文档内容
知识点 1：匀变速直线运动的规律及应用
考点一：解决匀变速直线运动的常用方法
【知识思维方法技巧】
1
（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v t+ at2。
0
2
公式的推导：
①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够
小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，
其误差也非常小，如图所示。
②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间 t内的平均速度就等
v +v
于时间t内的初速度v 和末速度v的平均值，即v= 0 t．结合公式x＝vt和v＝v+at可
0 t
2
1
导出位移公式：x＝v t+ at2
0
2
（2）匀变速直线运动中的平均速度
1 2v +at
在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度v ＝v +a× t= 0
t/2 0 2 2
，该段时间的末速度v＝v+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加
t
1
v t+ at2 1 2v +at v +v +at v +v
工可得 x 0 2 v + at= 0 = 0 0 = 0 t =v 。
v= = = 0 2 2 2 2 t/2
t t
v +v
即有：v= 0 t =v 。
t/2
2
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度
又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
（3）匀变速直线运动推论公式：
1
学科网（北京）股份有限公司任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x ﹣x ＝aT2．拓展：△x ＝
2 1 MN
x ﹣x ＝（M﹣N）aT2。
M N
推导：如图所示，x 、x 为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。
1 2
1
x =v T− aT2}
1 C 2
⇒△x=x −x =aT2
1 2 1
x =v T+ aT2
2 C 2
（4）解决匀变速直线运动的基本思路：
→→→→
注意：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度 v 的方向为正方向；当
0
v ＝0时，一般以加速度a的方向为正方向．速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取
0
正，相反时取负。
（5）解决匀变速直线运动的常用方法：
题型一：应用基本公式及推论式解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下用两个基本公式可以解决，当遇到以下特殊情况时，用导出公式会提高解题的
速度和准确率：不涉及时间，可用v2－v2＝2ax。不涉及加速度a，可用x＝t，；不涉及末
0
速度v，可用x＝vt＋at2。一般有几个未知量列几个方程，列方程时尽量共用未知量，以减
0
少未知量的使用个数，减少方程数。
【典例1基础题】（多选）如图所示，直线MN表示一条平直公路，汽车以初速度 v ＝2
0
m/s，加速度a＝2 m/s2由A向C做匀加速直线运动，在到达C点前1 s内，所驶过的距离
BC为L，其中L为A、C间的距离，下列判断正确的是( )
A．平直公路AC长为21 m B．平直公路BC长为7 m
C．汽车由A向C运动的时间为4 s D．汽车到达C点的速度大小是8 m/s
2
学科网（北京）股份有限公司【典例1基础题】【答案】BD
【解析】已知a＝2 m/s2，v ＝2 m/s，设从A到B的时间为t，根据运动学公式：＝v×1 s＋
0 1
a×(1 s)2，v ＝v ＋at，＝vt＋at2，联立解得t＝2 s，L＝15 m，平直公路AC长15 m，平直
1 0 0
公路BC长为7 m，故选项A错误，B正确；汽车由A向C运动的时间为t′＝t＋1 s＝3 s，
选项C错误；汽车到达C点的速度大小是v＝v＋at′＝8 m/s，故选项D正确。
0
【典例1基础题对应练习】“歼－15”舰载机在“山东舰”航母上舰尾降落滑行的过程可以
简化为沿水平方向的匀减速直线运动，且舰载机滑行方向与航母运动方向在同一直线上。
第一次试验时，航母静止，舰载机滑上跑道时的速度为 80 m/s，刚好安全停在甲板上；第
二次试验时，航母以20 m/s速度匀速航行，若两次在跑道上滑行过程中的加速度相同，已
知跑道长为160 m。求第二次舰载机安全降落在航母上的最大速度。
【典例1基础题对应练习】【答案】100 m/s
【解析】第一次试验时，航母静止，根据速度与位移关系式可知 0－v＝2aL，解得匀减速
