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考点 07 二次函数与幂函数
1．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】设x ，x 分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x2＋ax ＋b，M＝x2＋ax ＋b.
1 2 1 1 2 2
∴M－m＝x2－x2＋a(x －x )，显然此值与a有关，与b无关．故选B.
2 1 2 1
2．函数 在区间 的最大值是( )
A． 0 B．
C． D． 1
【答案】C
【解析】y=log （x2﹣6x+10），
可令t=x2﹣6x+10，
对称轴为x=3，函数t在[1，2]递减，
且y=log t在（0，+∞）递减，
可得y=log （x2﹣6x+10）在[1，2]递增，
可得x=2时，函数y取得最大值log （22﹣12+10）=﹣log 2，
3
故选：C．
3．已知函数 在R上是减函数，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到 =3ax2+6x﹣1，
因为函数在R上是减函数，所以 =3ax2+6x﹣1≤0恒成立，
所以 ，由 =36+12a≤0，解得a≤﹣3，
△则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
故答案为：B.
4． ，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )
A． 有四个相异实根 B． 有两个相异实根
C． 有一个实根 D． 无实数根
【答案】D
【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，
且无实根，∴△＜0．
若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实
数x恒成立．
∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．
故选D.
5．函数 的值域为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），
则原函数可化为y= ．
又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，
∴0≤μ≤4，故 ∈[0，2]，
∴y= 的值域为[0，2]．
故选：D．
6．平行四边形 中， 点 在边 上，则 的最大值为
A． 2 B．
C． 0 D．
【答案】A
【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，
，点M在边CD上，∴ =﹣1，cos∠A=﹣1，
∴cosA=﹣ ，∴A=120°，
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，
建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣ ， ），
设M（x， ），则﹣ ≤x≤ ，
∴ =（﹣x，﹣ ）， =（2﹣x，﹣ ），
∴ =x（x﹣2）+ =x2﹣2x+ =（x﹣1）2﹣ ，
设f（x）=（x﹣1）2﹣ ，则f（x）在[﹣ ，1）上单调递减，在[1， ]上单调递增，
∴f（x） =f（1）=﹣ ，f（x） =f（﹣ ）=2，
min max
则 的最大值是2，
故答案为：A
7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下
袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。”其计算方法是：将上底面的长乘
二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽
相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上
底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为
A． B．
C． 39 D．
【答案】D
【解析】设下底面的长宽分别为 ，有
则“刍童”的体积为 ,当 时，“刍童”的体积取最大值 ，选D.
8．在区间 上任取一个数 ，则函数 在 上的最大值是 的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，
由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，
∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，
∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，
即最大值是|3﹣a|或|1+a|；
令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；
又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；
∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，
∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；
当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，
函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，
由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.
则所求的概率为P= ．
故答案为：A.
9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则( )
A． m∈A，都有f(m＋3)＞0
B． ∀m∈A，都有f(m＋3)＜0
C． ∀m
0
∈A，使得f(m
0
＋3)＝0
D． ∃m
0
∈A，使得f(m
0
＋3)＜0
【答
∃
案】A
【解析】由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，
且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
当x＞1时，f(x)＞0.b
由a＞b，得1＞ ，
a
设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x ，
1
b
则x ＋1＝－ ＞－1，即x ＞－2，
1 1
a
由f(m)＜0可得－2＜m＜1，
所以1＜m＋3＜4，
由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，选A.
10．已知函数 ，对任意不等实数 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对任意两个不等的实数 ，都有不等式 恒成立，
则当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
则
故选D．
11．二次函数 的导数为 ，对一切 ， ，又 ，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵对任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0，c
＞0，b2-4ac≤0即 而
，故答案为：A.
12．已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，则实数t
的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪(0，2] B．(－2，2]
C．(－∞，－2) D．(0，＋∞)
【答案】A
【解析】对于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有负，不
符合题意，故排除B；当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合题意，故排除C；当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)
＝(2－t)x2－4x＋1，当x趋近于－∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.
13．已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一动点， ， ,且 的最小值为 ，
则 等于
A． 4 B．
C． 5 D．
【答案】B
【解析】设点 ，则 ．
∴ ，
∴当 时， 有最小值，且最小值为 ．
由题意得 ，
整理得 ，
解得 或 ．
又 ，
∴ ，
∴点B坐标为 ．
∴由抛物线的定义可得 ．
故选B．
14．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
1
－∞，
【答案】 2
【解析】由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．
当x＝0时，－3＜0，符合题意；
1 － 1 2
3 1
当x≠0时，a＜ x 3 － ，
2 61
因为 ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
x
1 1
所以当x＝1时，右边取最小值 ，所以a＜ .
