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第 06 讲 二次根式的乘除法
课程标准 学习目标
1. 掌握二次根式的乘法法则： ，能利
用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
①二次根式的乘除法
②理解最简二次根式，并会化
2.掌握二次根式的除法法则： ，能利用其
简. 进行计算，并能逆用法则进行化简；
3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运
算，并能将二次函数化为最简形式.
知识点01 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
【即学即练1】
1.（2024·山西太原·二模）计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2.（2024·山西晋城·二模）计算 的结果为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可．
【详解】解： ；
故答案为：3．
知识点02 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
【即学即练2】
1.（2024·山西阳泉·三模）计算： 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．2.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ；
．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运
算法则进行计算即可．
【详解】解： ；
；
．
故答案为： ； ； ．
知识点03 最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
若被开方数中含有带分数，先将被开方
数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成
化去根
分数
号下的
分母 若被开方数时分式，先将分式分母化成
能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
【即学即练3】1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将 化为最简二次根式是 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即
可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
2.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的
性质解答即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
题型01 二次根式的乘法
【典例1】11．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)20
(3)
(4)【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
（4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)12
(2)6 000
(3)10(4)
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题
的关键．
（1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可；
（2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可；
（3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可；
（4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可；
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)12
(2)
(3)10
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简．
（1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可．
（3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可．
（4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）（3）
（4）
【变式3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算： ______， ______，
______， ______．
（2）请按（1）中的规律计算：
① ；
② ．
（3）已知 ，用含a，b的式子表示 ．
【答案】（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5）
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别算出每个算术平方根，再运算乘法，即可作答．
（2）按（1）中的规律，进行运算，即可作答．
（3）因为 ，所以 ，因为 ，所以含a，b的式子表示 ，即
可作答．
【详解】解：（1） ，
，
；
故答案为：12，12，20，20；
（2） ；；
（3）∵ ，
∴
即
∴ ．
题型02 二次根式的除法
【典例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了二次根式的除法．
（1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ， ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可．
【详解】（1） ；
（2） ；（3） ．
【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键．题型03 二次根式的乘除混合运算
【典例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相
乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ．
【详解】解：
【变式1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答．
【详解】解：
．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式
的乘除混合运算法则，即可求解．
【详解】解：原式= = ．
【变式3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
题型04 最简二次根式的判断
【典例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【详解】解：A、 是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键．
根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽
方的数或式；②根号内没有分母．
【详解】A． ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选A．
【变式2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件. 根据最简二次根式的概念：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．
【详解】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项错误；
D、 是最简二次根式，故此选项正确；
故选D．
【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于下列二次根式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则
（ ）
A．小红说的对 B．小亮说的对
C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．
直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答．【详解】解：① ，③ ，④ ，⑥ 是最最简二次根式；② ，⑤ 不是最简二次
根式．
故小红和小亮合在一起对．
故选：C．
题型05 化为最简二次根式
【典例5】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ， ．
【变式1】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】解： ；
．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ．
【答案】 /
【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式．进行计算即可．
【解答】解： ； ．故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ；
（3） ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
【变式4】（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)2 （a，b，c均大于0）．
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接计算得到答案；
（2）直接计算得到答案；
（3）直接计算得到答案；
（4）直接计算得到答案；
（5）直接计算得到答案．
【详解】（1）
故 的最简二次根式为： ；
（2）
故 的最简二次根式为： ；
（3）
故 的最简二次根式为： ；
（4）
故 的最简二次根式为： ；
（5）∵a，b，c均大于0
∴ ．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识．
题型06 已知最简二次根式求参数
【典例6】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知 是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整
数a的值 ．【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当 时， ， 是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
【变式1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整
