文档文本内容
知识点 1：匀变速直线运动的规律及应用
考点一：解决匀变速直线运动的常用方法
【知识思维方法技巧】
（1）解决匀变速直线运动的基本思路：
→→→→
注意：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度 v 的方向为正方向；当
0
v ＝0时，一般以加速度a的方向为正方向．速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取
0
正，相反时取负。
（2）解决匀变速直线运动的常用方法：
题型一：应用基本公式及推论式解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下用两个基本公式可以解决，当遇到以下特殊情况时，用导出公式会提高解题的
速度和准确率：不涉及时间，可用v2－v2＝2ax。不涉及加速度a，可用x＝t，；不涉及末
0
速度v，可用x＝vt＋at2。一般有几个未知量列几个方程，列方程时尽量共用未知量，以减
0
少未知量的使用个数，减少方程数。
【典例1提高题】一质点做匀加速直线运动时，速度变化Δv时发生位移x，紧接着速度变
1
化同样的Δv时发生位移x，则该质点的加速度为( )
2
A．(Δv)2 B．
C．(Δv)2 D．
【典例1提高题】【答案】D
【解析】质点做匀加速直线运动，设质点初速度为 v ，发生位移x 时速度为v ＋Δv，紧接
0 1 0
着发生位移x 时速度为v ＋2Δv，质点的加速度为a；由运动学公式有(v ＋Δv)2－v＝2ax ；
2 0 0 1
(v＋2Δv)2－(v＋Δv)2＝2ax；由以上两式解得a＝，选项D正确。
0 0 2
【典例1提高题对应练习】沿平直轨道匀加速行驶的长度为L的列车，保持加速度不变通
过长为L的桥梁，车头驶上桥头时的速度为v ，车头经过桥尾时的速度为v ，则车尾通过
1 2
桥尾时的速度为( )
A．v·v B. C. D.
1 2
【典例1提高题对应练习】【答案】D
【解析】由匀变速直线运动推论式，v－v＝2aL，v2－v＝2aL，联立解得：v＝，选项D正
学科网（北京）股份有限公司 1确．
题型二：应用平均速度法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用平均速度法。
【典例2提高题】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t ，紧接着通
1
过下一段位移Δx所用的时间为t，则物体运动的加速度为( )
2
A． B． C． D．
【典例2提高题】【答案】A
【解析】匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，即v ＝，v ＝，则a＝
1 2
＝＝。故A正确。
【典例2提高题对应练习】质点在做匀变速直线运动，依次经过A、B、C、D四点。已知
质点经过AB段、BC段和CD段所需的时间分别为t、3t、5t，在AB段和CD段发生的位
移分别为x 和x，则该质点运动的加速度为( )
1 2
A． B． C． D．
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】AB中间时刻的速度v ＝，CD段中间时刻速度v ＝，加速度a＝＝，故B正确，
1 2
A、C、D错误。
题型三：应用位移差法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
（1）连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等即：Δx＝x －x ＝x －x ＝…＝x －x ＝
2 1 3 2 n n－1
aT2.
（2）不相邻相等的时间间隔T内的位移差x －x ＝(m－n)aT2
m n
【典例3提高题】从固定斜面上的O点每隔0.1 s由静止释放一个同样的小球．释放后小球
做匀加速直线运动．某一时刻，拍下小球在斜面滚动的照片，如图所示．测得相邻小球位
置间的距离x ＝4 cm，x ＝8 cm.已知O点与斜面底端的距离为l＝35 cm.由以上数据可以
AB BC
得出( )
A. 小球的加速度大小为12 m/s2 B. 小球在A点的速度为0
C. 斜面上最多有5个小球在滚动 D. 该照片是距A点处小球释放后0.3 s拍摄的
【典例3提高题】【答案】C
【解析】根据Δx＝aT2可得小球的加速度大小为a＝ ＝ m/s2＝4 m/s2，选项A
错误； 小球在B点时的速度大小v ＝ ＝ m/s＝0.6 m/s，小球在A点时的速度
B
大小为v ＝v －aT＝0.6 m/s－4×0.1 m/s＝0.2 m/s，选项B错误；t ＝ ＝ s＝0.05 s，即
A B A
该照片是距A点小球释放后0.05 s拍摄的，选项D错误；当最高点的球刚释放时，最高处
两球之间的距离为x＝ aT2＝ ×4×0.12m＝0.02 m＝2 cm，根据初速度为零的匀加速直线运
1
动的规律可知，各个球之间的距离之比为1∶3∶5∶7∶9…，则各个球之间的距离分别为2 cm,6
学科网（北京）股份有限公司 2cm,10 cm,14 cm,18 cm…，因为O点与斜面底端距离为35 cm，而前5个球之间的距离之和
为32 cm，斜面上最多有5个球，选项C正确．
【典例3提高题对应练习】一质点做匀加速直线运动，位移为x 时，速度的变化量为Δv；
1
紧接着位移为x 时，速度的变化量仍为Δv.则质点的加速度为( )
2
A．(Δv)2(－) B．(Δv)2(＋) C. D.
