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第 06 讲 二次根式的乘除法
课程标准 学习目标
1. 掌握二次根式的乘法法则： ，能利
用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
①二次根式的乘除法
②理解最简二次根式，并会化
2.掌握二次根式的除法法则： ，能利用其
简. 进行计算，并能逆用法则进行化简；
3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运
算，并能将二次函数化为最简形式.
知识点01 二次根式的乘法法则
1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）
2.二次根式的乘法法则的推广:
（1）（2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则
进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.
3.二次根式的乘法法则的逆用： （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平
方根的性质）
4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：
【即学即练1】
1.（2024·山西太原·二模）计算 的结果为 ．
2.（2024·山西晋城·二模）计算 的结果为 ．
知识点02 二次根式的除法法则
1.二次根式的除法法则： （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
2.二次根式的除法法则的推广： .
【即学即练2】
1.（2024·山西阳泉·三模）计算： 的结果为 ．
2.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ；
．
知识点03 最简二次根式
1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2.化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方
若被开方数中含有带分数，先将被开方
数化成假分数
若被开方数中含有小数，先将小数化成
化去根
分数
号下的分母 若被开方数时分式，先将分式分母化成
能转化为平方的形式，再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.
【即学即练3】
1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将 化为最简二次根式是 ．
2.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ．
题型01 二次根式的乘法
【典例1】11．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ；(3) ； (4) ．
【变式3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算： ______， ______，
______， ______．
（2）请按（1）中的规律计算：
① ；
② ．
（3）已知 ，用含a，b的式子表示 ．
题型02 二次根式的除法
【典例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简：
(1) ； (2) ．
【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ， ）．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) (2)
(3) (4)
题型03 二次根式的乘除混合运算
【典例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）计算： ．
【变式1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算： ．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算： ．
【变式3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
题型04 最简二次根式的判断【典例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列根式是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于下列二次根式：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则
（ ）
A．小红说的对 B．小亮说的对
C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对
题型05 化为最简二次根式
【典例5】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ．
【变式1】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ．
【变式2】（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ．
【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简：
(1)
(2)
(3)
【变式4】（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ；
(5)2 （a，b，c均大于0）．
题型06 已知最简二次根式求参数
【典例6】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知 是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整
数a的值 ．
【变式1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整
数值： ．
【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使 是最简二次根式，则n可以是 ．
【变式3】若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
题型07 二次根式乘除法中的新定义问题
【典例7】（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算*如下：
．如 ，那么 ．
【变式2】（23-24八年级·全国·假期作业）对于任意两个不相等的实数 ，定义一种新运算“ ”如下：
，如： ．那么 ．
【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且c是有理数，则
称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决：
(1)若 与 是关于6的共轭二次根式，则 _______；
(2)若 与 是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值．
【变式3】（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数．
则称 与 是关于 的和谐二次根式．(1)若 与 是关于 的和谐二次根式，求 ；
(2)若 与 是关于 的和谐二次根式，求 的值．
一、单选题
1．（2024·湖南·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式 ， ， ， ， 中，最简二
次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若 （ 为整数），则 等于（ ）
A．7 B．9 C．11 D．12
5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式： 应用
运算规律化简 的结果为（ ）
A．2023 B．2024 C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ．
7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知 ， ，则 的值为 ．
8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 与 是被开方数相同的最简二次根式，.
9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若 ，
则 ．
10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那
么这个三角形的面积 ．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在 中，
，则 的面积是 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算：
(1)
(2)
12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空： ______ ， ______ （填“ ”、“ ”
或“=”）；
（2）若 ， ，求证 ．15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ．
16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与
b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与 是关于4的因子二次根式，则 ________________；
(2)若 与 是关于2的因子二次根式，求m的值．
17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于 ，同学们都会化简，如果分母是 的形式，该怎么
办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以 ，从而化去分母中的根号，如
．
根据以上介绍，请你解答下面的问题：
(1)直接写出化简结果① ______，② ______；
(2)化简： ．
18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象： ，这里根号里
的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： ， 等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若 （a，b为正整数），则 的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（ ）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
