文档内容
专题 22.4 二次函数与一元二次方程
目 录
一.知识梳理与题型精析................................................................................................................1
情景引入：.............................................................................................................................................1
知识点（一）求二次函数 与坐标轴交点坐标..........................................2
【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标...........................................................................................2
知识点（二）求二次函数与坐标轴交点个与判别式 关系.........................................2
【题型2】二次函数与 关系..........................................................................................3
【题型3】抛物线与 交点间距离的截线长.......................................................................................3
知识点（三）图象法解一元二次方程和一元二次不等式..................................................................4
【题型4】图象法解一元二次方程和一元二次不等式.......................................................................4
知识点（四）二次函数与一次函数关系.............................................................................................5
【题型5】利用不等式求自变量或函数值的范围...............................................................................5
【题型6】二次函数与一次函数面积与最值问题...............................................................................6
【题型7】二次函数与一次函数存在性问题.......................................................................................7
二．同步练习.................................................................................................................................8
1. 基础夯实（16题）...........................................................................................................................8
2. 能力提升（16题）.........................................................................................................................11
3. 直通中考（16题）.........................................................................................................................14
一.知识梳理与题型精析
情景引入：
（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，
小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时
间 （单位： ）之间满足函数关系 ．若小球的飞行高度不低于 的时间段内，小球可被某监测设备清晰捕捉，求小球可被该设备清
晰捕捉的时长．
从例题可以看出，二次函数与一元二次方程存在密切关系，已知 的值为
10，求自变量 的值，可以看作解一元二次方程 （即 ）.反过来，
解方程 又可以看作已知二次函数 的值为0，求 的值。
知识点（一）求二次函数 与坐标轴交点坐标
（1）令 中 =0，得到 , 与 轴交点坐标为（ ）；
（2）令 中 =0，得到 ，若有解，解为 ，
则图象 与 轴交点坐标为
， 。
【题型1】求抛物线与坐标轴的交点坐标
【例题1】（2025·河南周口·二模）如图，抛物线 交x轴于点A，点 （点A
在点B左侧），交y轴于点 ．
（1）求抛物线解析式；
（2）若将抛物线向右平移 个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个
交点，求m的值．
【变式1】（2025·河南·模拟预测）二次函数 与 轴交于 两点（点
在点 左侧），则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数 的图象交x轴于A，B两
点，交y轴于点C，则 的面积是 ．
知识点（二）求二次函数与坐标轴交点个与判别式 关系
（1）当 时，抛物线与 轴有两个交点；
设交点
（2）当 时，抛物线与 轴有一个交点，
（3）当 时，抛物线与 轴没有交点.
【题型2】二次函数与 关系
【例题2】（24-25九年级下·福建宁德·期中）已知：抛物线 ．
（1）求证：抛物线与 轴总有两个交点；
（2）若点 ，点 是该抛物线上两点，求代数式 的值．
【变式1】（2025·山西吕梁·二模）已知二次函数 的图象与 轴有交点，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若关于 的函数 与坐标轴有两
个交点，则 的值是 ．
【题型3】抛物线与 交点间距离的截线长
【例题3】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若抛物线 与 轴交于点 ， ，且 ，求 的值．
【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）设二次函数 的图像与一次函数
的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则
的值是（ ）
A．6 B．8 C． D．7
【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数 与 轴交于两点 和 ，
顶点为 ，连接 ，当 时， ．
知识点（三）图象法解一元二次方程和一元二次不等式
图象法解一元二次方程：是通过观察对应二次函数图象与 轴交点的横坐标，得到方
程的实数根（无交点则无实根）；
图象法解一元二次不等式：是依据二次函数图象在 轴上方（或下方）部分对应的 取
值范围，确定不等式的解集。
【题型4】图象法解一元二次方程和一元二次不等式
【例题5】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数 的图象如图所示，根据
图象解答下列问题：
（1）写出函数的顶点坐标；
（2）写出方程 的两个根；
（3）写出不等式 的解集．【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以 为顶点的二次函数 的图
象与 轴负半轴交于 点，则一元二次方程 的正数解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直
线 交于 两点，则不等式 的解集是
知识点（四）二次函数与一次函数关系
交点与方程综合题：通过联立二次函数与一次函数解析式得方程组，求解交点坐标，结合交点
个数、交点坐标的几何意义；
面积与最值综合题：两函数图象围成的图形为背景求面积，关键是用坐标表示线段长度，转化
为函数最值问题；
存在性综合题：判断是否存在点满足特定条件，解题时先假设存在，用坐标表示条件列方程，结合函数解析式求解并验证。
【题型5】利用不等式求自变量或函数值的范围
【例题5】（24-25九年级上·广西玉林·期末）如图，二次函数是初中数学的重要内容，它的图象是
抛物线，具有许多独特的性质，下面围绕二次函数的性质展开学习．
在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点 ．