【典例3提高题对应练习】【答案】C
【解析】在匀变速直线运动中，速度变化Δv所用的时间为t＝，则可知质点通过位移x 和
1
x 过程中所用时间相同，根据Δx＝at2得，x－x＝a·()2，解得a＝，C正确．
2 2 1
题型四：应用比例式法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
初速度为零匀加速直线运动的四个重要比例式：
（1）T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v∶v∶v∶…∶v ＝1∶2∶3∶…∶n.
1 2 3 n
（2）前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x∶x∶x∶…∶x ＝1∶4∶9∶…∶n2.
1 2 3 n
（3）第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为x∶x ∶x ∶…∶x
Ⅰ Ⅱ Ⅲ N
＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
（4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t∶t∶t∶…∶t ＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
1 2 3 n
【典例4提高题】如图所示，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。一小滑块自a点由静止
开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。现让该滑块自b点由静止开始下滑，则
该滑块( )
A. 通过bc、cd段的时间均等于T B. 通过c、d点的速度大小之比为 ∶
C. 通过bc、cd段的时间之比为1∶ D. 通过c点的速度大于通过bd段的平均速
度
【典例4提高题】【答案】D
【解析】由题意知，滑块从a点由静止下滑，经过各段的时间都是T，所以ab、bc、cd各
段的长度之比为1∶3∶5，则bc、cd段的长度之比为3∶5，如果从b点开始由静止下滑，bc段
长度大于ab段长度，所以通过bc、cd段的时间均大于T，选项A错误；设bc段长度为
3x，则cd段长度为5x，所以bd段长度为8x，滑块下滑的加速度为a，滑块从b点开始由
静止下滑，所以通过c点的速度为v＝ ，通过d点的速度为v ＝ ，通过c、d
c d
点的速度大小之比为 ∶ ，选项B错误；滑块从b点开始由静止下滑，通过bc段的时间
t＝ ，通过cd段的时间t＝ － ，通过bc、cd段的时间之比为 ∶(
1 2
－ )，选项C错误；对匀变速直线运动来说，平均速度等于中间时刻的瞬时速度，对
初速度为零的匀加速直线运动来说，连续相等时间内的位移之比为1∶3，所以滑块通过bc
段的时间大于从b到d时间的二分之一，故通过c点的速度大于bd段的平均速度，选项D
正确。
【典例4提高题对应练习】一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3 s内与第6 s
内通过的位移之比为 x∶x ，通过第 3个1 m 与通过第 6个1 m 时的平均速度之比为
1 2
v∶v，则( )
1 2
学科网（北京）股份有限公司 3A.x∶x＝1∶4 B.x∶x＝5∶11
1 2 1 2
C.v∶v＝1∶ D.v∶v＝∶
1 2 1 2
【典例4提高题对应练习】【答案】B
【解析】初速度为0的匀加速直线运动，质点在连续相等时间内通过的位移之比为
x ∶x ∶x ∶…∶x＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故质点第3 s内与第6 s内通过的位移之
Ⅰ Ⅱ Ⅲ n
比为x∶x＝x ∶x ＝5∶11，故A错误，B正确；初速度为0的匀加速直线运动，质点在
1 2 Ⅲ Ⅵ
通过连续相等的位移所用时间之比为t∶t∶t∶…∶t＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，故
1 2 3 n
质点通过第3个1 m与通过第6个1 m时所用时间之比为t∶t＝(－)∶(－)。根据平均速
3 6
度公式v＝，可得质点通过第3个1 m与第6个1 m时的平均速度之比为v∶v＝∶＝
