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第 05 讲 二次根式的概念
课程标准 学习目标
1. 掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式．
①二次根式的定义
2. 掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟
②二次根式有无意义的条件
练求值．
知识点01 二次根式
1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根
号．如 都是二次根式。
2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号 ；（2）被开方数必须是非负数.
【即学即练1】1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如 的式子叫做二次根式．
根据二次根式的定义，形如 的式子，判断即可．
【详解】解：A． 是二次根式，故本选项符合题意；
B． 的被开方数是负数 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C． 是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D． 的被开方数 时，该代数式无意义，故本选项不符合题意；
故选：A．
知识点02 二次根式有无意义的条件
1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即
；
2.二次根式无意义：被开方数为负数，即
；
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开
方数不小于 ，依此即可解答．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故选C．
2．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知 ， 则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得 ，结合
题意可得 ， ，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵ ，
∴x与y异号，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
知识点03 二次根式的性质
1.二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 （ ）．
2.二次根式 的性质： （ ）
3.二次根式 的性质：
【即学即练3】
1．（23-24八年级下·吉林·期末）若 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据 可得 ，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
题型01 判断是否为二次根式
【典例1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、 是二次根式，故此选项不合题意；
B、当 时， 不是二次根式，故此选项符合题意；
C、 是二次根式，故此选项不合题意；
D、 是二次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【变式1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握形如 的式子是二次根式解题即可．
【详解】解：A. 是二次根式；
B. 无意义，不是二次根式；
C. 无意义，不是二次根式；
D. ，根指数为 ，不是二次根式；
故选A．【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握式子
叫做二次根式是解题的关键．
【详解】解：A、 ，则 不是二次根式，故不符合题意；
B、 是三次根式，故不符合题意；
C、 ，则 不是二次根式，故不符合题意；
D、 是二次根式，故不符合题意；
故选D．
【变式3】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）要使 在实数范围内有意义，x可以取的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数即可得出答
案．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，
，
故选：D．
【变式4】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．
形如 的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、 中的被开方数 ，故不是二次根式，不符合题意；
B、 中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意；
C、 是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；
D、 是二次根式，符合题意，
故选：D．
题型02 根据二次根式的定义求字母的值
【典例2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知 是整数， 是正整数，则 的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知： ，
，
∵ 是整数， 是正整数，
∴ 或7或8，
，
故选：D．
【变式1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知 是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据 是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
又因为 是整数，
∴ 是完全平方数，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0
的整数是解答本题的关键．
【变式2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若 是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
【详解】∵ 是一个整数,且m是正整数， ,
∴m的最小值为3，此时 的值是整数3.
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是
（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解： ，
∵ 是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
题型03 求二次根式的值
【典例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，先将 代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】当 时，
．
故选：C．
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将 代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当 时，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把 代入原式化简即可．
【详解】解：当 时，原式 ，
故选：B．
【变式3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．2【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，把 代入求值即可．
【详解】解：当 时，二次根式 ，
故选：D．
题型04 根据二次根式有意义条件求范围
【典例4】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件，可得： ，据此求出实数 的取值范围即可．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，
解得： ．
故选：B．
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式被开
方数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ．
故选：B．【变式3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使 有意义的字母 的取值范围（ ）
A．全体实数 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，解得： ；
故选C．
题型05 根据二次根式有意义求值
【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值
成为解题的关键．
先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知 为实数，且 ，则 的值为
．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出 的值，进而得出
的值，进而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足 ，则 的小
数部分是 ．【答案】 /
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得 的值是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求得 的值，然后求出 ，利用无理数的估算求得小数部分．
【详解】解：由题意可得： ，
则 ，
则 ，
，
，
则 的小整数部分是2，小数部分是 ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知 ，则 ．
【答案】25
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用
二次根式有意义的条件进行求解即可；
【详解】解：由题意知： ，
解得： ，
，
，
故答案为：25；
题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式
【典例6】 （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质 化简即可求解，掌握二
次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即 中， ，
∴ 中， ，
∴ ，
故答案为： ．【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）当 时，化简： ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由 得到 ，从而将
化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（2024·四川乐山·模拟预测）已知 的三边分别为 ，化简
．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
首先根据三角形的三边的关系求得 的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【详解】解： 、 、5是三角形的三边，
，
， ，
原式 ．
故答案为：4．
【变式3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所
示：
化简： ．
【答案】
【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题
的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的
正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项．
【详解】解：由图可知： ，且 ，
，故答案为： ．
题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式
【典例7】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式 化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据 ，得出 ，二次根
式的性质化简 ，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简．
