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第 07 讲 二次根式的加减法
课程标准 学习目标
1．理解同类二次根式的定义；
①同类（最简）二次根式的定
2．掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法；
义 3．掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运
算；
②掌握二次根式的加减法法则
4.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识点01 同类二次根式
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法
分配律，如
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式
即为同类二次根式．
【详解】解：A、 与 的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
B、 ，化简后不是根式，故不符合题意；
C、 = ，与 的被开方数不同，不是同类二次根式，故不符合题意；
D、 ，符合同类二次根式的定义，与 是同类二次根式，故符合题意．
故选D．
知识点02 二次根式的加减
1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2.二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，
（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
知识点03 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的（或先去掉括号）
【即学即练3】1．（23-24八年级下·河北沧州·期末）计算下列各小题．
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
（1）先把分子化简、合并，再算除法和乘法；
（2）根据混合运算的顺序计算即可．
【详解】（1）
（2）
2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)0
(2)
(3)14
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算．
（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘除法，再算加减法；
（3）根据多项式乘法和完全平方公式计算即可求解；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．题型01 同类二次根式的判断
【典例1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是正确化简二次根式．先进行化简，然后根据同类
二次根式的定义，即可得到答案．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，故不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，故符合题意；
故选：D．
【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被
开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．
【详解】解： ，与 不是同类二次根式，故A选项不合题意；
不能化简，与 不是同类二次根式，故B选项不合题意；
，与 不是同类二次根式，故C选项不合题意；
，与 是同类二次根式，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（2023·广西来宾·一模）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【分析】本题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题需要掌握二次根式的化简法则及同类二
次根式的被开方数相同．将各选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可判
断出答案．
【详解】解：A． ，即 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B． ，即 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C． ，即 和 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D． ， ，即 和 是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式3】（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式．将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根
式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
B、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
C、 与 的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确；
D、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；
故选：C．
题型02 已知同类二次根式求参数
【典例2】（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果 与最简二次根式 是同类二次根式，那
么 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化
简 ，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得 ，解方程即可求
解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】解： ，
∵ 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得，a=2，
故答案为： ．【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式 与
可以合并．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二
次根式，根据同类二次根式的定义可得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：∵ 最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式 与 可以合并，则 ，
．
【答案】 1 1
【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式 与 为同类二次根式，列出方
程组，进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 为同类二次根式，
∴ ，解得： ，
故答案为：1，1
【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若 与最简二次根式 能合并，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能
够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
【详解】解：∵ ，最简二次根式 能与 合并，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
题型03 二次根式的加减运算
【典例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查二次根式的加减运算：
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简各二次根式，再合并即可．
【详解】解：
．
【变式2】（23-24八年级下·广西河池·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，去括号，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
【变式3】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减．
（1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可；
（2）先将各个二次根式化简，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型04 二次根式的混合运算
【典例4】（23-24八年级下·山西太原·单元测试）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，根据二次根式的性质化简二次
根式成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
【变式1】（23-24七年级下·湖北孝感·单元测试）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)5
(2)10
【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简
二次根式，同类二次根式及合并法则是解题关键．
（1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可，
（2）先计算二次根式的乘法、化简绝对值和立方根，然后再算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）．
