文档内容
2.1 认识无理数
课堂知识梳理
无限不循环小数称为无理数。
有理数与无理数的主要区别：
(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．
(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列说法正确的是（ ）
A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数
2．下列各数中：3.14159， ，0.101001…， ， ， 无理数个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C．π D．
4．在－2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．下列说法错误的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数
B．面积为 的正方形的边长是一个无理数
C． 是一个分数，所以也是有理数
D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
6．直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，斜边的长为c，则c是（ ）
A．有理数 B．无理数 C．分数 D．无限循环小数7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.则网格上的 中，边长为无理数的边数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
8．写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4：____________．
9．下列各数中 ， ， ， ，- ， 是有理数的有_______；是无理数的有_______．
10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则 ， ， ，三条线段中，长度
最接近5的线段是______.
11．将下列六个数的序号填入相应的括号内．
① ，②7，③ ，④ ，⑤ ，⑥
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2 ， ．
13．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．
14．500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉
斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），
他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉
斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几
个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
培优第二阶——拓展培优练
15．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣ a＝2b+2 ﹣a，则ab＝_____．
16．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无
理数，满足这样条件的点C共__个．17．证明： 不是有理数．
18．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无
理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，那么
且 ．
（1）如果 ，其中 ， 为有理数，那么 ， ；
（2）如果 ，其中 ， 为有理数，求 的值．
培优第三阶——中考沙场点兵
19．（2022·广西玉林·中考真题）下列各数中为无理数的是( )
A． B．1.5 C．0 D．
20．（2022·湖南常德·中考真题）在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．（2020·湖南长沙·中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π
（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个
国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南
北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与
圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆
的周长与半径的比；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
22．（2021·福建·中考真题）写出一个无理数x，使得 ，则x可以是_________（只要写出一个满足
条件的x即可）