1 2
(＋)∶(＋)，故C、D错误。
题型五：应用逆向思维法解决匀减速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
末速度为零的匀减速直线运动问题常用逆向思维法解题。注意：刹车模型指匀减速到速度
为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。
类型一：刹车模型
【典例5a提高题】一辆汽车以某一速度在郊区的水平路面上行驶，因前方交通事故紧急刹
车而做匀减速直线运动，最后静止，汽车在最初3 s内通过的位移与最后3 s 内通过的位
移之比为x∶x ＝5∶3，汽车运动的加速度大小为a＝5 m/s2，汽车制动的总时间为t，则(
1 2
)
A．t>6 s B．t＝6 s C．4 s<t<6 s D．t＝4 s
【典例5a提高题】【答案】D
【解析】设汽车刹车做匀减速直线运动的加速度大小为a，运动总时间为t，把汽车刹车的
匀减速直线运动看成反向的初速度为 0的匀加速直线运动，则汽车最后3 s内通过的位移
x ＝at＝a，在最初3 s内通过的位移x ＝at2－a(t－3)2＝a(6t－9)，又x∶x ＝5∶3，解得t
2 1 1 2
＝4 s，故A、B、C错误，D正确．
【典例5a提高题对应练习】一辆汽车以40 m/s的速度沿平直公路匀速行驶，突然前方有一
只小狗穿过马路，司机立即刹车，汽车以大小为8 m/s2的加速度做匀减速直线运动，那么
刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为( )
A．7∶25 B．16∶25 C．7∶24 D．2∶3
【典例5a提高题对应练习】【答案】B
【解析】规定初速度方向为正方向，已知初速度 v ＝40 m/s，a＝－8 m/s2，设汽车从刹车
0
到停止所需的时间为t，根据匀变速直线运动速度时间公式有0＝v ＋at得：t＝＝5 s，当t
0 1
＝2 s＜t时，x ＝vt ＋at2＝64 m，当t ＝6 s＞t时，说明6 s内汽车的位移等于汽车从刹车
1 01 1 2
到停止的位移，x＝＝100 m，故x∶x＝16∶25，故B正确，A、C、D错误.
2 1 2
类型二：匀减速到0模型
【典例5b提高题】一物体以某一初速度在粗糙的水平面上做匀减速直线运动，最后静止．
若物体在最初5 s内通过的位移与最后5 s内通过的位移大小之比为x∶x＝11∶5，物体运
1 2
动的加速度大小为a＝1 m/s2，则( )
A. 物体运动的时间可能大于10 s
B. 物体在最初5 s内通过的位移与最后5 s内通过的位移之差为x－x＝15 m
1 2
C. 物体运动的时间为7 s
D. 物体的初速度大小为10 m/s
学科网（北京）股份有限公司 4【典例5b提高题】【答案】B
【解析】把此过程看成逆向初速度为0的匀加速直线运动，设总运动时间为t，x＝ at2＝
2 2
×1×52m＝12.5 m，x＝ at2－ a(t－5 s)2＝(5t－12.5) m， ＝ ，解得t＝8 s，A、C错误；
1
物体在最初5 s内通过的位移与最后5 s内通过的位移之差Δx＝x－x＝5t－25＝15 m，B
1 2
正确；物体的初速度大小v＝at＝8 m/s2，D错误．
【典例5b提高题对应练习】在奥运会上，我国运动健儿摘金夺银，为国争光．其中在
跳水男子3米板决赛中，我国选手谢思埸夺得金牌！在某次比赛中，若将运动员入水
后向下的运动视为匀减速直线运动，该运动过程的时间为8t.设运动员入水后向下过程
中，第一个t时间内的位移大小为x ，最后两个t时间内的总位移大小为x ，则x ∶x
1 2 1 2
为( )
A. 17∶4 B. 13∶4 C. 15∶4 D. 15∶8
【典例5b提高题对应练习】【答案】C
【解析】初速度为零的匀加速直线运动，在第一个t时间内、第二个t时间内、第三个t
时间内……的位移之比x∶x ∶x ∶…＝1∶3∶5∶…，将运动员的运动看作反向的初速度为零
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
的匀加速直线运动，运动员运动总时间为8t，则第一个t时间内的位移可视为初速度为
零的匀加速直线运动中，第八个t时间内的位移；最后两个t时间内的总位移，可视为
初速度为零的匀加速直线运动中，前两个t时间内的位移．故x ∶x ＝15∶(1＋3)＝15∶4，
1 2
故选C.