直线运动的加速度为a＝－20 m/s2，第二次当航母匀速运动时，设舰载机安全降落在航母
上的最大速度为v，设舰载机运动的位移为x，则有v2－v＝2ax，舰载机运动的时间为t＝
1 1 1
航母匀速运动的位移x＝vt，根据题意则有x－x＝L联立解得v＝100 m/s。
2 1 2 1
题型二：应用平均速度法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用平均速度法。
【典例2基础题】物体从A点开始做匀变速直线运动，由A到B用时6 s，由B到C用时2
s，AB＝BC＝12 m，则物体的加速度大小为( )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．4 m/s2
【典例2基础题】【答案】A
【解析】AB段平均速度为v ＝＝ m/s＝2 m/s，BC段平均速度为v ＝＝ m/s＝6 m/s，匀
AB BC
变速直线运动中，根据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度知，两
个中间时刻的时间间隔为Δt＝3 s＋1 s＝4 s，加速度大小为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A正确，
B、C、D错误。
【典例2基础题对应练习】中国自主研发的“暗剑”无人机，时速可超过2马赫．在某次
试飞中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距
离，用时分别为2 s和1 s，则无人机的加速度大小是( )
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
【典例2基础题对应练习】【答案】B
【解析】第一段的平均速度 v ＝＝ m/s＝60 m/s；第二段的平均速度 v ＝＝ m/s＝120
1 2
m/s，中间时刻的速度等于平均速度，则a＝＝ m/s2＝40 m/s2，故B正确．
题型三：应用位移差法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
（1）连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等即：Δx＝x －x ＝x －x ＝…＝x －x ＝
2 1 3 2 n n－1
aT2.
（2）不相邻相等的时间间隔T内的位移差x －x ＝(m－n)aT2
m n
3
学科网（北京）股份有限公司【典例3基础题】（多选）物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的
位移之差是8 m，则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为4 m/s2 B．第2 s内的位移为6 m
C．第2 s末的速度为2 m/s D．物体在0～5 s内的平均速度为10 m/s
【典例3基础题】ABD
【解析】根据位移差公式x －x ＝2aT2，得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A正确；第2 s内的位
Ⅳ Ⅱ
移为：x －x ＝at2－at2＝×4×(22－12) m＝6 m，故B正确；第2秒末速度为v＝at ＝4×2
2 1 2 1 2
m/s＝8 m/s，故C错误；物体在0～5 s内的平均速度＝＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确．
【典例3基础题对应练习】一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，
物体在第1个T内位移为20 m，第2个T时间末速度为40 m/s，则( )
A. 时间间隔T＝2 s B. 物体的加速度a＝5 m/s2
C. 物体在前2T时间内的位移是40 m D. 物体在第1 s末的速度是20 m/s
【典例3基础题对应练习】【答案】A
【解析】根据物体在第1个T内位移为x ＝ aT2＝20 m，第2个T时间末速度为v ＝
1 2
a·2T＝40 m/s，联立解得T＝2 s，a＝10 m/s2，所以A正确，B错误；物体在前2T时间
内的位移是x ＝ a(2T)2＝80 m，所以C错误；物体在第1 s末的速度是v ＝at＝10×1
2 1
m/s＝10 m/s，所以D错误．
题型四：应用比例式法解决匀变速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
初速度为零匀加速直线运动的四个重要比例式：
（1）T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v∶v∶v∶…∶v ＝1∶2∶3∶…∶n.
1 2 3 n
（2）前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x∶x∶x∶…∶x ＝1∶4∶9∶…∶n2.