数值： ．
【答案】10（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行
求解即可．
【详解】解：∵ 是最简二次根式，
∴ 不能开方，不含分母，
∴ 的值可以为2，此时 ；
故答案为：10（答案不唯一）．
【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使 是最简二次根式，则n可以是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】当 时， ，
是最简二次根式，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键．
【变式3】若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【答案】2
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：当 时， ，不是最简二次根式，
当 时， ，是最简二次根式，
∴二次根式 是最简二次根式，最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
题型07 二次根式乘除法中的新定义问题【典例7】（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算*如下：
．如 ，那么 ．
【答案】
【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可；
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应
的法则的掌握．
【变式2】（23-24八年级·全国·假期作业）对于任意两个不相等的实数 ，定义一种新运算“ ”如下：
，如： ．那么 ．
【答案】
【分析】根据新定义，将 ， 代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将 ， 正确代入再化简．
【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且c是有理数，则
称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决：
(1)若 与 是关于6的共轭二次根式，则 _______；
(2)若 与 是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值．
【详解】（1）解：∵a与 是关于6的共轭二次根式，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 与 是关于C的共轭二次根式，
∴ ，
∴ ，
∵C是有理数，
∴ ，
∴解得 ．
【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次
根式的性质进行计算．
【变式3】（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．
则称 与 是关于 的和谐二次根式．
(1)若 与 是关于 的和谐二次根式，求 ；
(2)若 与 是关于 的和谐二次根式，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（ ）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得， ，
∴ ；
（2）解：由题意可得， ，
整理得， ，
∴ ．一、单选题
1．（2024·湖南·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解： ，
故选：D
2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式 ， ， ， ， 中，最简二
次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被
开方数不含分母，进行判断即可．
【详解】解：在二次根式 ， ， ， ， 中，只有 的被开方数不含分母，且
不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式；
故选A．
3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接
利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A． ，故此选项不合题意；
B． ，故此选项不合题意；
C． ，故此选项不合题意；
D． ，故此选项符合题意；
故选：D4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若 （ 为整数），则 等于（ ）
A．7 B．9 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键．
根据完全平方公式展开，即可得出答案
【详解】解： ，
等式左边： ，
∴ ，
∴ ，
故选：C ．
5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式： 应用
运算规律化简 的结果为（ ）
A．2023 B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，
属于中考常考题型．
探究出规律，然后利用规律即可解决问题．
【详解】∵
∴用含 的等式表示为
∴ ．
故选C．
二、填空题
6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法： ，利用此法则直接求解即可．【详解】解： ；
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利
用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 与 是被开方数相同的最简二次根式，
.
【答案】
【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入 计
算求值．
【详解】解：∵ 与 是被开方数相同的最简二次根式，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若 ，
则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式可得 ．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积 ．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在 中，
，则 的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键．代入公式，进行二次根式的
化简即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算：
（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算，即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化；
（2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键．
（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；
（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空： ______ ， ______ （填“ ”、“ ”或“=”）；
（2）若 ， ，求证 ．
【答案】（1）=，=；（2）见解析
【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可；
（2）利用二次根式的性质证明解答即可．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
故 ．
同理可证， ．
故答案为：=，=．
（2）∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）．
16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与
b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与 是关于4的因子二次根式，则 ________________；
(2)若 与 是关于2的因子二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据题意列出式子，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意得 ，
所以
解得
即m的值为 ．
17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于 ，同学们都会化简，如果分母是 的形式，该怎么
办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以 ，从而化去分母中的根号，如
．
根据以上介绍，请你解答下面的问题：
(1)直接写出化简结果① ______，② ______；
(2)化简： ．【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数．
（1）将 的分子和分母都乘以 ， 的分子和分母都乘以 ，计算即可；
（2）将 的分子和分母都乘以 ，计算即可．
【详解】（1）解： ， ；
故答案为： ， ．
（2） ．
18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象： ，这里根号里
的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性
质的数还有许多，如： ， 等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若 （a，b为正整数），则 的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（ ）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【答案】(1)① （答案不唯一）；②
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关
键．
（1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值；
（2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出： ， …（答案不唯一，符合
规律即可）．
②∵ （a，b为正整数），
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：第一个等式为 ，即 ；
第二个等式为 ，即 ；
第三个等式为 ，即 ．
∴用含正整数 的式子表示为： ，
验证如下：
．