题型六：应用待定系数法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
由位移x与时间t的关系式可以联想到位移时间关系，利用待定系数法求解。
【典例6提高题】一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v＝2＋t(各物理量均
选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是( )
A．质点可能做匀减速直线运动 B．5 s内质点的位移为35 m
C．质点运动的加速度为1 m/s2 D．质点3 s末的速度为5 m/s
【典例6提高题】【答案】B
【解析】根据平均速度v＝知，x＝vt＝2t＋t2，根据x＝vt＋at2＝2t＋t2知，质点的初速度v
0 0
＝2 m/s，加速度a＝2 m/s2，质点做匀加速直线运动，故A、C错误；5 s内质点的位移x
＝vt＋at2＝2×5 m＋×2×25 m＝35 m，故B正确；质点在3 s末的速度v＝v ＋at＝2 m/s
0 0
＋2×3 m/s＝8 m/s，故D错误．
【典例6提高题对应练习】质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x=5t+t2（各物理量
均采用国际单位制单位），则该质点（ ）
A. 第1s内的位移是5m B. 前2s内的平均速度是6m/s
C. 任意相邻的1s 内位移差都是1m D. 任意1s内的速度增量都是2m/s
【典例6提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据质点直线运动的位移与时间的关系式x=5t+t2可知，质点做匀加速直线运动，
初速度为5m/s，加速度为2m/s2，在第1s内的位移是x=6m，选项A错误，前2s内的平均
速度为7m/s，选项B错误，因为是匀变速直线运动，任意相邻的1s内的位移差都是2m，
选项C错误，任意1s内的速度增量实质就是指加速度大小，选项D正确。
学科网（北京）股份有限公司 5题型七：应用等效转换法解决线状物体的匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
在涉及不能视为质点的研究对象问题时，应用“等效转化”的思想方法转换研究对象，将
线状物体的运动转化为质点运动。如求列车通过某个路标的时间，可转化为车尾(质点)通
过与列车等长的位移所经历的时间。
类型一：匀加速直线运动模型
【典例7a提高题】一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的
站台上观察，第1节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，
每节车厢长度相等，求：
（1）这列火车共有多少节车厢？
（2）第9节车厢通过他所用时间为多少？
【典例7a提高题】【答案】(1)16 (2)0.34 s
【解析】(1)以火车为参考系，人做初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加
速直线运动的物体，连续通过相等位移所用时间之比为：1∶(－1)∶(－)∶…(－－1)，＝
＝，所以＝，n＝16.故这列火车共有16节车厢．
(2)设第9节车厢通过他所用时间为t，则＝，t＝(－)t＝(6－4) s＝0.34 s.
