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2 .1 认识无理数
课堂知识梳理
无限不循环小数称为无理数。
有理数与无理数的主要区别：
(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．
(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列说法正确的是（ ）
A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如 是有理数，故此选项错误；
B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限
循环小数是有理数，故此选项错误；
C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；
D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无 是无理数，但它不是开方产生
的数，故选项错误．
故选C．
2．下列各数中：3.14159， ，0.101001…， ， ， 无理数个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数、有理数的定义逐一分析判断即可．
【详解】
解：
是无理数，而 是有理数，
故选B
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中， 是分数，属于有理数，故A错误；
B选项中， 是有理数，故B错误；
C选项中， 是无理数，故C正确；
D选项中， 是有理数，故D错误；
故选C．
4．在－2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【详解】
解：－2， ， 3.14， 是有理数；， 是无理数；
故选C．
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，
①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如
（0的个数一次多一个）．
5．下列说法错误的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数
B．面积为 的正方形的边长是一个无理数
C． 是一个分数，所以也是有理数
D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义对以下选项进行一一分析、并作出判断．
【详解】
A. 无限不循环小数是无理数，符合定义，正确；
B. 面积为 的正方形的边长是 ，是一个无理数，正确；
C. 是一个无限不循环小数，是无理数，错误；
D. 任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，是有理数，正确.
故选C
【点睛】
考核知识点：无理数.理解无理数定义是关键.
6．直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，斜边的长为c，则c是（ ）
A．有理数 B．无理数 C．分数 D．无限循环小数
【答案】A
【解析】【分析】
利用勾股定理求出c，再根据实数定义分析.
【详解】
因为直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，所以斜边的长为c= ，是有理数.
故选A
【点睛】
考核知识点：无理数和有理数.利用勾股定理解决问题是关键.
7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.则网格上的 中，边长为无理数的边数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意找到AC、AB、BC所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．
【详解】
根据题意得：
AC= ，
AB= ，
BC= ，
所以边长为无理数的边数有2个．
故选B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
8．写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4：____________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于4的无理数即可求解．
【详解】
∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于4，
∴这个无理数可以是： ．
故答案是： （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含π的数；开方开不尽的数；以及像
0.1010010001…，这样规律的数．
9．下列各数中 ， ， ， ，- ， 是有理数的有_______；是无理数的有_______．
【答案】 、 、 、 、-
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念求解即可．有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．
【详解】
解：∵ ，
∴有理数为： 、 、 ；
无理数为： 、 、- ．
故答案为： 、 、 ； 、 、- ．
【点睛】
此题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的概念．有理数包括整数和分
数，无理数是无限不循环小数．
10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则 ， ， ，三条线段中，长度最接近5的线段是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意找到AC、AB、AD所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．
【详解】
根据题意得：
AC= ，
AB= ，
AD= ，
因为5=
所以长度最接近5的线段是AC．
故答案为AC
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
11．将下列六个数的序号填入相应的括号内．
① ，②7，③ ，④ ，⑤ ，⑥
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】②⑤；①③④；③④⑤；⑥
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，即可得出答案．【详解】
解：∵整数包括正整数，0和负整数，
∴整数有7，-15，
∵分数包括循环小数，有限小数，
∴分数有 ，-0.01，-3.2020020002，
∵负有理数包括负整数和负小数，
∴负有理数有-0.01，-3.2020020002，-15，
∵无理数为无限不循环小数，
∴无限不循环小数有 ，
故答案为：②⑤；①③④；③④⑤；⑥．
【点睛】
本题考查实数的分类，解题的关键是掌握整数，分数，负有理数和无理数的定义．
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2 ， ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2 ， 的三角形
(1)三边长分别为 ，如图所示，
(2)
三边长分别为3，2 ， 如图所示，
【点睛】
本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件
画图是解题关键．
13．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．
【答案】不一定，见解析
【解析】
【分析】
根据无理数的特点,各举出一个反例即可．
【详解】
不一定，理由如下：
无理数 ，无理数- ，它们的和为： +（- ）=0，是有理数；
- =0，是有理数； × =2，是有理数； 是有理数，
∴两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例不唯一．【点睛】
本题考查了无理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉
斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），
他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉
斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几
个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．
（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
（1）不是，∵1<2<4，而x2=2
∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，
∴在1和2之间不存在另外的整数.
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.
考点：本题主要考查无理数和勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π
的数．
培优第二阶——拓展培优练
15．设a、b均为有理数，且满足等式4﹣ a＝2b+2 ﹣a，则ab＝_____．
【答案】-2
【解析】
【分析】
先将等式变形为 ，先根据有理数的定义求出a的值，再将a的值代入等式可求出b的
值，然后计算 即可．
【详解】，即
均为有理数
均为有理数
为有理数
，解得
将 代入等式得 ，解得
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了有理数与无理数概念的应用，依据有理数的定义求出a、b的值是解题关键．
16．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无
理数，满足这样条件的点C共__个．
【答案】4
【解析】
【分析】
本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．
【详解】
解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C
共D,E,F,H4个点．
故答案为8．17．证明： 不是有理数．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
假设 是有理数，则 可以表示为 （ 均为整数且互质），从而可得 ，由此判断出 是偶数，
再设 （ 为整数），从而可得 ，由此判断出 是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．
【详解】
证明：假设 是有理数，
故 可以表示为 （ 均为整数且互质），
则 ，
因为 是偶数，
所以 是偶数，
所以 是偶数，
设 （ 为整数），
则 ，即 ，
所以 也是偶数，这和 互质矛盾．
所以假设不成立， 是无理数．
【点睛】
本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．
18．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无
理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果 ，其中 ， 为有理数， 为无理数，那么
且 ．
（1）如果 ，其中 ， 为有理数，那么 ， ；
（2）如果 ，其中 ， 为有理数，求 的值．
【答案】（1）-1，2；（2）15【解析】
【分析】
（1）根据 ， 为有理数， 是无理数，可得m+1=0，n-2=0，进而即可求解；
（2）先把原等式化为 ，即可得到m-2n=0，3m-18=0，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ， ， 为有理数， 是无理数，
∴m+1=0，n-2=0，
∴m=-1，n=2，
故答案是：-1，2；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， 为有理数， 是无理数，
∴m-2n=0，3m-18=0，即：m=6，n=3，
∴ =15．
【点睛】
本题主要考查无理数的意义以及整式的混合运算，理解“如果 ，其中 ， 为有理数， 为无理
数，那么 且 ”，是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
19．（2022·广西玉林·中考真题）下列各数中为无理数的是( )
A． B．1.5 C．0 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据无理数是无限不循环小数可直接进行排除选项．
【详解】
解：A选项是无理数，而B、C、D选项是有理数，故选A．
【点睛】
本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
20．（2022·湖南常德·中考真题）在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据无理数的概念，无限不循环小数是无理数即可判断．
【详解】
解：在 ， ， ， ，2022这五个数中无理数为 和 ，共2个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解题的关键．
21．（2020·湖南长沙·中考真题）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π
（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个
国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南
北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一
千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与
圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆
的周长与半径的比；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】A
【解析】
【分析】
圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此
进行分析解答即可．
【详解】
解：①圆周率是一个有理数，错误；
② 是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长
与半径的比，说法错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取
它的近似值．
22．（2021·福建·中考真题）写出一个无理数x，使得 ，则x可以是_________（只要写出一个满足
条件的x即可）
【答案】答案不唯一（如 等）
【解析】
【分析】
从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
【详解】
根据无理数的定义写一个无理数，满足 即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数， ，
③含有π的数 等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案为：答案不唯一（如 等）
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小
数，③含有π的数．