【探究】（1）求 的值及抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点 ，求当 取何值时，函数 有最值，并写出此时的 值；
【深入探究】（3）在（ ）的条件下，若抛物线交 轴于 ， 两点（点 位于点 左边），连
接 ，过点 作直线 于点 ，交 轴于点 ，交抛物线于点 ，求交点 的坐标；
【拓广探索】（4）在（ ）的条件下，设直线 对应的函数为 ，二次函数为 ，若 ，观
察图象，请直接写出 的取值范围__________．
【变式1】（2025·四川南充·二模）已知抛物线 与直线 在 之间
有 个公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数 的图象与二次函数
的图象交于 两点．
（1）若点 的横坐标为 ，则 的值为 ；
（2）若点 ，点 均在 轴的上方，则 的取值范围为 ．【题型6】二次函数与一次函数面积与最值问题
【例题6】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与一次函
数 的图象交于点 ， ，过线段 上一动点 作直线 轴交抛物线于点 ，则
面积的最大值为 ．
【变式1】（2025·广东深圳·一模）已知二次函数 的图像与 轴分别交于点 ， ，与
一次函数 的图像分别交于点 ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，一次函数 的图象交 轴于点 ，
交 轴于点 ，点 在线段 上（不与点 ， 重合），过点 分别作 和 的垂线，垂足为
、 ．当矩形 的面积最大时， 点的坐标是 ．
【题型7】二次函数与一次函数存在性问题
【例题7】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图、抛物线 与 轴交于点
和 ，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点．（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为直角三角形，若存在，求出点 的坐标；若
不存在请说明理由．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与
y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E．若抛物线上存在点P，使得 ，求
出点P的坐标．
【变式2】（2025·四川泸州·二模）在二次函数 中，
（1）如图，当 时，若二次函数与 轴的交点为 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．
①求点 的坐标．
②在坐标平面内是否存在点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求 的取值范围．
二．同步练习
1. 基础夯实（16题）
一、单选题
1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数 的图象与 轴的交点坐标为 和
，则一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）点 均在抛物线 上，
则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数 的图象如图所示，则函数值 时，
自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
4．（18-19九年级上·全国·课后作业）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，
0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四
人的说法中，正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）如图，若二次函数 图象的对称轴为
，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点 ，则① ；② ，③
，④当 时， ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 为常数， ，当 时，
，则二次函数 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题7．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数 的与 轴交点坐标为
．
8．（24-25八年级下·云南昆明·期末）若抛物线 与x轴只有一个公共点，则
．
9．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数 ，当 时，函数值y的
取值范围 ．
10．（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线 与直线 相交于
两点，则不等式 成立时， 的取值范围是 ．
11．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，一段抛物线： ，记为 ，它
与 轴交于点 ， ；将 绕点 旋转 得 ，交 轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交
轴于点 ； 如此进行下去．
（1）点 的坐标是 ．
（2）若 在第 段抛物线 上，则 ．
12．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点 且平行于 轴的直线与二次函数
图象的交点坐标为 ， ，则不等式 的解集为 ．三、解答题
13．（2025·广东广州·三模）已知二次函数 的图象与 轴的交点在 轴的下方，化简：
．
14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线 的顶点A在直线 上
，
（1）抛物线的顶点坐标．
（2）B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求 的面积．
15．（2024·河北唐山·二模）如图，二次函数的顶点坐标为 ，还过点 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知 为一直角三角形纸片， ， ， ，直角边 落在 轴上，
将纸片沿 轴平移，当点 落在抛物线上时，求点 的坐标．
16．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数 的图象如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）方程 的两个根为 ；
（2）当 时，则x的取值范围为 ；当 时，则变量y的取值范围为 ；
（3）若方程 有实数根，则k的取值范围是 ．2. 能力提升（16题）
一、单选题
1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列代数式书写格式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八年级上·全国·专题练习）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小
时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间
比原来减少（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客
的打卡圣地．国庆假期第一天游客 人，第二天游客人数是第一天游客人数的 倍还少 人，则
代数式“ ”表示的意义是（ ）
A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数
C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数
5．（24-25七年级下·全国·假期作业）下面各项中，可以用 表示的是（ ）
A．线段的总长度： B．线段的总长度：
C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积：
6．（24-25七年级上·广西南宁·期中）观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）一个正方形的边长增加了 后，面积增加了它的 ．
8．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）钢笔每支m元，笔记本每本n元，则 的实际
意义可以是 ．
9．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）买一副羽毛球拍需要 元，买一副乒乓球拍需要
元.买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要 元.
