文档内容
1.5 角平分线（第一课时） 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级上册第一章《三角形的证明及其应用》1.5 角平分线，第1课时。核心
知识点包括：1.角平分线的性质定理2.角平分线的判定定理3.性质与判定的应用及基本作图。
2.内容解析
角平分线是连接“角的大小”与“点到边距离”两类量关系的桥梁。教材先通过回顾定义与作
图活动，使学生直观感受“平分”本质；继而设置探究一，借助垂线与全等三角形证明“性质定理”，
突出“在角平分线上”与“距离相等”双重条件。探究二取逆命题，再次运用直角三角形全等（HL）
完成“判定定理”证明，强化“判—用—逆”的思维范式。随后配合例题、练习，从数值计算、作图
判断到简单模型应用，层层递进，帮助学生完成“从定理到方法”的迁移。两条定理既可证明线段相
等，又可判断射线位置，具有较高的知识价值，是后续学习“内角平分线定理”“圆与垂径定理”等
内容的逻辑前置与工具储备。
1.教学目标
•证明并掌握角平分线的性质定理及判定定理。
•能利用上述定理解决简单实际问题。
•经历探索、猜想、证明的过程，发展推理证明意识与能力。
2.目标解析
•学生能口述并书写两条定理的几何语言及应用条件，能在典型图形中快速判定或求证角平分线。
•通过作垂线、拼接全等三角形等活动，体验“发现—猜想—验证”完整链条，学会在证明中恰当选取
辅助线。
•感受逻辑推理的严谨性，体会数学公理化方法的美感，增强运用几何知识解决实际问题的信心。
3.重点难点
• 教学重点：角平分线性质、判定的证明与表述。
• 教学难点：在复杂图形或实际情境中识别并灵活应用两条定理。
已有基础：学生已掌握角的概念、角平分线定义与作图，能应用全等三角形基本判定。认知特
点：理性思维初步形成，愿意动手实践，但对“从特殊到一般”的逻辑提升与严谨书写仍不熟练。可
能困难：难以区分“在线上”与“到线段的距离”两种关系，易忽视“垂直距离”条件；在应用定理
学科网（北京）股份有限公司时，判断何时需作垂线、何时需证明全等把握不足；逆命题与原命题的差异及其证明方法不够清晰。
教学对策：通过操作实验激活感知；用对比表格明确性质与判定的条件差异；设置分层练习，先“标
准化”书写，再过渡到综合题，循序渐进突破难点。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①角平分线的定义：
从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.
②如图，∵OC是∠AOB的角平分线，
1
∴∠AOC ＝∠BOC= ∠AOB.
2
（或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC）
注意：角平分线是一条射线，而不是直线或线段.
2.情景引入
我们曾经探索过角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流.
【设计意图】借助生活化的“直尺压角”情境，引出“距离相等”这一核心量的观察，为后续性质与
判定定理的学习埋下悬念；同时复习定义，明确学习方向。
探究点1：角平分线的性质
1.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
学科网（北京）股份有限公司证明：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠1=∠2，
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
{
∵ ∠1=∠2，
OP= OP，
∴△PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
2.知识归纳
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离.
(三个条件缺一不可)
几何语言：
∵OP 是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
3.练一练
如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=______.
解：3cm．
学科网（北京）股份有限公司【设计意图】通过“作垂线—证全等—得结论”的链式逻辑，引导学生经历“猜想—作图—验证—总
结”全过程，突破“为什么会相等”这一核心疑惑，培养推理论证能力。
探究点2：角平分线的判定
1.尝试思考
你能写出定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自
己结论的正确性.
解：逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
转化为几何语言
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明:∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E,
∴∠ODP=∠OEP= 90°.
∵PD= PE，OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP ( HL ).
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
2.知识归纳
角平分线的判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
应用条件：
①位置关系：点在角的内部；
②数量关系：该点到角两边的距离相等.
几何语言：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
3.练一练
如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_______.
学科网（北京）股份有限公司解：30°
4.典例分析
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F，且DE=DF，求DE的长.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F，且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等
的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
1 1
∴DE= AD= ×10=5(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).
2 2
例2 如图，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P作PQ⊥AB于点Q，PN⊥BC于N，PM⊥AC于M.
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴PQ=PN，PN=PM，
∴PQ=PM.
∵PQ⊥AB，PM⊥AC，
∴AP平分∠BAC.
【设计意图】让学生自己写出“逆命题”，再用“直角三角形全等”验证其真伪，强化“性质 判
⇌
定”双向思维，解决“如何判断点在角平分线上”难点。
学科网（北京）股份有限公司1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=10cm，BD=6cm，那么点D到直线AB的距离
是（ ）
A．10cm B．6cm C．16cm D．4cm
解：D
2.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD
A
C
P
O D B
解：B
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，
DE=1，则BC=（ ）
A．√3 B．2 C．3 D．√3 +2
解：C
4.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解：B
学科网（北京）股份有限公司5.如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小
明说：“射线OP就是∠AOB的平分线．”这样说的依据是_______.
解：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
6.如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD=3，如果E是射线OB上一点，那么线段
CE长度的最小值是_____．
解：3
7.如图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等.
解：如图所示，点P即为所求.
8.已知:如图所示，P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且
PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.
证明: ∵PD⊥OA，PE⊥OB,
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG，DF=EG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),
∴PD=PE.
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
学科网（北京）股份有限公司【设计意图】 通过“逆向思维”“多元合并”等策略，让学生进一步体会“性质—判定—性质的应
用”的逻辑闭环；典型题目既来自文本，又适当增加开放式探究，力图在“最近发展区”内促生思维
迁移。
主板书 副板书
1.5 角平分线(第一课时） 例题
探究点1 角平分线的性质
探究点2 角平分线的判定 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.5第1，7题。
2.探究性作业：习题1.5第8题。
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