文档内容
2.1 认识实数
4大知识点（基础）+能力提升题（6道）+拓展培优练（2道）
一、无理数的概念
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
1
A． π B．1.333 C．0 D．−1
3
【答案】A
【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数之比．
本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义及其常见表现形式是解题的关键．
1 1
【详解】1. 选项A：π是无理数，任何非零有理数（如 ）与无理数相乘的结果仍是无理数，因此 π是无
3 3
理数．
1333
2. 选项B：1.333是有限小数，可表示为分数 ，属于有理数，不是无理数．
1000
0
3. 选项C： 0是整数，可以表示为 ，属于有理数，不是无理数．
1
−1
4. 选项D：−1是整数，可以表示为 ，属于有理数，不是无理数．
1
综上，只有选项A是无理数．
故选：A．
2．下列各数中，属于无理数的是（ ）
1 22 π
A．− B． C．3.14159 D．
2 7 2
【答案】D
【分析】本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；
直接利用有理数和有理数的定义分析得出答案．
1
【详解】解：A、− 是有理数，不符合题意；
2
22
B、 是有理数，不符合题意；
7C、3.14159是有理数，不符合题意；
π
D、 是无理数，符合题意；
2
故选：D
3
3．在下列数：−2.5， ，0，−1.121121112…，0.2˙，−π中，无理数有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据循环节，有理数的定义，无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数即无限不循环小数，循环节，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．
3
【详解】解：∵−2.5， ，0，0.2˙，是有理数，
2
−π，−1.121121112…是无理数；
故选：B．
3
4．在实数3.14， ，3.333…，−π，0.1011011101111…中，无理数有（ ）
5
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及
像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断即可．
【详解】解： 3.14是有限小数，属于有理数；
3
是分数形式，属于有理数；
5
3.333…是无限循环小数，属于有理数；
−π是无限不循环小数，属于无理数；
0.1011011101111…小数部分无固定循环节，是无限不循环小数，属于无理数；
综上，无理数有−π，0.1011011101111…共2个，
故选：A．
5．在下列实数中，无理数是（ ）
1
A． B．−π C．0.314 D．5
7
【答案】B
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．
1
【详解】解：−π是无理数， ，0.314，5是有理数，
7
故选：B．
二、实数的分类
1．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率π精确到小数点后第七
22 355
位，还得到了π的两个近似值： （约率）和 （密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，
7 113
22
约率 是（ ）
7
A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案．
22
【详解】解： 是正分数，是有理数，
7
故选：D．
3 5 π 30
2．将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：1 ，−0.25，−3 ，206，0，− ，21%，
4 9 2 5
，2.01001000100001⋯⋯
正分数集合｛ …｝
负有理数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
3 30 5 π
【答案】1 ， ，21%；−0.25，−3 ；− ，2.01001000100001⋯⋯
4 5 9 2
【分析】本题考查实数的分类，掌握其分类的本质是关键．根据分数、负有理数和无理数的定义质，依次
对各个数字分析分类，即可求解．
3 30
【详解】解：正分数集合｛1 ， ，21%， …｝
4 5
5
负有理数集合{ −0.25，−3 ，…}
9
π
无理数集合｛− ，2.01001000100001⋯⋯，…｝
23 30 5 π
故答案为：1 ， ，21%；−0.25，−3 ；− ，2.01001000100001⋯⋯．
4 5 9 2
3．将下列各数填入相应的集合中：
1
−7,0,−22 ,−2.55555⋯⋯,3.01,+9,4.020020002⋯,+10%,−2π
3
有理数集合：{____________……}；
无理数集合：{____________ ……}；
整数集合：{____________……}；
分数集合：{____________……}．
【答案】见解析
【分析】本题考查实数的分类，根据有理数包括分数和整数，无理数是无限不循环小数，整数包括正整数，
负整数和0，分数包括有限小数和无限循环小数，进行作答即可．
{ 1 )
【详解】解：有理数集合： −7,0,−22 ,−2.55555⋯⋯,3.01,+9,+10% ；
3
无理数集合：{4.020020002⋯,−2π)；
整数集合：{−7,0,+9)；
{ 1 )
分数集合： −22 ,−2.55555⋯⋯,3.01,+10% ．
3
4．将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
( 1) 2 3
①−(−52)，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④− − ，⑤−|−2.5)，⑥− ，
3 4
π
⑦− ．
4
正数集合：{ }；
整数集合：{ ⋯}；
负分数集合：{ ⋯ }；
无理数集合：{ ⋯}．
【答案】①②，①⋯③，④⑤⑥，②⑦
【分析】本题考查了实数的分类，无限不循环小数即为无理数，实数包括无理数和有理数，解题的关键是