9 9 1
【典例7a提高题对应练习】已知商场中的无轨小火车由若干节相同的车厢组成，车厢间的
空隙不计，现有一位小朋友站在地面上保持静止与第一节车厢头部对齐，火车从静止开始
启动做匀加速直线运动，下列说法正确的是( )
A. 第4、5、6节车厢经过小朋友的时间之比为2∶ ∶
B. 第4、5、6节车厢经过小朋友的时间之比为7∶9∶11
C. 第4、5、6节车厢尾通过小朋友瞬间的速度大小之比为4∶5∶6
D. 第4、5、6节车厢尾通过小朋友瞬间的速度大小之比为2∶ ∶
【典例7a提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据初速度为零的匀加速运动通过连续相等位移的时间关系可知，第1、2、3、
4、5、6……节车厢经过小朋友的时间之比为1∶( －1)∶( － )∶(2－ )∶( －2)∶( －
)∶…，即第4、5、6节车厢经过小朋友的时间之比为(2－ )∶( －2)∶( － )，选项
A、B错误；根据v2＝2aL可得第4、5、6节车厢尾通过小朋友瞬间的速度大小之比为
∶ ∶ ＝2∶ ∶ ，选项C错误，D正确．
类型二：匀减速直线运动模型
【典例7b提高题】一名观察者站在站台边，火车进站从他身边经过，火车共10节车厢，
当第10节车厢完全经过他身边时，火车刚好停下．设火车做匀减速直线运动且每节车厢长
度相同，则第8节和第9节车厢从他身边经过所用时间的比值为( )
A．∶ B．∶ C．(－1)∶(－) D．(－)∶(－1)
【典例7b提高题】【答案】D
【解析】以火车为参考系，人做反方向末速度为零的匀减速直线运动，再运用逆向思维，
将人的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动；根据初速度为零的匀加速直线运动
相同位移的时间比可知选项D正确．
【典例7b提高题对应练习】某辆列车进站时，站在月台上静止不动的工作人员发现列车通
过自己的时间为t，列车停止时自己刚好与车尾末端平齐。已知列车共有30节车厢(含车头、
车尾)，每节车厢长度相同，把列车进站过程的运动视为匀减速直线运动，则第25节车厢
学科网（北京）股份有限公司 6通过该工作人员所用的时间可表示为( )
A. t B. t C. t D. t
【典例7b提高题对应练习】【答案】B
【解析】设每节车厢长度为L，列车的加速度大小为a，将列车的匀减速运动逆向看作是反
向的初速度为零且加速度大小不变的匀加速运动，则30L＝ at2，设第25～30节车厢通过
该工作人员的时间为t，第26～30节车厢通过该工作人员的时间为t，则6L＝ at2,5L＝
1 2 1
at2，第25节车厢通过该工作人员所用的时间为Δt＝t－t，解得Δt＝ t，B正确。
2 1 2
考点二：自由落体运动
题型一：单物体自由下落的问题
【知识思维方法技巧】
求解自由落体运动的两点注意：
（1）要充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
①从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…
②从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
③连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2.
（2）物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是
自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决
此类问题．
类型一：单个物体自由落体运动模型
【典例1a提高题】物体从某高处自由下落，下落过程中经过一个高为5 m的窗户，窗户的
上边缘距释放点为20 m，已知它在落地前1 s内共下落45 m，g＝10 m/s2，物体可视为质
点，下列说法中正确的是( )
A. 物体落地前2 s内共下落80 m
B. 物体落地时速度为45 m/s
C. 物体下落后第1 s内、第2 s内、第3 s内，每段位移大小之比为1∶2∶3
D. 物体经过窗户所用的时间为( － ) s
【典例1a提高题】【答案】A
【解析】设下落时间为t，最后1 s内的位移可以表示为x＝ gt2－ g(t－1)2＝45 m，解得t
＝5 s，根据自由落体运动规律：落地前2 s内共下落的总高度为h＝ gt2－ g(t－2)2＝
×10×52m－ ×10×(5－2)2m＝80 m，故A正确；根据速度与时间的关系可知落地的速度为v
＝gt＝10×5 m/s＝50 m/s，故B错误；自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以
在连续相等的时间内，即下落后第1 s内、第2 s内、第3 s内，每段位移大小之比为
1∶3∶5，故C错误；设物体到达窗户的上边缘的时间为t，则h＝ gt2，可得t＝ ＝
