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2.1～2.2 不等关系与不等式的基本性质
课堂知识梳理
一. 不等关系
1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;
不等式表示的是不相等的关系.
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二. 不等式的基本性质
1. 不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
2. 不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变。
3. 不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）以下表达式：①4x+3 y≤0；②a>3；③x2+xy；
④a2+b2=c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：a+b、a>3、x≠5是不等式，x2+xy和a2+b2=c2不是不等式，
即不等式有3个，故B正确．
故选：B．
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）已知a<b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a−1<b−1 B．a+2<b+2 C．−2a>−2b D．ac2<bc2
【答案】D
【详解】解：A、在不等式a<b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1<b−1，故本
选项不符合题意；
B、在不等式a<b的两边同时加上2，不等式仍成立，即a+2<b+2，故本选项不符合题意；
C、在不等式a<b的两边同时乘以−2，不等号方向改变，即−2a>−2b，故本选项不符合
题意；
D、在不等式a<b的两边同时乘以c2(c≠0)，不等号方向不变，即ac2<bc2，故本选项符
合题意；
1故选：D．
3．用一组 a，b 的值说明“若a<b，则a2<b2”是假命题，若小明取a=−2，则 b=
__________．
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：当b=1时，
∵−2<1,(−2) 2>12，
∴“若a<b，则a2<b2”是假命题，
故答案为：1（答案不唯一）．
4．若a>b，且(6−x)a<(6−x)b，则x的取值范围是_____．
【答案】x>6
【详解】解：∵a>b，且(6−x)a<(6−x)b，
∴6−x<0，
解得x>6．
故答案为：x>6．
5．（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考阶段练习）“x的3倍与y的差是负
数”用不等式表示为_______．
【答案】3x−y<0
【详解】解：x的3倍表示为3x，
∴根据题意得，3x−y<0，
故答案为：3x−y<0．
6．用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时
间为x小时，所列不等式为______．
【答案】x＞1
【详解】解：由题意得
x＞1．
故答案为：x＞1
7．选择适当的不等号填空：
（1）若a−b>0，则a______b．
（2）若a>−b，则a+b______0．
（3）若−a<b，则a_______−b．
（4）若−a>−b，则2−a ______2−b．
（5）若a>0，且(1−b)a<0，则b______1
（6）若a<b,b<2a−1，则a_______2a−1．
【答案】 > > > > > <
【详解】解：（1）若a−b>0，则a>b．
2故答案为：>
（2）若a>−b，则a+b>0．
故答案为：>
（3）若−a<b，则a>−b，
故答案为：>
（4）若−a>−b，则2−a>2−b．
故答案为：>
（5）因为a>0，且(1−b)a<0，
所以1−b<0，
所以b>1；
故答案为：>
（6）若a<b,b<2a−1，则a<2a−1．
故答案为：<
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空．
(1)a___________b．
(2)|a|___________|b|．
(3)a+b___________0．
(4)a−b___________0．
(5)ab___________0．
【答案】(1)＞；
(2)＜；
(3)＜；
(4)＞；
(5)＜
【详解】（1）解：由数轴可知：a>b，
故答案为：＞；
（2）解：由数轴可知：|a|＜|b|，
故答案为：＜；
（3）解：∵a>0>b，|a|＜|b|，
∴a+b<0，
故答案为：＜；
（4）解：∵a>b，
∴a−b>0，
故答案为：＞；
3（5）解：∵a>0>b
∴ab<0，
故答案为：＜．
9．根据下列数量关系列不等式：
(1)x的7倍减去1是正数．
1 1
(2)y的 与 的和不大于0．
3 3
(3)正数a与1的和的算术平方根大于1．
(4)y的20%不小于1与y的和．
1 1
【答案】(1)7x−1>0；(2) y+ ≤0；(3)√a+1>1(a>0)；(4)20％y≥ y+1
3 3
【详解】（1）解：由题意得：7x−1>0；
1 1
（2）解：由题意得： y+ ≤0；
3 3
（3）解：由题意得：√a+1>1(a>0)；
（4）解：由题意得：20％y≥ y+1．
10．指出他们的错误在哪里：
(1)甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，得到10＜0；
(2)乙在不等式2x＞5x两边同除以x，得到2＞5．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：甲在不等式－10＜0的两边都乘－1，应得到10＞0；
（2）解：乙在不等式2x＞5x两边同除以x，若x＞0，则2＞5（即原不等式不成立），若x
＜0，则5＞2．
11．说出下列不等式的变形依据．
(1)若x+2>3，则x>1；