【详解】∵ ， ，
∴原式 ，
，
故选： ．
【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
由 的积小于0得到 与 异号，再根据负数没有平方根得到 大于0，进而确定出 小于0，所求式子利
用二次根式的化简公式即可得到结果．
【详解】
解： ， 与 异号，
， ，
，
则 ．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·天津·期中）已知， ，化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化
简得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故 ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】根据题意有： ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
题型08 复杂的复合二次根式化简
【典例8】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料．
把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成
开方，从而使得 化简．
如：
解答问题：
(1)填空： ______， ______．
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据 ，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而
得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对 进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，；
，
；
（2）解：
．
【变式1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个
数 、 ，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 开方，从而使得
化简．
例如， ，
请仿照上例解下列问题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
．
【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答：反之
(1)仿上例，化简： ______， ______．
(2)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】(1) ，
(2) ；理由见解析
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；
（1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可；
（2）由题意知， ，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴
即 ，
∴
【变式3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像 ，这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如： ，
再如： ，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若 ，且 为正整数，求 的值．【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合 、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3）∵
∴ ，
∴ ，，
∴
又∵ 、n为正整数，
∴ ，或者 ，
∴当 时， ；
当 时， ．
∴k的值为： 或 ．
一、单选题
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；形如 是二次根
式，注意二次根式的被开方数是非负数．【详解】解：A、 的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确；
B、 时， 不是二次根式，故B错误；
C、 是三次根式，故C错误；
D、 时， 不是二次根式，故D错误；
故选：A．
2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的
性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案．
【详解】解：依题意有 ，
解得 ．
故选：C．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时， 的值最小（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的的非负性．根据题意可得 ，从而得到当 时，
的值最小，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
当 时， 的值最小，
即 时， 的值最小．
故选：C
4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案．
【详解】解： ，故A选项不正确，符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，先判断a的正负，再根据二次根式的性化简．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
二、填空题
6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，正确求解是解
题的关键．
【详解】解：根据二次根式的性质可知： ，
∵ ，
∴原式 ，
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子 有意义，则x的值为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式，分式有意义的条件，根据代数式的特点可得 且
，再进一步可得答案．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ 且 ，
解得： 且 ；
故答案为： 且
8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若 是整数，则正整数 的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据 ，且 是整数， 是整数，即可得出结果．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是整数，，且 是整数，
∴ 的最小值为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式的化简求值、化简二次根式，将 代入，再利用二次根式
的性质化简计算即可．
【详解】解：将 代入，得：
，
故答案为： ．
10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足 ，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．根据题意可得 ，再
代入 中，利用二次根式计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．三、解答题
11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)x取任意实数
(3) 且
【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键；
（1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围；
（2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围；
（3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围．
【详解】（1） 有意义
，
解得： ，
当 时， 在实数范围内有意义．
（2） 有意义，
无论x为何值， 则 ，
当x取任意实数时， 在实数范围内有意义．
（3） 有意义，
，且 ，
解得： 且 ，
当 且 时， 在实数范围内有意义．
12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若 求 的值．
【答案】【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出 ， 的值是解题关键．直接利用算术平方
根和偶次方的非负数性质得出 ， 的值，进而得出答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，
．
13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义．
（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；
（2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，
解得： ，
∴ ，
则 ， ；
（2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和： ，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为： ，
综上，这个等腰三角形的周长为：
14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1) _______， _______；
(2) _______；(3)化简： ．
【答案】(1) ，c
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，运用数轴判定式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．
（1）先根据数轴信息得出 ，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
（2）同理，得出 ，即 ，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答．
（3）同理得 ，再结合二次根式的性质、绝对值进行化简，即可作答．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
故答案为： ，c；
（2）解：∵
∴
∴ ；
（3）解：∵
∴
．
15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ……
(1)第四个等式为： ；
(2)请用正整数 来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】(1)(2) ；证明见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索；
（1）根据题目规律直接得出答案即可；
（2）由题意得第n个等式为： ，然后根据二次根式的性质化简证明即可；
准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键．
【详解】（1）解：由题意得第四个等式为：
故答案为：
（2）第n个等式：
16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题：
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ，
．
原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 在数轴上的位置如图所示，化简： ．（3）已知 为 的三边长．化简： ．
【答案】（1）1；（2） ；（3）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，
熟练掌握相关法则是解题关键．
（1）仿照例题，利用隐含条件得到 ，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知， ， ，进而得到 ， ，再根据二次根式的性质和绝对值的
意义化简即可；
（3）由三角形的三边关系可知， ， ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1） ，
隐含条件 ，解得： ，
，
原式 ；
（2）由数轴可知， ， ，
，
；
（3）解：由三角形的三边关系可知， ， ，
， ，
．