【变式2】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）化简．
(1) ； (2)
(3) (4)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（ ）利用平方差公式进行计算即可求解；
（ ）先化简，再合并同类二次根式即可；
（ ）先化简，再合并同类二次根式即可；
（ ）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
，
；
（4）解：原式
，
．
【变式3】（23-24八年级下·山东日照·期末）计算：(1) (2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算．
（1）先利用幂的乘方及积的乘方逆用法则计算，零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可；
（2）先计算立方根，分母有理化，负整数幂，化简绝对值，再加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型05 比较二次根式的大小
【典例5】（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小：
（1） 8；
（2） ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较．
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用分子有理化，即可比较大小．
【详解】解：（1） ，
，
∴ ，∴ ，故答案为： ；
（2） ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比
较结果的大小，即可求出答案．
【详解】解： ， ，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·上海·期末）比较大小： ．（填“ ”，“ ”，或“
”）
【答案】
【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数
的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或
“＝”）
【答案】=
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键．
把 分母有理化即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为： ．
题型06 分母有理化
【典例6】（24-25八年级上·全国·课后作业）[核心素养]阅读下面的解答过程：
；
；
……
根据以上解答过程解决下列问题：
(1) ；
(2)试求 的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题是材料阅读题，考查了二次根式的混合运算，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应
用．
（1）根据阅读材料提供的方法即可完成；
（2）对每一项用阅读材料中提供的方法化简再相加即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
【变式1】（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若 ，求 的
值”时，小俊是这样分析与解答的：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ．
请你根据小俊的解答过程，解决如下问题：
(1)化简： ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可；
（2）先将 化简，得出 ，则 ，进而得出 ，得出 ，代入计算即
可．
本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式
和完全平方公式 ．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ，
则 ，
∴
则 ，
∴ ，
【变式2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料：
像 两个含有二次根式的代数式相
乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如， 与 、 与 、 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)计算： ；
(2)计算： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
（1）原式的分子和分母都乘以 解答即可；
（2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：原式
．
【变式3】（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我
们有时会碰上如 、 、 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（Ⅳ）(1)请用不同的方法化简
①参照（Ⅲ）式得 ；
②参照（Ⅳ）式得 ；
(2)化简：
【答案】(1)① ；
②
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可．
（1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可．
（2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可．
【详解】（1）解：① ，
②
（2）
题型07 已知字母的值，化简求值
【典例7】（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算：已知， ， ，求 的
值．
【答案】13
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关
键．
利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】解：．
【变式1】（23-24八年级下·河北承德·期末）若 ， ，求下列各式的值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值．
（1）直接代入求解即可；
（2）求得 和 的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ； ，
∴ ．
【变式2】（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知 ，求下列代数式的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键．
（1）将 代入 中即可求解；
（2）利用完全平方公式得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，∴ ．
【变式3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知 求下列各式的值：
(1) 和 ；
(2)
【答案】(1)6；2
(2)34
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）将 、 的值直接代入求值即可；
（2）将 、 的值代入 ，计算即可．
【详解】（1）
（2）
题型08 已知条件式，化简求值
【典例8】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】先根据 ， ，可判断 ， ，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值
即可．
本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握 是解题的关键．
【详解】 ， ，， ，
∴原式=
．
原式 ．
【变式1】（2024·湖南怀化·一模）已知实数 满足 ，求 的值．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到 ，据此化简二
次根式得到 ，则 ．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若x，y为实数，且 ，求
的值．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y
的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：由题意知 ，
解得： ，
则 ，
∴原式 ．
【变式3】（22-23八年级上·山西运城·期末）若 x，y 为实数，且 ． 求的值．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【详解】解：依题意得： 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被
开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
题型09 二次根式的应用
【典例9】（22-23八年级上·四川凉山·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，
给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的
面积 满足公式： ．现已知 的三边长分别为1，3， ，求 的
面积．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的应用，把 ， ， 的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计
算即可．
【详解】解：将三边直接代入公式可得
.