1 2 3 n
（3）第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为x∶x ∶x ∶…∶x
Ⅰ Ⅱ Ⅲ N
＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
（4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t∶t∶t∶…∶t ＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
1 2 3 n
【典例4基础题】一个物体从静止开始做匀加速直线运动．它在第1 s内与第2 s内的位移
之比为x∶x ，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v∶v.以下说法正确的是(
1 2 1 2
)
A．x∶x＝1∶3，v∶v＝1∶2 B．x∶x＝1∶3，v∶v＝1∶
1 2 1 2 1 2 1 2
C．x∶x＝1∶4，v∶v＝1∶2 D．x∶x＝1∶4，v∶v＝1∶
1 2 1 2 1 2 1 2
【典例4基础题】【答案】B
【解析】由x ∶x ∶x ∶…∶x ＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)知x∶x ＝1∶3，由x＝at2知t∶t ＝
Ⅰ Ⅱ Ⅲ n 1 2 1 2
1∶，又v＝at可得v∶v＝1∶，B正确．
1 2
【典例4基础题对应练习】（多选）如图所示，光滑斜面上的四段距离相等，质点从O点
由静止开始下滑，做匀加速直线运动，先后通过a、b、c、d，下列说法正确的是( )
4
学科网（北京）股份有限公司A．质点由O到达各点的时间之比t∶t∶t∶t＝1∶∶∶2
a b c d
B．质点通过各点的速率之比v∶v∶v∶v＝1∶∶∶2
a b c d
C．质点在斜面上运动的平均速度v＝v
b
D．质点在斜面上运动的平均速度v＝
【典例4基础题对应练习】【答案】AB
【解析】根据x＝at2，得t＝，Oa、Ob、Oc、Od的距离之比为1∶2∶3∶4，所以质点由O
到达各点的时间之比为1∶∶∶2，故A正确．根据v2＝2ax，v＝，Oa、Ob、Oc、Od的距
离之比为1∶2∶3∶4，所以质点通过各点的速率之比v∶v∶v∶v ＝1∶∶∶2，故B正
a b c d
确．初速度为0的匀加速直线运动中，在最初相等的时间内通过的位移之比为1∶3，可知
v ≠v
t b
a点是Od的中间时刻，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则 v＝ 2 ，
故C错误．v＝＝，即在斜面上运动的平均速度v＝，
题型五：应用逆向思维法解决匀减速直线运动问题
【知识思维方法技巧】
末速度为零的匀减速直线运动问题常用逆向思维法解题。注意：刹车模型指匀减速到速度
为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间。
类型一：刹车模型
【典例5a基础题】若飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆时的速度为
60 m/s，则它着陆后12 s内滑行的距离是( )
A．288 m B．300 m C．150 m D．144 m
【典例5a基础题】【答案】B
【解析】设飞机着陆后到停止所用时间为t，由v＝v ＋at，得t＝＝ s＝10 s，由此可知飞
0
机在12 s内不是始终做匀减速直线运动，它在最后2 s内是静止的，故它着陆后12 s内滑
行的距离为x＝vt＋＝60×10 m＋ m＝300 m.
0
【典例5a基础题对应练习】汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度
大小为5 m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，经过2 s与5 s汽车的位移大小之比为( )
A. 5∶4 B. 4∶5 C. 3∶4 D. 4∶3
【典例5a基础题对应练习】【答案】C
【解析】汽车速度减为零的时间为：t＝ ＝ s＝4 s，2 s时位移大小：x＝vt＋ at2
0 1 0
＝20×2 m－ ×5×4 m＝30 m，刹车5 s内的位移等于刹车4 s内的位移，为：x＝ ＝
2
40 m，所以经过2 s与5 s汽车的位移大小之比为3∶4，故选项C正确．
类型二：匀减速到0模型
【典例5b基础题】如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一子弹以水平速度
v 射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为
0
零，下列说法正确的是( )
A. 子弹从O运动到D全过程的平均速度等于B点的瞬时速度
5
学科网（北京）股份有限公司B. 子弹通过每一部分时，其速度变化量v －v ＝v －v ＝v －v ＝v －v 相同
A O B A C B D C
C. 子弹到达各点的速率v ∶v ∶v ∶v ＝2∶ ∶ ∶1
O A B C