10．（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，
则第101个图案中白色瓷砖的块数是 块．
11．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第
1个图案中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“
”……按此规律，第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
12．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨
辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该
数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数： ，我们把第一个数记为 ，第二个数记为 ，第三个数记为 ，第 个数记为 ，则 的值是 ．
三、解答题
13．（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）小海家买了一套120平方米的房子，房价每平方米5600
元．如果一次付清房款，可以享受九折优惠，买房时要缴纳实际房价 的契税．请问小海家一
次付清房款，总共需要缴纳契税多少元？
14．（24-25七年级上·四川乐山·期末）乐西高速水泥仓库一周7天内进出水泥的吨数如下（“+”表
示进库，“-”表示出库）： ．
（1）经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这7天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么7天前，仓库里存有水泥多少
吨？
（3）如果进仓库的水泥装卸费是每吨a元、出仓库的水泥装卸费是每吨b元，请用含有a、b的代
数式表示这7天要付装卸费多少元？
15．（2024七年级上·云南·专题练习）共享单车解决了城市居民出行采用公共交通出行还需要步行
的主要问题，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，是一种新
型绿色环保共享经济．如图，自行车每节链条的长度为 ，交叉重叠部分的圆的直径为 ．
（1）4节链条长______ ；
（2）n节链条长______ ；
（3）如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？
16．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如图，是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度
单位：m）．
（1）用式子表示图中阴影部分的面积：（2）按照图所示的尺寸设计并画出一个新的图形，使其面积等于 ．
3. 直通中考（16题）
一、单选题
1．（2024·四川达州·中考真题）抛物线 与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大
于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于 轴对称，当 时， ；当
时， ．若直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数 的范围是
（ ）
A． B．
C． D． 或
3．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 （厘米/天）
和光照强度 （勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（ ）内， 与 近似
成一次函数关系；在中高光照强度范围 内， 与 近似成二次函数关系．其部分图象如
图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）A．当 时， 随 的增大而减小 B．当 时， 有最大值
C．当 时， D．当 时，
4．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，
下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （a，b，c为常数， ）的图象
交x轴于A，B两点，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，有下列结论：① ；②
；③关于x的方程 的解是 ， ；④ ．其中正确的有
（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·青海西宁·中考真题）点 ， 是抛物线 是常数，且
上的两个点．下列结论：①抛物线与 轴的交点是 ；②抛物线的对称轴是直线 ；③当
时， ；④当 时， ；⑤当 时， 有最大值是1．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是
．
8．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范
围是 ．
9．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线 向下平移k个单位长度．若平移后得到的
抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
10．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的
图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
11．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点 ，
，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
12．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数 的图象与正比例函数 的图象
相交于A，B两点，已知点A的横坐标为 ，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：① ；② ；③关于x的方程 的两根为 ，
；④ ．其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题
13．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数 ， 为常数．
（1）若该二次函数的图像与直线 有两个交点，求 的取值范围；
（2）若该二次函数的图像与 轴有交点，求 的值；
（3）求证：该二次函数的图像不经过原点．
14．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线 与直线 相交于
两点，与 轴相交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作直线 轴于点 ，
交直线 于点 ，当 时，求 点坐标；
（3）抛物线上是否存在点 使 的面积等于 面积的一半？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象（记为 ）与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，二次函数 的图象（记为 ）经过点 ，
．直线 与两个图象 ， 分别交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求 ， 的值．
（2）当点 在线段 上时，求 的最大值．
（3）设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ．当 时，对应的 值有______个；当
时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值
有______个．
16．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数 （a为常数）．
（1）求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
（3）若二次函数图象对称轴为直线 ，该函数图象与x轴交于 两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为 的中点，过点M的直线l（直线l不过
两点）与二次函数图象交于 两点，直线 与直线 相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若 ，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