根据实数的分类方法即可判定求解．
( 1) 2 1
【详解】解：−(−52)=−(−25)=25，− − =− ，−|−2.5)=−2.5，
3 9
正数集合：{①②⋯}；整数集合：{①③⋯}；
负分数集合：{④⑤⑥⋯}；
无理数集合：{②⑦⋯}；
故答案为：①②，①③，④⑤⑥，②⑦．
5．把下列各数填在相应的括号内．
3 22 21 •
− ,0,−30, ,+20,−2.6, ,π,0.3,0.3030030003⋯（相邻两个3之间一次加一个0）
8 5 3
正有理数集合：{ …}．
负数集合：{ …}．
整数集合：{ …}．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数分类，掌握有理数的分类是解题的关键，整数和分数统称有
理数，分数包括有限小数和无限循环小数，大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数又不是
负数．
22 21 •
【详解】解：正有理数集合{ ，+20， ， ，…}
0.3
5 3
3
负数集合{− ，−30，−2.6，…}
8
21
整数集合{0，−30，+20， …}
3
三、实数的概念
1．祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下
关于“圆周率π”的说法错误的是 （ ）
A．圆周率π是一个无限小数 B．圆周率π是一个实数
C．圆周率π可以在数轴上表示出来 D．圆周率π是一个有理数
【答案】D
【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和π的意义是解题的关键．
根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．
【详解】A．圆周率它是一个无限不循环小数，属于无限小数，该选项说法正确，故本选项不符合题意；
B．实数是有理数和无理数的总称，圆周率是无理数，所以圆周率是一个实数，该选项说法正确，故本选
项不符合题意；C．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，圆周率是实数，所以圆周率可以在数轴上表示出来，该
选项说法正确，故本选项不符合题意；
D．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，而圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是
有理数，该选项说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和无理数都是实数；③正实数和负实数统称为实
数；④实数既是有理数又是无理数．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数的分类，实数可以分为有理数和无理数两大类 ．有理数包括整数和分数，而
无理数则是无限不循环小数．
【详解】解：实数可以分为有理数和无理数两大类 ．有理数包括整数和分数，
故①实数包括有理数、无理数和0；说法错误，0属于有理数；
②有理数和无理数都是实数；说法正确；
③正实数和负实数统称为实数，说法错误，实数中，0既不是正数也不是负数；
④实数包括有理数和无理数，但一个实数不是有理数就是无理数，不能实数既是有理数又是无理数．原说
法错误；
∴说法正确的有1个，
故选：A．
3．下列说法正确的是（）
A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数
【答案】B
【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数
的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答．
【详解】带根号的数不一定都是无理数，如❑√4=2，是有理数，A选项错误；
无限不循环小数是无理数，B选项正确；
实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误；
能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如❑√2可以在数轴上表示出来，
但不是有理数，D选项错误．
故选：B4．下列说法正确的是（ ）
A．0不是有理数 B．正数和负数统称实数
C．存在最大的负有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，有理数的相关定义，有理数包含正有理数，负有理数
和0，实数包含正数，负数和0，没有最大的有理数，实数与数轴上的点一一对应，据此可得答案．
【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意；
B、正数，负数和0统称实数，原说法错误，不符合题意；
C、不存在最大的负有理数，原说法错误，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应，原说法正确，符合题意；
故选：D．
11
5．下列各数 ，−0.4，3.14，0.3，0，+8，0.1010010001…，其中正有理数的个数为（ ）．
7
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键．
实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数
之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有
理数的个数．
11
【详解】解： ，−0.4，3.14，0.3，0，+8为有理数；0.1010010001…为无理数；
7
11
∴ ，3.14，0.3，+8，为正有理数，
7
即正有理数的个数有4个，
故选：B．
6．下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数
C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数
【答案】C
【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．
【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数❑√2和−❑√2，它