D. 子弹从进入每个木块至到达各点经历的时间t ∶t ∶t ∶t ＝1∶ ∶ ∶2
A B C D
【典例5b基础题】【答案】C
【解析】初速度为零的匀加速直线运动，相等时间位移比为1∶3，故C是中间时刻，故根据
可逆思想得子弹从O运动到D全过程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即C点的瞬时
速度，故A错误；初速度为零的匀加速直线运动，通过相同位移所用时间比为1∶( －1)∶(
－ )∶(2－ )，可知穿过每一个木块所用时间不同；由Δv＝at可知，穿过每一个木块的
速度变化量不同，故B错误；由匀变速直线运动的规律可得v 2＝2a·4d，v 2＝2a·3d，v 2＝
O A B
2a·2d，v 2＝2a·d，联立解得经过各点的速度比为v ∶v ∶v ∶v ＝2∶ ∶ ∶1，故C正确；末速
C O A B C
度为零的匀减速直线运动，反向看成初速度为零的匀加速直线运动，结合B的解析可得，
子弹从进入每个木块至到达各点经历的时间之比为t ∶t ∶t ∶t ＝(2－ )∶( － )∶( －1)∶1，
A B C D
故D错误。
【典例5b基础题对应练习】（多选）如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的
矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进
入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是( )
A．v∶v∶v＝3∶2∶1 B．v∶v∶v＝∶∶1
1 2 3 1 2 3
C．t∶t∶t＝1∶∶ D．t∶t∶t＝(－)∶(－1)∶1
1 2 3 1 2 3
【典例5b基础题对应练习】【答案】BD
【解析】因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向的初速度为零的匀
加速直线运动来研究．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比
为1∶(－1)∶(－)，故所求时间之比为(－)∶(－1)∶1，选项C错误，D正确；由v2－v2＝2ax可
0
得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移时的速度之比为 1∶∶，故所求的速度
之比为∶∶1，选项A错误，B正确．
考点二：自由落体运动
题型一：单物体自由下落的问题
【知识思维方法技巧】
（1）自由落体运动：
①运动特点：初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．
②基本规律：
速度与时间的关系式：v＝gt.
位移与时间的关系式：x＝gt2.
速度与位移的关系式：v2＝2gx.
③方法技巧：
比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用，Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度
变化量相同，位移差公式：Δh＝gT2.
（2）要充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题．
6
学科网（北京）股份有限公司①从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…
②从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
③连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2.
（3）物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是
自由落体运动，等效于竖直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决
此类问题．
类型一：单个物体自由落体运动模型
【典例1a基础题】在国际泳联世锦赛女子单人10米跳台比赛中，我国运动员陈芋汐在跳
台上倒立静止，然后下落，前5 m完成技术动作，随后5 m完成姿态调整。假设整个下落
过程近似为自由落体运动，重力加速度大小取10 m/s2，则她用于姿态调整的时间约为(
)
A．0.2 s B．0.4 s C．1.0 s D．1.4 s
【典例1a基础题】【答案】B
【解析】陈芋汐下落的整个过程所用的时间为t＝＝ s≈1.4 s，下落前5 m的过程所用的时
间为t ＝＝ s＝1 s，则陈芋汐用于姿态调整的时间约为t ＝t－t ＝0.4 s，B正确，A、C、D
1 2 1
错误。
【典例1a基础题对应练习】如图所示是用频闪周期为 的相机拍摄的一张真空中羽毛与
苹果自由下落的局部频闪照片。关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是（
）
A．苹果下落的加速度大小为 B．羽毛下落到C点的速度大小为
C．一定满足关系x ∶x ∶x ＝1∶3∶5 D．一段时间后苹果会在羽毛下方
