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2 .1 认识无理数
课堂知识梳理
无限不循环小数称为无理数。
有理数与无理数的主要区别：
(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．
(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列说法正确的是（ ）
A．带有根号的数是无理数 B．无限小数是无理数
C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如 是有理数，故此选项错误；
B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限
循环小数是有理数，故此选项错误；
C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；
D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无 是无理数，但它不是开方产生
的数，故选项错误．
故选C．
2．下列各数中：3.14159， ，0.101001…， ， ， 无理数个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数、有理数的定义逐一分析判断即可．
【详解】
解：
是无理数，而 是有理数，
故选B
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中， 是分数，属于有理数，故A错误；
B选项中， 是有理数，故B错误；
C选项中， 是无理数，故C正确；
D选项中， 是有理数，故D错误；
故选C．
4．在－2， ， ，3.14， ， ，这6个数中，无理数共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】
【详解】
解：－2， ， 3.14， 是有理数；， 是无理数；
故选C．
【点睛】
本题考查了算术平方根，立方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式，
①开方开不尽的数，如 ， 等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如
（0的个数一次多一个）．
5．下列说法错误的是（ ）
A．无限不循环小数是无理数
B．面积为 的正方形的边长是一个无理数
C． 是一个分数，所以也是有理数
D．任何有限小数或无限循环小数都不是无理数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义对以下选项进行一一分析、并作出判断．
【详解】
A. 无限不循环小数是无理数，符合定义，正确；
B. 面积为 的正方形的边长是 ，是一个无理数，正确；
C. 是一个无限不循环小数，是无理数，错误；
D. 任何有限小数或无限循环小数都不是无理数，是有理数，正确.
故选C
【点睛】
考核知识点：无理数.理解无理数定义是关键.
6．直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，斜边的长为c，则c是（ ）
A．有理数 B．无理数 C．分数 D．无限循环小数
【答案】A
【解析】【分析】
利用勾股定理求出c，再根据实数定义分析.
【详解】
因为直角三角形的两条直角边长的平方分别为1和3，所以斜边的长为c= ，是有理数.
故选A
【点睛】
考核知识点：无理数和有理数.利用勾股定理解决问题是关键.
7．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.则网格上的 中，边长为无理数的边数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意找到AC、AB、BC所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．
【详解】
根据题意得：
AC= ，
AB= ，
BC= ，
所以边长为无理数的边数有2个．
故选B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
8．写出一个无理数，使这个无理数的绝对值小于4：____________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，只要找一个绝对值小于4的无理数即可求解．
【详解】
∵一个无理数，这个无理数的绝对值小于4，
∴这个无理数可以是： ．
故答案是： （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含π的数；开方开不尽的数；以及像
0.1010010001…，这样规律的数．
9．下列各数中 ， ， ， ，- ， 是有理数的有_______；是无理数的有_______．
【答案】 、 、 、 、-
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念求解即可．有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．
【详解】
解：∵ ，
∴有理数为： 、 、 ；
无理数为： 、 、- ．
故答案为： 、 、 ； 、 、- ．
【点睛】
此题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的概念．有理数包括整数和分
数，无理数是无限不循环小数．
10．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则 ， ， ，三条线段中，长度最接近5的线段是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意找到AC、AB、AD所在的直角三角形，根据勾股定理即可求得．
【详解】
根据题意得：
AC= ，
AB= ，
AD= ，
因为5=
所以长度最接近5的线段是AC．
故答案为AC
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用．要注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．
11．将下列六个数的序号填入相应的括号内．
① ，②7，③ ，④ ，⑤ ，⑥
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】②⑤；①③④；③④⑤；⑥
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，即可得出答案．【详解】
解：∵整数包括正整数，0和负整数，
∴整数有7，-15，
∵分数包括循环小数，有限小数，
∴分数有 ，-0.01，-3.2020020002，
∵负有理数包括负整数和负小数，
∴负有理数有-0.01，-3.2020020002，-15，
∵无理数为无限不循环小数，
∴无限不循环小数有 ，
故答案为：②⑤；①③④；③④⑤；⑥．
【点睛】
本题考查实数的分类，解题的关键是掌握整数，分数，负有理数和无理数的定义．
12．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2 ， ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2 ， 的三角形
(1)三边长分别为 ，如图所示，
(2)
三边长分别为3，2 ， 如图所示，
【点睛】
本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件
画图是解题关键．
13．两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明．
【答案】不一定，见解析
【解析】
【分析】
根据无理数的特点,各举出一个反例即可．
【详解】
不一定，理由如下：
无理数 ，无理数- ，它们的和为： +（- ）=0，是有理数；
- =0，是有理数； × =2，是有理数； 是有理数，
∴两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例不唯一．【点睛】
本题考查了无理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉
斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），
他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉
斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几
个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．
（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
（1）不是，∵1<2<4，而x2=2
∴10，1