们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意；B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；
C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意；
D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
四、实数与数轴
1．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于−1的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，越在数轴的左边的数越小，进行作答即可．
【详解】解：依题意，位于−1左侧的数小于−1，
则观察数轴，a位于−1左侧，
∴a<−1．
故选：A
2．如图，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的
数是（ ）
π
A． B．π C．2π D．π2
2
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，求出圆的周长，即可得出结果．
【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆，
∴周长为π，
由题意，点A表示的数是π；
故选B．
3．如图，数轴上点A所表示的数的倒数是（ ）1 1
A．2 B．−2 C． D．−
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，倒数的定义，根据数轴可知点A表示的数为2，再根据倒数的定义
求解即可．
【详解】解：点A表示的数为2，
1
则2的倒数为 ，
2
故选：C
4．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把
直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的数是
．
【答案】π
【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位1的圆从数轴上
的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则OA的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确OA长
度的实际意义是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，
∴OA=π×1=π，
∴点A表示的数是π．
故答案为：π．
1．如图，数轴上点 A 表示的数是（ ）A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是
−3，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是−3，即3的相反数，
故选：B．
b
2．下列说法：①无理数的倒数还是无理数；②若a，b互为相反数，则 =−1；③若a为任意有理数，则
a
a−|a)≤0；④两个有理数比较，绝对值大的反而小．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义和倒数的定义可判断①；根据相反数的定义和0不能做分母可判断②；根据绝
对值的性质可判断③；根据有理数的大小比较方法可判断④．
【详解】解：①无理数的倒数还是无理数，正确；
b b
②当a=b=0时， 无意义，故若a，b互为相反数，则 =−1说法错误；
a a
③若a为任意有理数，则a−|a)≤0，正确；
④两个负数比较，绝对值大的反而小，故原说法错误．
综上可知正确的有①③共两个．
故选B．
【点睛】本题考查无理数的定义，倒数的定义，相反数的定义，0不能做分母，绝对值的性质，有理数的
大小比较．熟练掌握上述知识是解题关键．
3．实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．|m)>2 B．m>−1 C．m+n>0 D．mn>0
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，加法与乘法的法则，数形结合是解题的关键．
根据数轴的位置，可得−20，正确，符合题意；
D．mn<0，错误，不符合题意．
故选：C．
4．下列数中是无理数的为（ ）
π
A．0 B．
5
22
C． D．2.010101⋅⋅⋅（相邻两个1之间有一个0）
7
【答案】B
【分析】此题考查了实数数的分类．无理数是无限不循环小数，整数和分数统称有理数，根据无理数和有
理数的定义分别进行判断即可．
【详解】解：A. 0是有理数，故选项不符合题意；
π
B. 是无理数，故选项符合题意；
5
22
C. 是分数，属于有理数，故选项不符合题意；
7
D. 2.010101⋅⋅⋅（相邻两个1之间有一个0）是无限循环小数，属于有理数，故选项不符合题意．
故选：B
5．给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数
统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的
数．其中正确的说法是 ．
【答案】2
【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答．
【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误；
②有理数分为正数、负数和0,故②错误；
③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；
④非负数包含正数和0，故④错误；
⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确；
综上，正确的有⑤和⑥，共2个．故答案为2．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
6．把下列各数分别填入相应的集合里．
2 22
−4，−1
3
，0，
7
，π， −3.14，2022，
−0.3
•，1.080080008…．
(1)负数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)无理数集合：{ …}．
2
【答案】(1)−4，−1
3
， −3.14，
−0.3
•
(2)−4，0，2022
2 22
(3)−1
3
，
7
， −3.14，
