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1.5 角平分线
题型一 利用角平分线的性质进行简单计算
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在 内作一条射线 ，在 上取一点P，过点P分
别作 于点Q， 于点E，若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， ，点 在 上， 于点 ， 于
点 ．若 ，则 的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， 平分 ，交 于点
E， 于点D，如果 ， ，那么 的长是 ．
4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， 、 的角平分线交于点 ，过点
作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为 ， ，则 的周长是
．
题型二 角平分线的判定定理
1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与
的边 ， 重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 的平分线上 B．边 的高线上
C．边 的垂直平分线上 D．边 的中线上
2．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知，如图，在 中，D、E分别是边 、 延长线上的点，
平分 ， 平分 ，求证： 平分 ．
要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（ ）”中填证明依据
证明：过点P分别作 ， ， ．
∵ 平分 （已知），且 ， ，
∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵ 平分 ，且______，
∴ ，
∴______（等量代换）．
又∵ ， ，
∴点P在 的平分线上（ ）
∴ 平分 ．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图， 中， ， 分别是边 ， 延长线上的点， 平分
， 平分 ，求证： 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，在 中，点 在 边上， ， 的
平分线交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ．
5．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在 和 中， ， ， ，
分别交 ， 于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 平分 ．
题型三 角平分线（尺规作图）
1．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的
是（ ）
A．说明 的依据是
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学科网（北京）股份有限公司B．
C． 上任意一点到 两边的距离相等
D．点M，N到 的距离不相等
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ，以点 为圆心，任意长度为
半径画弧，交 、 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 为半径画弧．两弧在
内相交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ，则点 到 的距离（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）如图，在长方形 中，连接 ，以A为圆心适当长
为半径画弧，分别交 ， 于点E，F，分别以E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
内交于点H，画射线 交 于点M．若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ，以点 为圆心，适当
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学科网（北京）股份有限公司长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧．两
弧在 的内部相交于点 ．作射线 交 于点 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于
点 和点 ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ．连接 交 于点
．若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（25-26九年级上·重庆·月考）在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边
形 中， ，若 平分 ，则 ，请根据他的思路完成以下作图和推理
填空：
(1)用尺规完成以下基本作图：过点C作 的垂线，交 于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证： ．
证明：过点C作 交 延长线于点F
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，且 ， ，
∴①．
∵ ，②，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
在 和 中，
∴ （④）．
∴ ．
题型一 与角平分线有关的几何辅助线作法
1．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在 中， 的平分线交 于点 ．
若 ，则点 到 的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（25-26八年级上·四川内江·期末）如图， 是 中 的平分线， 交 于点E，若
， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 ， 交于点M，连接 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）在四边形 中， 平分 ， ， ，且
的面积为2，则 ．
5．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）在直角三角形 中， ， ， ， 平分
交 于点 ，则 的长为 ．
6．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图， 中， 平分线 和边 的垂直平分线 交于点
，已知点 到 边距离为 ，那么点E和点A之间的距离为 ．
7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点 为 的中点， 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ．
①求证： 平分 ．
②猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
(2)若 ，请你思考 应该满足什么条件，能使得（1） 中结论依然成立，并说明理由．
题型二 与角平分线有关的面积计算问题
1．（山西省部分学校2025-2026学年上学期八年级综合素养评估（四）数学试卷）如图， 是 的角
平分线， 于点E， ， ，则 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知 中， 平分 ， 于点 ，连接 ，若
，则 的面积是（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．15
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学科网（北京）股份有限公司3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ， 分别为 的角平
分线． ， 相交于点 ， 平分 ，已知 ， ， 的面积 ，求
的面积 ．
4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图， 中，点 在 边上，连接 ， 的角平分线与
的角平分线交于点 ，连接 ．若 ， ， ，则 ．
5．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，已知在 中， ， ， ， 平分
， 平分 ， 与 交于点O，若过点O的直线 平分 面积，那么 的长
为 ．
6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图， 中，点 在 边上， ， 的平分
线交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ；
(3)若 ， ， ，且 ，求 的面积．
题型三 角平分线性质的实际应用
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线 ， ， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）．
A． 处 B． 处 C． 处 D． 处
2．（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示， 是一个正在修建的口袋
公园，要在公园里修建一座凉亭 ，使该凉亭到公路 、 、 的距离都相等，则凉亭 是 的
（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
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学科网（北京）股份有限公司C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉
亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点
4．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，点 在点 的北偏西 的方向上，且 ， ，
．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在点 北偏东 方向上
B．点 在点 南偏西 方向上
C．
D．
5．（25-26八年级上·山东滨州·月考）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板
电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长 ，支撑板顶端的C恰好是托板
的中点，托板 可绕点C转动，支撑板 可绕点D转动．当 ，且射线 恰好是 的平分
线时，此时点B到直线 的距离是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·河北衡水·期中）为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，
我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域 ．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形
区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等．
(1)请你用尺规作图选定位置 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若已知三角形区域 周长是 米，面积是 平方米，请你计算这个服务站 到三条公路的距
离．
7．（19-20九年级上·山东·课后作业）如图，直线a、b、c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中
转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹）
8．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，聪明好学的小海同学看到课本第 页第 题：
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学科网（北京）股份有限公司经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，
等于这个角的两邻边的比．
过点 作 于点 于点 ，过点 作 于点 ．
平分 ，且 点 ， 于点 ，
∴___________，
∴ ___________，
又∵ ___________，
∴ ．
(1)请你补全小海同学的证明过程；
(2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？
请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！
题型一 角平分线性质与判定的综合运用
1．（25-26八年级上·辽宁辽阳·期末）【初步感知】
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，已知 为等边三角形，点D是边 上一动点（点D不与点B，点C重合），以 为
边向右侧作等边 ，连接 ．求证： ；
【类比探究】
（2）如图2，已知，在 中， ， ，点G为边 上一点，过点C作 垂直射线
于点 ，连接 ，请求出 的度数；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形 中， ， 是对角线， 是等边三角形， ，若 ，
，请求出 的长．
2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在四边形 中， ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2) 在 边上，连接 ，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下， ， 交 于 ， 在 边上， ， 交
于 ，过 作 于 ，若 ， ，求线段 的长．
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