1 2 3
【典例1a基础题对应练习】【答案】B
【解析】根据Δx＝aT2可得a＝，A错误；羽毛做自由落体运动，则羽毛下落到C点的速度
大小为v ＝，B正确；羽毛与苹果在真空中做自由落体运动，A点并不一定是下落点，故
C
A点速度不一定等于零，则羽毛与苹果的位移不一定满足关系 x∶x∶x ＝1∶3∶5，故C错误；
1 2 3
真空中苹果和羽毛只受重力，同时释放做自由落体运动的下落快慢相同，故D错误。
类型二：长度不能忽略的单个物体自由落体运动模型
【知识思维方法技巧】
杆过观察点时间问题的处理技巧：要充分利用初速度为0的特点解题。
设杆长L，杆的下端到观察点的距离为h
√2h
t =
1 g
①杆下端下落到观察点的时间
√2(L+h)
t =
2 g
②杆上端下落到观察点的时间
7
学科网（北京）股份有限公司√2(L+h) √2h
Δt= −
g g
所以整杆通过观察点的时间
③
【典例1b基础题】如图所示，竖直悬挂一根长15m的直杆，在杆的正下方距杆下端5m处
有一观察点A，当杆自由下落时，(g取10m/s2)，则杆全部通过A点所需的时间为( )
A．1s B．2s C．3s D．4s
【典例1b基础题】【答案】A
【解析】根据 ，可得杆全部通过A点所需的时间为
故选A。
【典例1b基础题对应练习】一根矩形杆的长1.45m，从某一高处作自由落体运动，在下落
过程中矩形杆通过一个2m高的窗口用时0.3s。则矩形杆的下端到达窗口上端的速度和矩
形杆下端的初始位置到窗台的高度差为(g取10m/s2)分别为( )
A．v=8m/s B．v=10m/s C．∆h=5m D．∆h=6m
【典例1b基础题对应练习】【答案】B
【解析】设杆长为L，窗口高度为h，杆的下端到达窗口上沿的速度为v, 在矩形杆通过一
0
个2m高的窗口用时0.3s的过程中，由位移公式 ，解得
B正确，A错误； 设杆的下端到窗口上沿的高度为h， ，杆的下端到达窗
0
台的高度为 ，CD错误。故选B。
题型二：多物体自由下落的问题
类型一：等高不同时下落模型
【典例2a基础题】从高度为125 m的塔顶先后自由释放a、b两球，自由释放这两个球的
时间差为1 s，g取10 m/s2，不计空气阻力，以下判断正确的是( )
A．b球下落高度为20 m时，a球的速度大小为20 m/s
B．a球接触地面瞬间，b球离地高度为45 m
C．在a球接触地面之前，两球保持相对静止
D．在a球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
【典例2a基础题】【答案】B
【解析】b球下落高度为20 m时t ＝＝ s＝2 s，则A下降了3 s，A的速度为v＝30 m/s，
1
故A错误；A球下降的总时间为：t ＝ s＝5 s，此时B下降4 s，B的下降高度为：h′＝
2
8
学科网（北京）股份有限公司×10×42 m＝80 m，故B离地面的高度为h ＝(125－80) m＝45 m，故B正确；由自由落体
B
的规律可得，在a球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C、D
错误．
【典例2a基础题对应练习】从某一高度相隔1 s先后自由释放两个相同的小球甲和乙，不
计空气阻力，它们在空中任一时刻( )
A. 甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变
B. 甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差也越来越大
C. 甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差保持不变
D. 甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差也越来越小
【典例2a基础题对应练习】【答案】C
【解析】设乙运动的时间为t，则甲运动时间为t＋1，则两球的距离：Δx＝ g(t＋1)2－ gt2
＝gt＋ g，可知随时间增加两球间的距离越来越大；两球速度之差为：Δv＝g(t＋1)－gt＝
g，
所以甲、乙两球速度之差保持不变．故选C.
类型二：等高等时下落模型
【知识思维方法技巧】
在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可用等效转化法将
多个物体的运动等效转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了。
【典例2b基础题】某同学站在一平房边观察从屋檐边滴下的水滴，发现屋檐的滴水是等时
的，且第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面；第2滴和第3滴水刚好位于窗户的下沿
和上沿，他测得窗户上、下沿的高度差为1 m，由此求屋檐离地面的高度。
【典例2b基础题】【答案】3.2 m
【解析】作出如图所示的示意图.5滴水滴的位置等效为一滴水做自由落体运动连续相等时
间内的位置．图中自上而下相邻点距离比为1∶3∶5∶7，因点“3”、“2”间距为1 m，可知屋
檐离地面高度为×(1＋3＋5＋7) m＝3.2 m.