−0.3
•
(4)π，1.080080008…
【分析】（1）根据正数前面加上“−”的数是负数选择即可；（2）根据正整数，0，负整数选择即可；
（3）根据正分数、负分数选择即可；（4）根据无理数是无限不循环小数选择即可．
2
【详解】（1）负数集合：｛ −4，−1
3
， −3.14，
−0.3
•， …｝；
（2）整数集合：｛−4， 0， 2022， …｝；
2 22
（3）分数集合：｛−1
3
，
7
， −3.14，
−0.3
•， …｝；
（4）无理数集合：｛π， 1.080080008…， …｝．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，解决问题的关键是熟练掌握负数的定义，整数的定义，分数是定义，
无理数的定义．
1．阅读理解：我们知道|x)的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，|x)表示在数
轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为： 表示在数轴上数x，x 对应点之间的距
|x −x ) 1 2
1 2
离．举例：数轴上表示数a和 的两点A和B之间的距离是 ．问题探究：参考
−1 AB＝|a−(−1))＝|a+1)阅读材料，解答下列问题．
（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，求|a+3)+|a−5)的值是 ；
（3）当|a−1)+|a−2)取最小值时，相应的数a的取值范围是 ；
（4）求|a−1)+|a−2)+|a−3)的最小值是 ．
实际应用：
（5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A ，A ，
1 2
A ，A ，A ，…A ，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选
3 4 5 2023
在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母）
拓展提升：
（6）若数a，b满足|a−1)+|a−3)+|b−4)+|b+5)＝11，求a+b的最小值为 ．
【答案】（1）3，|x+1)（2）8（3）1≤a≤2（4）2（5）A （6）−4
1012
【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是
解题的关键．
（1）①由两点间距离直接求解即可；
②由两点间距离直接求解即可；
（2）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算便可；
（3）由题意两点距离的意义进行解答；
（4）当a取2时代数式的值最小，据此计算便可；
（5）取最中间点便可；
（6）在a≤1，b≤−5范围内，解方程|a−1|+|a−3|+|b−4|+|b+5|=11便可．
【详解】解：（1）①数轴上表示2与5两点之间的距离为|5−2|=3；
故答案为：3；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是|x−(−1)|，
故答案为：|x−(−1)|；
（2）∵−3≤a≤5，
∴|a+3|+|a−5|=a+3+5−a=8；
（3）|a−1|+|a−2|表示数a的点与表示数1和2的点的距离之和，
当a位于1与2之间时，其距离之和最小，
∴|a−1|+|a−2|取最小值时，相应的数a的取值范围是1≤a≤2，
故答案为：1≤a≤2；（4）当a=2时，|a−1|+|a−2|+|a−3|取最小值为：1+0+1=2，
故答案为：2；
（5）点P选在A 居民家．才能使这2023户居民到点P的距离总和最小；
1012
故答案为：A ；
1012
（6）∵|a−1|+|a−3|+|b−4|+|b+5|=11，
∴当a≤1，b≤−5时，1−a+3−a+4−b−b−5=11，
∴a+b=−4，
∴若数a，b满足|a−1|+|a−3|+|b−4|+|b+5|=11，a+b的最小值为−4，
故答案为：−4．
2．如图,半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合,AB是圆片的直径.
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是
__________数(填“无理”或“有理”)，这个数是__________.
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是__________.
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记
录如下：+2，-1，+3，-4，-3
①第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【答案】（1）无理， （2）﹣π；（3）4π或﹣4π；
【分析】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；（2）利用圆的半径以及滚动周数即可得出
滚动距离；（3）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；②利用绝对值的性质以
及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．
【详解】解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，
这个数是﹣π；
故答案为无理，﹣π；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是4π或﹣4π；
故答案为4π或﹣4π；
（3）①∵圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，
∴第4次滚动后，A点距离原点最近，第3次滚动后，A点距离原点最远；
②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，
∴13×2π×1=26π，
∴A点运动的路程共有26π；
∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，
（﹣3）×2π=﹣6π，
∴此时点A所表示的数是：﹣6π．
【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题
关键．