2 2
1
－∞，
综上，实数a的取值范围是 2 .
15．已知函数 ,则该函数的最小值是________.
【答案】2
【解析】设 ，则 ，此时 ，
当 时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为 ．
16．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 的最小值为_____．
【答案】4
【解析】由题意知，
则
当且仅当 时取等号．
∴ 的最小值为4．
17．已知关于x的不等式 ＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________
【答案】
【解析】①当 时，函数 外层单调递减，
内层二次函数：
当 ，即 时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，
，解得： ；
当 ，即 时， 无意义；
当 ，，即 时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需 ，无解；
当 ，即 时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解.
②当 时，函数 外层单调递增，
，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以 ，解得： .
综上所述： 或 .
18．设函数 ，若 ， ，则对任意的实数 ， 的最小值
为_________________．
【答案】10
【解析】作出 的图象，如图，由 且 得
，即 ，其中 ，
如图圆 ，易知点 在劣弧 上，记 ，则 表示点
到射线 上点 的距离的平方，从图中可知最小值为 点到原点的距离的平方，即 ．
19．已知实数 ，且满足 ，则 的取值范围是__________.【答案】
【解析】
又 ， ，
设 ，
a，b是方程 的两个实根.
，
①存在 时，使 ， ， ，即 .
②存在 时，使 ， ， ，即 .
.
故答案为： .
20．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为________．
9
【答案】
5
【解析】函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.
若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数，
故f(x) ＝f(5)＝25－10t＋1＝8，
max
9
解得t＝ ；
5
若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，
此时f(x) ＝f(2)＝4－4t＋1＝8，
max
3
解得t＝－ ，与t≥5矛盾．
4
9
综上所述，t＝ .
5
21．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x ∈[－1，2]都存在x ∈[－1，2]，使得g(x )＝f(x )，
1 0 1 0
则实数a的取值范围是________．
1
0，
【答案】 2
【解析】当x ∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x )∈[－1，3]，又对任意的x ∈[－1，2]都存在x ∈[－1，
0 0 1 0
－a＋2≥－1，
1
2]，使得g(x )＝f(x )，所以当x ∈[－1，2]时，g(x )∈[－1，3]．当a＞0时， 解得a≤ .
1 0 1 1
2a＋2≤3， 21
0，
综上所述，实数a的取值范围是 2 .
22．设正实数 满足 ，则 的最小值是__________.
【答案】
【解析】正实数 满足 ，化为 ，
由于关于 的方程有正实数根，
，解得
因此实数y的最小值为 .
故答案为： .
23．已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值集合为__________．
【答案】 .
【解析】①若 ，即 时，则 ，
∴ 在 上单调递减，最小值为 ； 在 上的最小值为 ．
∵函数 最小值为 ，
∴ ．
②当 ，即 时，则 ，
∴ 在 上上先减后增，最小值为 ； 在 上的最小值为 ．
∵函数 最小值为 ，
∴ ，解得 ，不合题意，舍去．
③当 ，即 时，则 ，
∴ 在 上上先减后增，最小值为 ； 在 上的最小值为 ．∵函数 最小值为 ，
∴ ，解得 或 （舍去）．
综上可得 或 ，
∴实数 的取值集合为 ．
24．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
f（x），x>0，
F(x)＝ 求F(2)＋F(－2)的值；
－f（x），x<0，
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．
【答案】(1)8 (2)[－2，0]
【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，
b
且－ ＝－1，
2a
解得a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2.
（x＋1）2，x>0，
∴F(x)＝
－（x＋1）2，x<0.
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，
1 1
即b≤ －x且b≥－ －x在(0，1]上恒成立．
x x
1 1
又 －x的最小值为0，－ －x的最大值为－2.
x x
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2，0]．
25.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域是[1,a],求实数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,2]上是减少的,且对任意的x ,x ∈[1,a+1],总有|f(x )-f(x )|≤4,求实数a的取值范围.
1 2 1 2
【答案】(1)2 (2)[2,3]
【解析】(1)因为f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+5-a2(a>1),
所以f(x)在[1,a]上是减少的,
又f(x)的定义域和值域均为[1,a],
所以即解得a=2.
(2)因为f(x)在(-∞,2]上是减少的,所以a≥2,
又对称轴方程x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤(a+1)-2=a-1,
所以f(x) =f(1)=6-2a,f(x) =f(a)=5-a2,
max min
因为对任意的x ,x ∈[1,a+1],总有|f(x )-f(x )|≤4,
1 2 1 2
所以f(x) -f(x) ≤4,
max min
即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,所以2≤a≤3.
综上,实数a的取值范围是[2,3].