【变式1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）在一个长为 ，宽为 的长方体塑料容器中装满水，
然后将这个塑料容器内的一部分水倒入一个高为 的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料
容器中的水面下降了 ．求圆柱形玻璃容器的底面半径．【答案】圆柱形玻璃容器的底面半径为
【分析】本题考查二次根式的应用，由题意得，从塑料容器中倒出的水的体积为 ，设圆柱形
玻璃容器的底面半径为r，利用圆柱的体积公式列方程求解即可．
【详解】解：从塑料容器中倒出的水的体积为：
，
设圆柱形玻璃容器的底面半径为r，
根据题意得 ，
解得 ．
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为 ．
【变式2】（23-24八年级上·广东湛江·期末）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为
和 的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简）
(2)求原长方形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是 ，请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
（1）由正方形的面积可得边长分别为 和 ，再对二次根式进行化简即可；
（2）先计算出原矩形木料的长为 ，再根据矩形的面积公式进行计算即可；
（3）剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，再和2进行大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为 ，
大正方形木板的边长为 ，
故答案为： ， ；（2）原长方形木料的长为 ，宽为 ，
，
∴原长方形木料的面积为 ；
（3）不能，理由如下：
根据题意，得剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，
∵ ，
∴这块正方形木板的边长不能为 ．
【变式3】（23-24八年级下·陕西安康·期中）实数与数轴上的点是一一对应的，有理数中的相关概念，运
算法则，运算律同样适合于实数，请根据实数的相关知识，解决下列问题：
(1)如图①，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点
C所表示的数为x，求 的值；
(2)如图②，在一个长方形中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，求图中阴影部分的面
积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴上的两点距离，二次根式混合运算及应用；
（1）由数轴上的两点距离得 ，可得 ，求出 代入计算即可求解；
（2）求出阴影部分的长和宽，由二次根式乘法法则进行计算即可求解；
能熟练进行二次根式混合运算是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点A，B分别表示1， ，
，
， ，
，
解得： ，；
（2）解：根据题意得
阴影部分的长为
（ ）
宽为 ，
∴阴影部分的面积为 （ ）．
题型10 二次根式中的新定义型问题
【典例10】（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．
因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造
“对偶式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
(1)已知： ，求 的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程： ；
(3)计算： ．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，
熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴ ；
（2）解：∵
∴ ，
化简后两边同时平方得： ，
∴ ，
经检验： 是原方程的解；
（3）解：
．
【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“ ”如下：
．如： ．
(1) ______， ______；
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)1，3
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据新定义，列出含有 的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为：1，3；
（2）∵ ，
∴ ，，
，
，
∴ ．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）定义：若两个二次根式a、b满足 ，且c是有理数，则
称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于10的共轭二次根式，则 ；
(2)若 与 是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键．
（1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ，
∴ 且 ，
∴ ．
【变式3】（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数 ， ，按规则 扩充得到一个
新数 ，称所得的新数 为“如意数”．
(1)若 ， ，求出 ， 的“如意数” ．
(2)如果 ， ，求 ， 的“如意数” ，并证明“如意数” ．
(3)已知 ，且 ， 的“如意数” ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，证明见详解
(3)【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式，
（1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c；
（2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定
“如意数”c的大小；
（3）先有理化可得 ，根据题目中所给的运算规则可得
，问题即可得解．
【详解】（1）
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ， ， 的“如意数” ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
一、单选题
1．（23-24八年级下·山东临沂·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的定义，把对应选项的二次根式化为最简二次根式后被开方数为3的二次根式能与 合并，据此求解即可．
【详解】解：A、 能与 合并，不符合题意；
B、 能与 合并，不符合题意；
C、 不能与 合并，符合题意；
D、 能与 合并，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24九年级下·重庆·期中）估计 的值应在（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再
估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键
【详解】解：原式
∵
∴
故选：B.
3．（23-24八年级下·广东东莞·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的减法法则、平方差公式、积的算术平方根、二次根
式的除法进行计算，即可得到答案.
