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第 07 讲 二次根式的加减法
课程标准 学习目标
1．理解同类二次根式的定义；
①同类（最简）二次根式的定
2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法；
义 3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运
算；
②掌握二次根式的加减法法则
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识点01 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
分配律，如
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．
知识点02 二次根式的加减
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算：
(1) (2)
知识点03 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
【即学即练3】
1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题．
(1) ； (2) ．
2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型01 同类二次根式的判断
【典例1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【变式3】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
题型02 已知同类二次根式求参数
【典例2】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果 与最简二次根式 是同类二次根式，那
么 ．
【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式 与
可以合并．
【变式2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 ，
．
【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
题型03 二次根式的加减运算
【典例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算
【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期中）计算： ．【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
题型04 二次根式的混合运算
【典例4】（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算：
(1) ； (2) ．
【变式1】（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）计算：
(1) ； (2) ．
【变式2】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简．
(1) ； (2)
(3) (4)
【变式3】（23-24八年级下·山东日照·期末）计算：
(1) (2)
题型05 比较二次根式的大小
【典例5】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小：
（1） 8；
（2） ．【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ．
【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“ ”，“ ”，或“
”）
【变式3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或
“＝”）
题型06 分母有理化
【典例6】（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程：
；
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
【变式1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若 ，求 的
值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【变式3】（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我
们有时会碰上如 、 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（Ⅳ）
(1)请用不同的方法化简
①参照（Ⅲ）式得 ；
②参照（Ⅳ）式得 ；
(2)化简：题型07 已知字母的值，化简求值
【典例7】（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知， ， ，求 的
值．
【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）若 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【变式2】（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知 ，求下列代数式的值
(1) ；
(2) ．
【变式3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知 求下列各式的值：
(1) 和 ；
(2)
题型08 已知条件式，化简求值
【典例8】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ， ，求 的值．
【变式1】（2024·湖南怀化·一模）已知实数 满足 ，求 的值．
【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且 ，求
的值．【变式3】（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求
的值．
题型09 二次根式的应用
【典例9】（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，
给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的
面积 满足公式： ．现已知 的三边长分别为1，3， ，求 的
面积．
【变式1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，
然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料
容器中的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．
【变式2】（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为
和 的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简）
(2)求原长方形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是 ，请说明理
由．
【变式3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运
算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：(1)如图①，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点
C所表示的数为x，求 的值；
(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面
积．
题型10 二次根式中的新定义型问题
【典例10】（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造
“对偶式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求 的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(3)计算： ．
【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“ ”如下：
．如： ．
(1) ______， ______；
(2)已知 ，求 的值．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【变式3】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个
新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 ， 的“如意数” ．
(2)如果 ， ，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数” ．
(3)已知 ，且 ， 的“如意数” ，求 的值．
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·重庆·期中）估计 的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间
3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 和 ，则图中阴影部分的
面积为（ ）A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：
，计算 的结果为（ ）
A． B． C．4 D．32
二、填空题
6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ．
7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
8．（23-24八年级下·重庆江津·期中）若最简二次根式 和 可以合并，则 ．
9．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为 的小数部分，
则输出的数值为 ．
10．（23-24七年级下·重庆·期末）若 ， ，则 的值为
．
三、解答题
11．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算：
(1) (2)
12．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题
(1) (2)
13．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计算：
(1) ；(2) ；
(3) ．
14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子 ， 不是最简结果，我们可以这样进行化
简，如： ， ．这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把 叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
(2)请你尝试化简： ．
15．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）我们规定用 表示-对数对，给出如下定义：记 ，
（ ， ），将 与 称为数对 的一对“对称数对”，例如： 的一对“对称数
对”为 与 ．
(1)数对 的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求x的值；
(3)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求 的值．
16．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．
； ．
验证： ；
．(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______， ______；
(2)通过上述探究，猜想 ______（ ，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
17．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和
中的“ ”去掉于是二次根式除法可以这样解：如 ，
像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)比较大小 _____ 用“ ”、“ ”或“ ”填空 ；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)计算：
18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的
公式，即三角形的三边长分别为 ， ， ，则其中三角形的面积 ．此公式
与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．(1)如图 ，若 的三边长依次为 ， ， ．
利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S；
除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积 ？请写出求解过程；
(2)如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， ，求该四边形的面积．