3
(2)若2x>−3，则x>− ；
2
4
(3)若−3x>4，则x<− ．
3
【答案】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2
(2)根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2
(3)不等式的性质3，不等式的两边同除以−3
【详解】（1）解：根据不等式的性质1，不等式的两边同时减去2．
（2）解：根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以2．
（3）解：不等式的性质3，不等式的两边同除以−3．
12．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x>y时，
(1)请比较−3x+5与−3 y+5的大小，并说明理由．
4(2)若(a−3)x<(a−3)y，则a的取值范围为______．（直接写出答案）
【答案】(1)−3x+5<−3 y+5，理由见解析；(2)a<3
【详解】（1）−3x+5<−3 y+5，
理由是：∵x>y，
同时乘以−3，由不等式的基本性质3可得：
−3x<−3 y，
同时加上5，由不等式的基本性质1可得：
−3x+5<−3 y+5
∴−3x+5<−3 y+5；
（2）∵x>y，(a−3)x<(a−3)y，
∴a−3<0，
∴a<3，
即a的取值范围是a<3．
故答案为：a<3．
13．根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
10x－1＞7x
1
【答案】x＞
3
【详解】解：10x－1＞7x，
两边都减7x、加1，得
10x－7x－1＋1＞7x－7x＋1，
3x＞1，
1
两边都除以3，得x＞ ；
3
14．某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），买3个这样的键
盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？
【答案】180≤3x≤210（答案不唯一）
【详解】解：设一个计算机键盘的单价为x元，则60≤x≤70，
∴买3个这样的键盘需要的钱为180≤3x≤210．
15．（1）小明在学习时推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题
到底出在哪里？
已知x>y，两边都乘以5，得5x>5y；（1）
两边都减去5x，得0>5y－5x；（2）
即0>5（y－x）．（3）
两边都除以y－x，得0>5．（4）
（2）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE垂直平分AC于点D，交AB
5于点E，求证：BC＝CE．
【答案】（1）错在第（4）步；（2）见解析
【详解】解：（1）错在第（4）步．
∵x＞y，
∴y-x＜0．不等式两边同时除以负数y-x，不等号应改变方向才能成立．
（2）证明：∵DE垂直平分AC于点D，交AB于点E，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠BCE=∠ACE=36°，
∴∠BEC=∠B=72°，
∴BC=CE．
培优第二阶——拓展培优练
16．下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．若x>y，则−x<−y B．若x>y，则x2>y2
x y
C．若x<y，则 < D．若x+m<y+m，则x<y
3 3
【答案】B
【详解】解：A.在不等式x>y的两边同时乘−1，不等式符号改边方向，即为−x<−y，故
本项不符合题意；
B.当0>x>y时，x2>y2不成立，故本选项符合题意；
x y
C.在不等式x<y的两边同时除以3，不等式仍然成立，即 < ，故本项不符合题意；
3 3
D.在不等式x+m<y+m的两边同时减去m，不等式仍然成立，即x<y，故本项不符合题
意；
故选：B．
17．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（ ）
6A．ab<2a B．1−3a<1−3b C．|a|−|b|>0 D．ab>−b
【答案】A
【详解】解；由数轴可得，
−2<a<−1，2<b<3，a<b，|a|<|b|，
∵b>2，a<0，∴ab<2a，故选项A正确；
∵a<b，∴−3a>−3b，则1−3a>1−3b，故选项B错误；
∵|a|<|b|，∴|a|−|b|<0，故选项C错误；
∵a<−1，b>0，∴ab<−b，故选项D错误；
故选：A．
18．若0<x<1，则下列选项正确的是（ ）
1 1 1 1
A．x< <x2 B．x<x2< C．x2<x< D． <x<x2
x x x x
【答案】C
【详解】解：∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
1
0＜1＜ （不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
x
1
∴x2＜x＜ ．
x
故选：C．
19．下列各式中正确的是（ ）
A．若a>b，则a−1<b−1 B．若a>b，则a2>b2
a b
C．若a>b，且c≠0，则ac>bc D．若 > ，则a>b
|c| |c|
【答案】D
【详解】A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误；
D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
20．若m>n，则下列不等式一定成立的是（ ）
m+1 n+1
A．−2m+1>−2n+1 B． > C．m+a>n+b
4 4
D．−am>−an
7【答案】B
【详解】解：A、∵m>n，∴−2m<−2n，则−2m+1<−2n+1，故该选项不成立，不
符合题意；
m+1 n+1
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则 > ，故该选项成立，符合题意；
4 4