1 1 1 1
s＝2 s，设物体到达窗户的下边缘的时间为t，则t＝ ＝ s＝
2 2
学科网（北京）股份有限公司 7s，所以物体经过窗户所用的时间为Δt＝t－t＝( －2) s，故D错误．
2 1
【典例1a提高题对应练习】苹果从某一高度静止释放，已知落地前倒数第二秒内的位移是
10m，苹果的运动视作自由落体运动，重力加速度为10m/s2，则苹果释放的高度为
（ ）
A．45m B．36.75m C．31.25m D．11.25m
【典例1a提高题对应练习】【答案】C
【解析】设最后一秒内的位移为 ，由运动学公式 有 得最后一秒内
的位移为 ，所以高度为 故选C。
类型二：长度不能忽略的单个物体自由落体运动模型
【知识思维方法技巧】
杆过观察点时间问题的处理技巧：要充分利用初速度为0的特点解题。
设杆长L，杆的下端到观察点的距离为h
√2h
t =
1 g
①杆下端下落到观察点的时间
√2(L+h)
t =
2 g
②杆上端下落到观察点的时间
√2(L+h) √2h
Δt= −
g g
所以整杆通过观察点的时间
③
【典例1b提高题】如图所示木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下
(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方 20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10
m/s2，求：
（1）木杆经过圆筒的上端A所用的时间t 是多少？
1
（2）木杆通过圆筒AB所用的时间t 是多少？
2
【典例1b提高题】【答案】(1)s (2)s
【解析】(1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端 A用时t ＝ ＝
下A
s＝ s，木杆的上端到达圆筒上端A用时t ＝ ＝ s＝2 s
上A
则木杆通过圆筒上端A所用的时间t ＝t －t ＝s。(2)木杆的下端到达圆筒上端A用时t
1 上A 下A
＝ ＝ s＝ s，木杆的上端离开圆筒下端B用时t ＝ ＝ s＝ s，则木杆通过圆筒所用
下A 上B
的时间t＝t －t ＝s。
2 上B 下A
学科网（北京）股份有限公司 8【典例1b提高题对应练习】如图所示木杆长L，上端悬挂在某一点，由静止放开后让它自
由落下（不计空气阻力），木杆通过悬点正下方2L处的圆筒AB，圆筒AB长为3.5L，重
力加速度为g，则木杆被圆筒AB完全挡住的时间为（ ）
A． B． C． D．
【典例1b提高题对应练习】【答案】A
【解析】当木杆上端到达A点时 当下端到达B点时 被挡住
的时间 解得 故选A。
题型二：多物体自由下落的问题
类型一：不等高同时下落模型
【典例2a提高题】在轻绳的两端各拴一个小球，一个人用手拿着绳子上端的小球，站在三
层楼的阳台上，释放小球，使小球自由下落，两小球相继落地的时间差为 Δt，如果人站在
四层楼的阳台上，同样的方法释放小球，让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将(
)
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法确定
【典例2a提高题】【答案】B
【解析】设两球分别为球a和球b，如图所示．无论是从3层还是4层阳台上自由下落，两
小球落地前，两球的距离差始终为绳长，则人站在4层阳台上放手后，a球在b球落地瞬间
的瞬时速度及之后a球下落绳长距离内的平均速度均比在3层阳台释放时大，而位移相同，
则时间差变小，B正确．
【典例2a提高题对应练习】如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a
球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a
球，两球落地的时间差t，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 9A．b球下落的时间大于 B．a球下落的时间小于
C．重力加速度 D．b球落地前a球的加速度比b球大
【典例2a提高题对应练习】【答案】C
【解析】某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公
式可得 则b球下落的时间为 ，A错误；a球下落的时间为 ，
B错误；两球落地的时间差为t，则 故重力加速度为
,b球落地前两球做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相
等，D错误。故选C。
类型二：不等高不同时下落模型
【典例2b提高题】如图所示，在地面上一盘子C的上方A处有一金属小球a距C为20
m，在B处有另一个金属小球b距C为15 m，小球a比小球b提前1 s由静止释放。g
取10 m/s2，不计空气阻力，则( )