【详解】A. ，故选项中计算错误，不符合题意；
B. ，故选项中计算正确，符合题意；
C. ，故选项中计算错误，不符合题意；
D. ，故选项中计算错误，不符合题意；
故选：B
4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为 和 ，则图中阴影部分的
面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的应用，先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分
的面积即可，解题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ，
故选： ．
5．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）对于任意的正数m，n，定义运算※：
，计算 的结果为（ ）
A． B． C．4 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，
然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键；
直接利用二次根式运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为： ．
7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较 与 的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较 与1的大小即可求解；
（3） ， ，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：① ，
；
故答案为： ；
② ；
；
故答案为： ；
③ ， ，且 ；
；
故答案为： ；
8．（23-24八年级下·重庆江津·期中）若最简二次根式 和 可以合并，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义理解，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关
键．
根据最简二次根式 和 可以合并，得出 和 是同类二次根式，则 ，
求解得出答案即可．
【详解】解：∵最简二次根式 和 可以合并，
∴ 和 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·上海·假期作业）如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为 的小数部分，则输出的数值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：程序所代表的代数式为 ，再由x为 的小数部分，可得到 ，代入
即可求解．本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为 是解题的
关键．
【详解】解：程序所代表的代数式为 ，
∵x为 的小数部分，
∴ ，
当 时，
输出的值为 ．
故答案为： ．
10．（23-24七年级下·重庆·期末）若 ， ，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形求值，根据完全平方公式的变形得出
，再把已知代入求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的运算法则并正确计算是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算题
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用立方根的定义、二次根式的运算法则分别计算，再合并即可求解；
（ ）利用二次根式的性质、完全平方公式及绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
，
，
；
（2）解：原式，
，
．
13．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，关键是熟练掌握计算方法正确进行计算．
（1）先化简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘除法，再算加减法；
（3）根据二次根式乘法和平方差公式计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）
．14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子 ， 不是最简结果，我们可以这样进行化
简，如： ， ．这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把 叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1) 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
(2)请你尝试化简： ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可；
（2）分子分母同乘以 即可得出答案；
本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键．
【详解】（1）解： 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；
（2）解：
．
15．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）我们规定用 表示-对数对，给出如下定义：记 ，
（ ， ），将 与 称为数对 的一对“对称数对”，例如： 的一对“对称数
对”为 与 ．
(1)数对 的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求x的值；(3)若数对 的一对“对称数对”的一个数对是 ，求 的值．
【答案】(1) ； .
(2)
(3)9或
【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入 ， 即可；
（2）由题 ， ，数对 的一对“对称数对”的一个数对是 和 ，可得，
即可得出x的值；
（3）将数对 的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab．
【详解】（1）解：由题意知： ， ，
∴数对 的一对“对称数对”是 和 ．
（2）解：∵数对 的一对“对称数对”是 和 ，
∴ ，
∴ .
（3）解：∵数对 的一对“对称数对”是 和 ，
∴ 或
∴ 或
∴ 或 .
【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键．
16．（23-24八年级下·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程．； ．
验证： ；
．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：
_______， ______；
(2)通过上述探究，猜想 ______（ ，且n为整数），并验证你的结论；
(3)计算：
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键；
（1）根据题中给的例子即可得出答案；
（2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案；
（3）根据（2）中规律计算化简即可；
【详解】（1） ，
，
故答案为： ， ；
（2） ，
验证： ，
故答案为： ；
（3）．
17．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和
中的“ ”去掉于是二次根式除法可以这样解：如 ，
像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根
号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)比较大小 _____ 用“ ”、“ ”或“ ”填空 ；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；
（2）先求得 的值，然后代入即可求解；
（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．
【详解】（1） ，
∵
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．（2） ，
，
，
，
，
；
（3）
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，无理数的大小比较，熟练掌握分母有理化是解题
的关键．
18．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的
公式，即三角形的三边长分别为 ， ， ，则其中三角形的面积 ．此公式
与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设 ，那么其三角形的面积
，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．(1)如图 ，若 的三边长依次为 ， ， ．
利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S；
除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积 ？请写出求解过程；
(2)如图 ，在四边形 中， ， ， ， ， ，求该四边形的面积．
【答案】(1) ； 见解析；
(2) ．
【分析】（ ） 先求出 的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可；
过点 作 于点 ，利用勾股定理即可求解；
（ ）连接 ，由勾股定理得 ，最后由 即可求解；
本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1） 方法一：海伦公式．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
；
方法二：秦九韶公式．
∵ ， ， ，
∴；
如解图 ，过点 作 于点 ，
设 则 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴该四边形的面积为 ．
