理数，零是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据有理数、无理数的定义即可判断。
5．【答案】C
【知识点】实数的相反数
1
【解析】【解答】解：A. −2 与 − 不是一组相反数，故本选项错误；
2
B. |−√2| = √2 ，所以 |−√2| 与 √2 不是一组相反数，故本选项错误；
C. √(−2) 2 =2， √3−8 =-2，所以 √(−2) 2 与 √3−8 是一组相反数，故本选项正确；
D. √3−8 =-2， −√38 =-2，所以 √3−8 与 −√38 不是一组相反数，故本选项错误，
故答案为：C
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，再对各选项逐一判断。
6．【答案】C
【知识点】实数的相反数；立方根的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
√3 a+√3 b=0
则√3 a=-√3 b
等号两边同时立方可得：a=-b
∴a+b=0
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义可得√3 a=-√3 b，等号两边同时立方可得：a=-b，则a+b=0，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：∵√32y−1 与 √31−3x 是相反数，
∴√32y−1 = −√31−3x = √3−(1−3x)
∴3x－1=2y－1，
x 2
整理得：3x=2y，即 = ，
y 3
故答案为：A．
7 / 13【分析】根据相反数的定义可以得到√32y−1 = −√31−3x = √3−(1−3x)，所以3x－1=2y－1，求
解并代入即可。
8．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点C表示的数为x
则AB=AC
即√2-1=1-x，解得：x=2-√2
故答案为：C
【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： √3343=7 ，
22
在 π ， ， √8 ， √3343 ，3，1416， √3 中，无理数有 π ， √3 ， √8 这3个数，
7
故答案为：3．
【分析】根据无理数的定义判断得出答案。
10．【答案】2- √3；2- √3
【知识点】实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解： √3 -2的相反数是：-( √3 -2)=2- √3 ；
∵√3 ＜2，
∴√3 -2＜0，
∴| √3 -2|=-( √3 -2)=2- √3 .
故答案为：2- √3 ；2- √3 .
【分析】求一个数的相反数，只需要在这个数整体前面加上相反数符号，再去括号即可；首先判断
出√3 -2＜0，再根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可直接得出答案.
11．【答案】-√2，-π
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：﹣√2，﹣π．（答案不唯一）．
故答案是：﹣√2，﹣π．
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出解答．
8 / 1312．【答案】2a−2b
【知识点】三角形三边关系；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长
∴a+c>b，b+c>a
∴a-b+c>0，a-b-c<0
∴|a−b+c|−|a−b−c|=a−b+c+a−b−c=2a−2b
故答案为： 2a−2b
【分析】根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边即可判断绝对值中的正负，再去掉绝对
值，然后合并同类项即可。
13．【答案】6
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵−16<−15<−9，4<7<9，
∴−4<−√15<−3，2<√7<3，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
14．【答案】−√5
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：√12+22=√5，∴OA=√5，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：−√5，
故答案为：−√5．
【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标．
15．【答案】解：（1）正数集合： {π，0.12，|−6|}，
7
（2）负数集合： {−5，−2.626626662⋯，− }，
4
7
（3）有理数集合： {﹣5，0，− ，0.12，|﹣6|}，
4
（4）无理数集合： {﹣2.626626662…，π}.
【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【分析】根据实数分类的概念，进行判断即可。（1）大于0的数均为正数；（2）小于0的
数均为负数；（3）能够表示成两个整数之比的数叫做有理数；（4）不能写作两个整数之比，写成
9 / 13分数后可化为无限不循环小数。
a a2
16．【答案】解：设√5= 与b是互质的两个整数，且b≠0．则5= ，a2=5b2，
b b2
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以√5是无理数．
【知识点】无理数的概念
a a2
【解析】【分析】先设√5= ，再由已知条件得出5= ，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a
b b2
不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
17．【答案】（1）解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a−ba，
∴a−b−c<0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|
=−(a−b−c)−(b−c−a)+b+c−a
=−a+b+c−b+c+a+b+c−a
=−a+b+3c.
（2）解：∵(2a−b−4) 2+|a−2b+7|+(c−7) 2=0，
{2a−b−4=0， {a=5，
∴ a−2b+7=0，解得 b=6，
c−7=0， c=7，
∴a+b+c=5+6+7=18，
∴△ABC的周长为18.
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据题意依据三角形的两边之和大于第三边进行判断三边，得出a−b−c<0，
b−c−a<0，b+c−a>0，然后去掉绝对值即可得出答案。
10 / 13{2a−b−4=0，
（2）根据题意可得出 a−2b+7=0，，则求出a，b，c的值，然后根据三角形周长公式进行计算即
c−7=0，
可得出答案。
18．【答案】（1）解：这个魔方的棱长为：√364＝4
（2）解：每个小正方体的棱长为：4÷2＝2；
阴影部分的边长为：CD＝√22+22＝2√2，
阴影部分的面积为：CD2＝（2√2）2＝8
（3）解：根据图可知a＝2√2﹣1，
（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|
＝（2√2﹣1﹣1）×（2√2﹣1+1）﹣|2﹣（2√2﹣1）|
＝（2√2﹣2）×2√2﹣|3﹣2√2|
＝8﹣4√2﹣3+2√2
＝5﹣2√2．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）正方体体积已知，正方体体积公式为V =棱长3，所以棱长为4；
正方体
（2）第一问已知大正方体边长，继而可求小正方体边长，则阴影部分正方形的边长和面积也能求出
来。
（3）根据第二问AB边长，可得B的值，然后带入原式进行化简即可。
19．【答案】（1）解：∵0.1˙7˙ ×100=17. 1˙7˙
∴0.1˙7˙ ×100﹣ 0.1˙7˙ = 17.1˙7˙ ﹣ 0.1˙7˙
0.1˙7˙ ×（100﹣1）=17，
17
0.1˙7˙ = ，
99
（2）解：∵0.31˙3˙ ×10= 3.1˙3˙①0.31˙3˙ ×1000= 313.1˙3˙②
∴由 ②﹣①得 0.31˙3˙ ×1000﹣ 0.31˙3˙ ×10= 313.1˙3˙ ﹣ 3.1˙3˙
0.31˙3˙ （1000﹣10）=310，
310
0.31˙3˙ =
990
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可．
20．【答案】解：假设√3是有理数，
11 / 13n
则存在两个互质的正整数m，n，使得√3= ，
m
于是有3m2=n2，
∵3m2是3的倍数，
∴n2也是3的倍数，
∴n是3的倍数，
设n=3t（t是正整数），则n2=9t2，即9t2=3m2，
∴3t2=m2，
∴m也是3的倍数，
∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴√3不是有理数．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据题意利用反证法假设√3是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不
成立原命题正确．
21．【答案】（1）√13
（2）解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC=AB=xm，
四边形DCFE为矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，
∴DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=(x-3)m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2，
即(x-3) 2+62=x2，
解得x=7.5，
即AC的长度为7.5m，
答：绳索AC的长为7.5m．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
12 / 13根据题意可得：OA=3，AB=2，∠BAO=90°，
∴OB=√OA2+AB2=√32+22=√13，
∵以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C ，
∴OC=OB=√13，
∵点O表示的数是0，
∴点C表示的数是√13，
故答案为：√13.
【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，再利用作图方法可得OC=OB=√13，再求出点C表示
的数即可；
（2）设秋千绳索AB的长度为xm，则DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=(x-3)m，再利用勾股
定理可得AD2+DC2=AC2，即(x-3) 2+62=x2， 再求出x的值即可.
13 / 13