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，−am<−an；当a<0时，−am>−an；故该选项不成立，不符合
题意；
故选：B．
21．用不等式表示
3
（1）a的 与一1的差是非正数．
4
（2）a的平方减去b的立方大于a与b的和．
2
（3）a的 减去4的差不小于-6．
3
3
（4）x的2倍与y的 和不大于5．
4
（5）长方形的长与宽分别为4、a−3，它的周长大于20．
3 2
【答案】（1） a−(−1)≤0；（2）a2−b3>a+b；（3） a−4≥−6；（4）
4 3
3
2x+ y≤5；（5）2(4+a−3)>20
4
3
【详解】（1） a−(−1)≤0；
4
（2）a2−b3>a+b；
2
（3） a−4≥−6；
3
3
（4）2x+ y≤5；
4
（5）2(4+a−3)>20．
22．x|m|+(m−1)y>5（m为定值）是关x一元一次不等式，求关于y的方程
(m−2)|3 y+5|+6=0的解．
1 11
【答案】方程的解为y= 或y=− ．
3 3
【详解】解：∵x|m|+(m−1)y>5（m为定值）是关x一元一次不等式，
∴¿，
解得m=1，
8∵(m−2)|3 y+5|+6=0，
∴(1−2)|3 y+5|=−6，
∴|3 y+5|=6，
∴3 y+5=±6，
1 11
∴y= 或− ．
3 3
23．（2021春·山西太原·八年级太原市外国语学校校考阶段练习）利用不等式的性质，解
答下列问题．
（1）①如果a﹣b＜0，那么a b；
②如果a﹣b＝0，那么a b；
③如果a﹣b＞0，那么a b；
（2）比较2a与a的大小．
（3）若a＞b，c＞d．
①比较a+c与b+d的大小；
②比较a﹣d与b﹣c的大小．
【答案】（1）①＜；②＝；③＞；（2）a＞0时，2a＞a；a＜0时，2a＜a；（3）①a+c
＞b+d；②a﹣d＞b﹣c
【详解】解：（1）①如果a−b<0，那么a<b；
②如果a−b=0，那么a=b；
③如果a−b>0，那么a>b；
故答案为：<；=；>；
（2）当a=0时，2a=a；
a>0时，a+a>a+0，即2a>a；
a<0时，a+a<a+0，即2a<a；
（3）①∵a>b，c>d，
∴a+c>b+d；
②∵a>b，c>d，
∴a−d>b−c．
24．已知x>0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝
6……
1
(1)填空：[ ]＝_____，[8.05]＝______；若[x]＝5，则x的取值范围是________．
3
(2)某市的出租车收费标准如下：3 km以内(包括3km)收费5元，超过3 km的，每超过
1km，加收1.2元(不足1 km按1 km计算)．设所行驶的路程为x(km)，用含[x]的式子表示
出当x>3时的乘车费用．
(3) 在(2)的条件下，某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围．
9【答案】(1)1，9，4<a≤5；(2) 1.2[x]＋1.4；（3） 乘客所乘路程的取值范围是13 km<x≤14
km．
1
【详解】（1）[ ]=1，[8.05]=9；∵[x]=5，∴4<a≤5．
3
（2）5＋1.2（[x]－3）元，即1.2[x]＋1.4元．
（3）由题意得：1.2[x]＋1.4=18.2，解得：[x]=14，∴13<x≤14，即乘客所乘路程的取值范
围是13 km<x≤14 km．
25．（2023秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）老师在讲完乘法公式
(a±b) 2=a2±2ab+b2的各种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5
最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=(x+2) 2+1
∵(x+2) 2≥0 ∴(x+2) 2+1≥1
即：当(x+2) 2=0时，x2+4x+5=(x+2) 2+1的值最小，最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出：(x+1) 2−2的最小值为___________
(2)求出代数式x2+10x+28的最小值；
(3)若x2+7x+ y+2=0，求x+ y的最大值
【答案】(1)−2；(2)3；(3)7
【详解】（1）解：∵(x+1) 2≥0，
∴(x+1) 2−2≥−2，
∴(x+1) 2−2的最小值为−2，
故答案为：−2；
（2）解：x2+10x+28=(x+5) 2+3
∵(x+5) 2≥0，
∴(x+5) 2+3≥3，
∴x2+10x+28的最小值为3；
（3）解：∵x2+7x+ y+2=0，
∴x+ y=−x2−6x−2=−(x+3) 2+7，
∵−(x+3) 2≤0，
∴−(x+3) 2+7≤7，
∴x+ y的最大值为7．
培优第三阶——中考沙场点兵
1026．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右
侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2<b+2
【答案】D
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2<b+2，∴D选项的结论成立．
故选：D．
√5−1
27．（2021·山东淄博·统考中考真题）设m= ，则（ ）
2
A．0<m<1 B．1<m<2 C．2<m<3 D．3<m<4
【答案】A
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<√5<3，
∴1<√5−1<2，
1 √5−1
∴ < <1；
2 2
故选A．
1
28．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则
a
1
______ ．（填“>”、“=”或“<”）
b
【答案】>
【详解】解：由图可得：1<a<b，
1 1
由不等式的性质得： > ，
a b
故答案为：>．
11
