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2.1 认识实数
题型一 无理数的判断
1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的
关键．
【详解】解： 、 是有限小数，属于有理数，该选项不合题意；
、 是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意；
、 是整数，属于有理数，该选项不合题意；
、 是整数，属于有理数，该选项不合题意；
故选： ．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在 ， ，0， ， ， ，13， （每两
个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】无理数、有理数的分类、实数的分类
【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数），逐
一判断各数是否为有理数．
【详解】解： ：整数，属于有理数；
：分数，属于有理数；
0：整数，属于有理数；
：即 ，分数，属于有理数；
：含无理数π，属于无理数；
：有限小数，属于有理数；
13：整数，属于有理数；
（每两个3之间依次增加一个2）：虽有一定规律，但无循环节，属于无理数．
综上，有理数有6个（ 、 、0、 、 、13），
故选：B．
3．（24-25七年级下·北京·期末）在 ， ，0.101001， ， 这几个数中，无理数有 个．
【答案】1
【难度】0.94
【知识点】无理数
【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：在 ， ，0.101001， ， 这几个数中，无理数只有 ，共1个；
故答案为：1．
题型二 实数的分类
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学科网（北京）股份有限公司4．实数可分为（ ）
A．正数和负数 B．整数和分数 C．分数和小数 D．有理数和无理数
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查了实数的分类，实数可分为正实数和负实数以及0或实数可分为有理数和无理数．熟练
掌握实数的分类是解题的关键．
根据实数的定义和分类进行判断．
【详解】解：实数可分为：有理数和无理数，
A、B、C均不严谨，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
5．下列分类，正确的是（ ）
A．有理数 B．无理数
C．实数 D．实数
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】实数的分类
【分析】根据实数的分类即可求解．
【详解】解：实数分为有理数和无理数，
故选：C．
【点睛】本题考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
6．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上．
①85 ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
分数：______________________________________________________________________；
非负数：________________________________________________________________________；
无理数：_________________________________________________________；
【答案】见解析
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学科网（北京）股份有限公司【难度】0.85
【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、无理数
【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题
的关键．
根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：分数：③④⑧⑨；
非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨
无理数：⑥⑦．
7．把下列各数填入它所属的集合内：
，0， ， ， ， ， ， ， ， （两个3之间依次多个0）．
分数集合：{ …}；
负整数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【答案】 ， ， ，； ， ， ； ， （两个3之间依次多个0）．
【难度】0.85
【知识点】实数的分类
【分析】本题考查了实数的分类．
根据实数的分类填写即可．
【详解】解： ， ， ，
分数集合：{ ， ， ，…}；
负整数集合：{ ， ， ，…}；
无理数集合：{ ， （两个3之间依次多个0），…}．
故答案为： ， ， ； ， ， ； ， （两个3之间依次多个0）．
8．把下列各数的序号分别填在相应集合中．
① ，② ，③0，④ ，⑤ 3.5，⑥ ，⑦ ，⑧ ，⑨0.010010001．．．（相邻两个1
之间依次增加一个0）．
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学科网（北京）股份有限公司负数集合：{__________________…}；
整数集合：{__________________…}；
分数集合：{__________________…}；
非负数集合：{__________________…}．
【答案】①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨
【难度】0.85
【知识点】求一个数的绝对值、实数的分类
【分析】此题主要考查了实数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键．
根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可．
【详解】 ， ，
负数集合：{ ①⑤⑧…}
整数集合：{ ①③④…}
分数集合：{ ②⑤⑦⑧…}
非负数集合：{ ②③④⑥⑨…}
故答案为：①⑤⑧；①③④；②⑤⑦⑧；②③④⑥⑨．
题型三 与实数相关的概念辨析
9．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数
C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】实数概念理解、实数与数轴、无理数
【分析】根据无理数和实数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、数轴上的点与实数一一对应，故A选项正确，符合题意；
B、无理数是无限不循环小数，例如 ，故B选项错误，不符合题意；
C、无限循环小数是无限小数，也是有理数，故C选项错误，不符合题意；
D、没有最小的实数，故D选项错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数与无理数的定义及实数与数轴的关系，牢记无理数的定义是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10．下列说法：①绝对值最小的有理数是 ；②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；
④ ，5， 都是单项式；⑤ 是三次三项式中，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】多项式的项、项数或次数、实数概念理解
【分析】根据实数的分类、单项式和多项式的定义进行选择即可．实数分为有理数和无理数，其中有理数
包含有限小数和无限循环小数；无理数包含无限不循环小数．
【详解】解：①绝对值最小的有理数是 ；此说法正确；
②无限不循环小数是无理数；此说法错误；
③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；此说法错误；
④ ，5，是单项式， 不是单项式；此说法错误；
⑤ 是三次三项式，此说法正确；
故选A．
【点睛】本题考查了实数、单项式以及多项式，掌握实数的分类、单项式和多项式的定义是解题的关键．
11．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数
C． 是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】实数的性质、实数的分类
【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可．
【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意．
B．两个无理数的和可能为有理数．例如， 与 的和为 （有理数），所以原说法错误，故此选项不
符合题意．
C．负数没有最大值．例如， 比 大，所以原说法错误，故此选项不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意．
故选：D．
12．下列说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系；
②两个无理数的和还是无理数；
③无限小数都是无理数；
④任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实数的分类、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，无理数．根据实数与数轴的关系即可判断①；根据实
数的分类即可判断④；根据无理数的定义即可判断②④．
【详解】解：①数轴上的点与实数成一一对应关系，说法正确；
②两个无理数的和可以是有理数，如 ，原说法错误；
③无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误；
④任何实数不是有理数就是无理数，说法正确；
∴说法正确的一共有2个，
故选：B．
题型四 实数的性质
13．若a、b、c均为不为0的实数，且 ，则 =
【答案】1或
【难度】0.85
【知识点】实数的性质、有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题
【分析】本题考查了实数的除法和绝对值的化简，分类讨论是解题关键．根据正数的绝对值是正数，负数
的绝对值等于他的相反数，可化简掉绝对值的负号，再根据有理数的除法，可得答案
【详解】解： ，且a、b、c均为不为0的实数，
a、b、c三个数中有一个负数或三个负数．
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学科网（北京）股份有限公司当a、b、c中只有一个负数时， 设 ，则 ；
当a、b、c中有三个负数时， ．
故答案为：1或 ．
题型五 比较实数的大小
14．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 与数轴上表示 的
点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点 到达点 的位置，则点 表示的数是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴
【分析】本题考查数轴上两点间的距离及点所对应的数，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数
之差的绝对值．根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
点A滚动长度为： ，
∴往右滚动1周对应的数为： ，往左滚动1周对应的数为： ，
∴点 表示的数是： 或 ，
故选D．
15．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点 处，此时
它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为 ，
那么点 所表示的数是 ．
【答案】 /
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学科网（北京）股份有限公司【难度】0.94
【知识点】实数与数轴
【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解．
【详解】解：半径为1的半圆，
∴直径为2，半圆的周长为 ，
∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度，
∴此时半圆滚动的长度为 ，
∴点 所表示的数是 ．
故答案为： ．
16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，点 是硬币圆周上一点，点 与数 所对应的点重合．假设
硬币的直径为 个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点 恰好与数轴上点 重
合，则点 对应的实数是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，解题关键是求出硬币的周长．根据题意得
到硬币的周长，再结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题．
【详解】解： 硬币的直径为 个单位长度，
硬币的周长为 ，
点 为 ，
点 对应的实数是 ，
故答案为： ．
题型六 在数轴上表示实数
17．（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积
等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长 推导出的面积公式是 ．当 时，比较大小：
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学科网（北京）股份有限公司（填“ ”或“ ”）．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】实数的大小比较、无理
实数的大小比较，先估算 ，再利用 比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（2025·安徽安庆·三模）如图，实数 、 、 、 在数轴上表示如下，则最小的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】实数与数轴、实数的大小比较
【分析】本题考查了实数大小比较，实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题的关键，
根据数轴上实数 、 、 、 的位置，即可得出答案．
【详解】解：观察数轴可知， ，
∴最小的实数是m．
故选：A．
题型一 估算无理数的大小
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学科网（北京）股份有限公司1．如图，在平面直角坐标系中， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，
则点 的横坐标在（ ）
A． 与 之间 B． 与 之间
C． 与 之间 D． 与 之间
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、用勾股定理解三角形、实数与数轴
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，
利用勾股定理求出线段 的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算．
构造直角三角形 ，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点
C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围．
【详解】∵ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ，即
因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标在 与 之间，
故选：A．
2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作 垂直于数轴，
且 ，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴
上的（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【难度】0.65
【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数、无理数的大小估算
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出 的长，在利用夹逼法进
行估算即可．
【详解】解：由题意和勾股定理，得： ，
∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，
∴设这一点坐标为x，x2=13，
∵9<13<16，
∴ ，
故选B．
3．（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得 ，则a可以是 （写出一
个满足条件的a即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】无理数、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“ ”进行求解即
可．
【详解】解：一个无理数a，使得 ，则 ，则a可以是 ；
故答案为： （答案不唯一）．
题型二 在网格中作长为无理数的线段
4．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格
的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
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学科网（北京）股份有限公司(1)在图1中，画一个直角三角形，使每条边长都是整数．
(2)在图2中，画出一个面积为5，各边长都是无理数的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、无理数
【分析】本题主要考查的是利用勾股定理画对应要求的直角三角形，无理数，灵活运用勾股定理及其逆定
理是解题的关键．
（1）找出常用的勾股数作图即可；
（2）结合无理数的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理按要求画图即可．
【详解】（1）解：如图1： 即为所求，
．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：如图2， 即为所求，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ 是直角三角形，
∴ ．
5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1
(1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______；
(2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．
【答案】(1)17
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】勾股定理与网格问题、实数与数轴、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积
是解此题的关键．
（1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可；
（2）以 为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求．
【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的面积是 ，
故答案为：17；
（2）解：如图：点P表示的数为 .
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学科网（北京）股份有限公司（实数的非负性）阅读与理解
上数学课时，王老师在讲完乘法公式 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式 的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： ，
因为 ，
所以当 时， 的值最小，最小值是0，
所以 ，
所以当 时， 的值最小，最小值是1，
所以 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当 ___________时，代数式 的最小值是___________；
(2)知识应用：若 ，当 ___________时， 有最___________值（填“大”或“小”），这
个值是___________；
(3)知识拓展：若 ，求 的最小值．
【答案】(1)3,3
(2)1, 大，
(3)
【分析】（1）根据 ，结合提供的解题方法，解答即可；
（2）根据题意，得 ，根据提供方法解答即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）把 ，变形为 ，仿照题干示例的解题思路，解答即可．
本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是0，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是3，
∴ 的最小值是3，
故答案为：3,3．
（2）解：根据题意，得 ，
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是0，
∴
∴当 时， 的值最大，最大值是0，
∴ ，
∴当 时， 的值最大，最大值是 ，
∴ 的最大值是 ，
故答案为：1, 大， ．
（3）解：根据题意，得 变形为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是0，
∴当 时， 的值最小，最小值是 ，
∴ 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