A. b先落入C盘中，两球不可能在下落过程中相遇
B. a先落入C盘中，a、b下落过程中的相遇点在BC之间某位置
C. a、b两小球同时落入C盘
D. a、b两小球的相遇点恰好在B处
【典例2b提高题】【答案】D
【解析】a比b提前1 s释放，a在1 s内下落的位移为h ＝ gt 2＝ ×10×12m＝5 m，因
1 1
为a在b上方5 m处，故a到B处时b才开始释放，即a、b两小球相遇点恰好在B处，
由于在B点相遇时a初速度大于零，b的初速度为零，故a先落入C盘中，选项D正确。
【典例2b提高题对应练习】如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面
高度分别h∶h∶h ＝3∶2∶1.若先后顺次静止释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，
1 2 3
不计空气阻力，则下列说法不正确的是( )
学科网（北京）股份有限公司 10A．三者到达桌面时的速度之比是 ∶∶1
B．三者运动的平均速度之比是 ∶∶1
C．b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差
【典例2b提高题对应练习】【答案】D
【解析】三球做自由落体运动，由公式v2＝2gh可得v＝，所以三者到达桌面时的速度之比
是∶∶＝∶∶1，A正确；三者都做匀变速直线运动，初速度为零，所以平均速度＝，故平
均速度之比为∶∶＝∶∶1，B正确；根据h＝gt2可得a、b开始下落的时间差为Δt ＝ －
1
＝(－) ，b、c开始下落的时间差为Δt＝ － ＝(－1) ，所以Δt<Δt，C正确，D错误．
2 1 2
考点三：竖直上抛运动和类竖直上抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）竖直上抛运动的两种研究方法：
分段法 将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段
将全过程视为初速度为v ，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量
0
全程法 的矢量性．习惯上取v 的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，
0
物体正在下降；h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方
（2）竖直上抛运动的主要特性：
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向
对称性
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
多解性
形成多解，在解决问题时要注意这个特性
题型一：解决竖直上抛运动常用的方法
类型一：应用逆向思维对称法法求解竖直上抛运动
【典例1a提高题】在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重
力加速度g值，g值可由实验精确测得，近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，
它是将测g转变为测长度和时间，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O
点上抛小球又落到原处的时间记为T，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离
2
开P点到又回到P点所用的时间记为T，测得T、T 和H，可求得g等于( )
1 1 2
A. B. C. D.
【典例1a提高题】【答案】A
【解析】根据竖直上抛运动的对称性，有 g( T)2－ g( T)2＝H，解得g＝ ，故选
2 1
A.
【典例1a提高题对应练习】从地面上将一个小球竖直上抛，经t时间小球经过空中的某点
A，再经过t时间小球又经过A点．不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球抛出时的速率为2gt B．小球抛出时的速率为gt
C．小球上升的最大高度为gt2 D．A点的高度为gt2
学科网（北京）股份有限公司 11【典例1a提高题对应练习】【答案】B
【解析】由竖直上抛运动的对称性知，小球从抛出至最高点用时t，则初速度v ＝gt，A错
0
误，B正确；小球上升的最大高度h＝＝，C错误；A点的高度h ＝vt－gt2＝gt2，D错
A 0
误．
类型二：应用全程法求解竖直上抛运动
【典例1b提高题】以10 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的
时间间隔为1.2 s，则小树高约为(忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A．1.2 m B．2.4 m C．3.2 m D．4.2 m
