文档内容
2.1.2 认识实数（第 2 课时） 导学案（解析版）
1.理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类。
2.经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想．
3.在观察小数特征的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力．
重点：无理数的概念与判定以及实数的分类体系
难点：在数轴上表示无理数
第一环节 自主学习
温故知新：
①有理数的本质：总可表示为有限小数或无限循环小数．
②无限不循环小数的本质：不能表示为分数的数．
核心特征：小数位数无限
数字排列无循环性
新知自研：自研课本第26-28页的内容
【学法指导】
自研课本P26页内容，思考：
1、观察下列各数：
4 5 8 2
3, , , − ,
5 9 45 11
将以上各数表示为小数：
4 5 8 2
3=3.0 ， =0.8， =0.555⋯ − =−0.1777⋯ =0.1˙8˙
5 9 45 11
以上每个数字转化后的小数都是有限小数和无限循环小数
2、在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这
种数是什么呢？
概念形成：无限不循环小数称为无理数
3、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如：
（1）π=3.14159265⋯是无理数
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（2）0.585885888588885 (相邻两个5之间8的个数逐次加1)是无理数
【自研自探】
⋯
自研课本P27页例题内容，回答问题：
例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
4
3.14， − ， 0.57， 0.1010001000001⋯ （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。
3
4 ⋯
解：有理数： 3.14 ， − ， 0.5 7；无理数: ： 0.101000100000 1⋯ （两个 1 之间 0 的个数加 2）
3
⋯
1、在例题中我们发现同时出现了有理数和无理数，有理数和无理数统称为实数。
2、在例题中，我们区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，则
4
正数是： 3.14 ， 0.57 ， 0.1010001000001 ⋯ （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）；负数是：−
3
⋯
3、还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
有理数 可分为正有理数、负有理数和 0 ；类似的，可将实数分为正实数、负实数和 0
4、实数运算规则（核心迁移内容）
（1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样；
（2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；
（3）近似计算例子：求a=1.41421356…a=1.41421356…与π=3.14159265…π=3.14159265…
的和（保留两位小数）
a≈1.414， π≈3.141， a+ π≈4.56
5、试一试：将下列实数填入相应的集合中（每个数只能填一次）：
22
√5、−3、0.75、π、√16、−√3、2.71828⋯、 、0
7
1. 无理数集合：___√5、−√3、π、2.71828⋯_
22
2. 有理数集合： __−3 、 √16、 、 0 _
7
22
3. 正实数集合：__√5、0.75、π、√16、2.71828⋯、
7
4. 负实数集合： _−3 、 −√3
22
5. 非负实数集合：√5、0.75、π、√16、2.71828⋯、 、 0 _
7
6. 总结归纳无理数和实数的概念，以及实数的分类和运算性质.（完成在随堂笔记处）
第二环节 合作探究
小组群学： P28页思考与交流的内容，回答问题：
A,在小组长的带领下：商讨如何在数轴表示无理数；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 21.前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 a2=2,b2=5.;
如图OA=OB，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？
解；如图，点A表示的是 数
B, 总结无理数在数轴上表示的方法.（完成在随堂笔记处）
C,拓展提升 a
在数轴上找到与√5对应的点，并说明你是如何画出来的。
解：① 作直角边长为_1和2的直角三角形；
以原点O为圆心，以_斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b
②
1. 下列各数中，属于无理数的是（ B ）
A. √16 B. 0.1010010001⋯（相邻两个1之间0的个数逐次加
1）
22
C. D. 3.1415
7
2. 实数的正确分类是（ B ）
A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数
C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数
3. 下列说法正确的是（ C ）
A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数
C. 无限不循环小数是无理数 D. π=3.14
4. 比较大小 -3.14 > −π .
5.请你列举出一个无理数：√7，列举出一个实数： （答案不唯一）
10
类型一：有理数与无理数的识别
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 31.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
˙ 1
0.4583, 3.7, −π, − , 18
7
˙ 1
有理数：0.4583, 3.7, , − , 18
7
无理数：−π
类型二：实数的分类
2.将下列数分类：
−0.6， ，0，0.121121112 （相邻两个2之间1的个数逐次加1）
√3
⋯
有理数：−0.6，√3，0
无理数：0.121121112 （相邻两个2之间1的个数逐次加1）
⋯
类型三：实数性质迁移应用
3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 a≠0，则它的倒数如何表示？
解: 的相反数是 ； 的绝对值是
1
的倒a 数是 （ ≠-0a ) a |a|
a
a a
类型四：
4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形：
（1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；
（2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；
（3）使它的三边边长都是有无理数。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 41.（2023•北京）下列实数中，是无理数的是（A ）
1
A. √3 B. C. 0.666… D. -2．
2
2.（2023•南京）请写出一个比2大且比3小的无理数：__√5____．
3.（2023•广东）下列关于实数的分类，正确的是（ A）
A. 正实数包括正有理数和正无理数 B. 负数包括负整数和负分数
C. 有理数包括整数、分数和无理数 D. 无理数包括正无理数、0和负无理数
4.（2024•湖北）在实数-√5 、0、3.14、√9中，有理数有____3__个
5.（2024•浙江）估计√5数轴上的位置介于（A ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
1. 有理数：有限小数或无限循环小数；
无理数： 无限不循环小数 ；
3. 实数：有理数 + 无理数；
2.
4. 实数分类：正实数（正有理数+ 正无理数） 负实数（负有理数 负无理数）；
5. 运算规则迁移：
/0/ +
（1）相反数、倒数、绝对值的意义与有理数相同；
（2）有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）和运算律（交换律、结合律、分配律）对实数仍然适
用；
6. 在数轴上表示无理数的步骤：
（ ）准备数轴（标记 和 ）。
（ ）对于代数无理数（如 √ ），使用勾股定理和圆规进行精确构造。
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