【典例1b提高题】【答案】C
【解析】设树的高度为h，石子从开始运动到第一次到达树的顶端的时间为t，选取向上为
正方向 ，石子下落得过程中经过树的顶端时，
联立可得h=3.2m，故C正确，ABD错误。故选C。
【典例1b提高题对应练习】一个气球正以速度v匀速上升，某时刻和气球在同一高度处竖
直向上抛出一个小球，当小球上升到最高点时，气球和小球恰又处在同一高度处，重力加
速度为g，则两球上升过程相距的最大距离为( )
A． B． C． D．
【典例1b提高题】对应练习【答案】C
【解析】设小球上抛的初速度为v，由 ，可知小球到最高点上升的高度为
0
所经过的时间为 ，由题意知，两球经过相同时间上升相同高度，则有 ，联
立解得 ，即小球上抛的初速度为气球速度的两倍。由于小球的初速度较大，当小
球速度减为与气球速度相等时，两球相距的距离最大，即小球的速度从v 减为v，经历的
0
时间为 ，此时小球上升的距离为 ，气球上升的距离为
，故两球上升过程相距的最大距离为 故选C。
题型二：类竖直上抛运动（双向运动）的特点及处理方法
【知识思维方法技巧】
如果质点作匀减速到速度为零后仍能以原加速度反向匀加速运动，全过程加速度大小、方
向均不变，故求解时可看成类竖直上抛运动，对全过程列式，但必须注意 x、v、a等矢量
的正负号及物理意义。
类型一：水平式双向运动类问题
【典例2a提高题】一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大
小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确
学科网（北京）股份有限公司 12的是( )
A．这段时间内质点运动方向不变 B．这段时间为
C．这段时间的路程为 D．再经过相同时间质点速度大小为3v
【典例2a提高题】【答案】B
【解析】由题意知，质点做匀减速直线运动，速度减小到零后，再返回做匀加速运动，即
在这段时间内运动方向改变，如图所示选项A错误；由v＝v ＋at得－2v＝v－at，这段时
0
间t＝，选项B正确；由v2－v2＝2ax得，由初速度为v减速到零所通过的路程s ＝，然后
0 1
反向加速到2v所通过的路程s ＝＝，总路程为s＝s ＋s ＝，选项C错误；再经过相同时间，
2 1 2
质点速度v′＝v－a·2t＝－5v，即速度大小为5v，选项D错误。
类型二：斜面式双向运动类问题
【典例2b提高题】（多选）在足够长的光滑固定斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿
斜面向上运动，物体的加速度大小始终为5 m/s2、方向沿斜面向下，当物体的位移大小为
7.5 m时，下列说法正确的是( )
A．物体运动时间可能为1 s B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋) s D．物体此时的速度大小一定为5 m/s
【典例2b提高题】【答案】ABC
【解析】以沿斜面向上为正方向，a＝－5 m/s2，当物体的位移为沿斜面向上7.5 m时，x＝
7.5 m，由运动学公式x＝vt＋at2，解得t ＝3 s或t ＝1 s，故A、B正确．当物体的位移为
0 1 2
沿斜面向下7.5 m时，x＝－7.5 m，由x＝vt＋at2解得：t ＝(2＋) s或t ＝(2－) s(舍去)，故
0 3 4
C正确．由速度公式v＝v＋at，解得v＝－5 m/s或v＝5 m/s、v＝－5 m/s，故D错误．
0 1 2 3
【典例2b提高题对应练习】（多选）一物体以5 m/s的初速度在光滑斜面上向上做匀减速
运动，其加速度大小为2 m/s2，设斜面足够长，经过时间t物体的位移大小为4 m，则时间
t可能为( )
A．1 s B．3 s C．4 s D． s
【典例2b提高题对应练习】ACD
【解析】以沿斜面向上为正方向，当物体的位移为 4 m时，根据x＝vt＋at2得4＝5t－
0
×2t2，解得t ＝1 s，t ＝4 s。当物体的位移为－4 m时，根据x＝vt＋at2得，－4＝5t－
1 2 0
×2t2，解得t＝ s，故A、C、D正确，B错误
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类型三：竖直式双向运动类问题
【典例2c提高题】假设某次深海探测活动中，“蛟龙号”完成海底科考任务后竖直上浮，
从上浮速度为v时开始匀减速并计时，经过时间t，“蛟龙号”上浮到海面，速度恰好减为
零，则“蛟龙号”在t（t<t）时刻距离海面的深度为( )
0 0
A．vt(1－) B． C． D．
0
【典例2c提高题】【答案】B
【解析】“蛟龙号”上浮时的加速度大小为：a＝，根据逆向思维，可知“蛟龙号”在t 时
0
刻距离海面的深度为：h＝a(t－t)2＝××(t－t)2＝，故选B.
0 0
学科网（北京）股份有限公司 13