【典例2b基础题对应练习】雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察
后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水
滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5
颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2m，窗户的高度为h＝1.4m，
不计空气阻力的影响。则下列结论正确的是（ ）
9
学科网（北京）股份有限公司A．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小6m/s
B．每隔0.2s滴下一水滴
C．水滴经过窗户的时间0.2s
D．水滴经过窗户的平均速度为7m/s
【典例2b基础题对应练习】【答案】BCD
【解析】水滴下落至窗台通过的距离为H=3.2m，有
故水滴到达窗台下沿的速度大小为8m/s，故A错误；水滴下落至窗台的时间为
第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下，此
时共4个时间间隔，可知相邻的水滴滴下的时间间隔 故B正确；水滴
下落至窗户上边缘的时间为 水滴经过窗户的时间为
故C正确；经过窗台的平均速度为 故
D正确。故选BCD。
类型三：不等高不同时下落模型
【典例2c基础题】如图所示，空中有A、B两个小球的初始高度差为h。先将小球A由静
1
止释放，当A下落高度为h 时，再将小球B由静止释放，结果两小球同时落到地面上，重
2
力加速度为g，不计空气阻力，则小球A距离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【典例2c基础题】【答案】C
【解析】设当A下落高度为h 时，速度为v，之后运动时间t与B小球同时落到地面上，
2
根据题意有 ； 联立解得 所以小球A距离地面的
10
学科网（北京）股份有限公司高度 故选C。
考点三：竖直上抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）竖直上抛运动的两种研究方法：
分段法 将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段
将全过程视为初速度为v ，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量
0
全程法 的矢量性．习惯上取v 的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，
0
物体正在下降；h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方
（2）竖直上抛运动的主要特性：
①速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向
对称性
②时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，
多解性
形成多解，在解决问题时要注意这个特性
题型一：应用逆向思维法求解竖直上抛运动
【典例1基础题】如图，篮球架下的运动员原地竖直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高
度为H.上升第一个所用的时间为t ，第四个所用的时间为t.不计空气阻力，则满足(
1 2
)
A．1<<2 B．2<<3 C．3<<4 D．4<<5
【典例1基础题】【答案】C
【解析】运动员的竖直上抛运动可等同于从一定高度处开始的自由落体运动的逆运动，所
以第四个所用的时间为t ＝，第一个所用的时间为t ＝ －，因此有＝＝2＋，即3<<4，选
2 1
项C正确．
【典例1基础题对应练习】课间，一些“弹簧”男常在走廊上跳摸指示牌秀弹跳。身高
1.70 m的小宋同学在指示牌正下方原地竖直向上跳起，手指恰好能摸到指示牌的下边沿，
经测量指示牌下边沿到地面的竖直距离为2.50 m (如图)。小宋同学双脚离地时速度大小最
接近于( )
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学科网（北京）股份有限公司A．0.5 m/s B．3 m/s C．6 m/s D．9 m/s
【典例1基础题对应练习】【答案】B
【解析】小宋起跳后做匀减速直线运动，采用逆向思维，小宋向下做匀加速直线运动，则
有v2－0＝2gh，解得v＝，结合生活实际可知，原地站立且胳膊向上时，手指离地高度约
为2.1 m，则h＝2.5 m－2.1 m＝0.4 m，解得v≈3 m/s，故B正确。
题型二：应用对称法求解竖直上抛运动
【典例2基础题】一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是
5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝
10 m/s2)( )
A．80 m B．40 m C．20 m D．无法确定
【典例2基础题】【答案】C
【解析】物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 A点
的时间为，从最高点自由下落到 B 点的时间为，A、B 间距离为：h ＝g[()2－()2]＝
AB
×10×(2.52－1.52) m＝20 m，故选C.
【典例2基础题对应练习】在离地面高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，
它们的初速度大小均为2v，不计空气阻力，重力加速度为g，两球落地的时间差为(
)
A. B. C. D.
【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】小球分别做竖直上抛和竖直下抛运动，当上抛的小球落到出发点时，继续下落到
地面的时间与做竖直下抛的小球落地时间相同，则两球落地的时间差即为上抛小球落回抛
出点的时间，根据竖直上抛运动的对称性可得t＝2× ＝ ，故选C.
题型三：应用全程法求解竖直上抛运动
【典例3基础题】（多选）某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2.5 s内物体的( )
A. 路程为65 m B. 位移大小为25 m，方向竖直向上
C. 速度改变量的大小为10 m/s D. 平均速度大小为13 m/s，方向竖直向上
【典例3基础题】【答案】AB
【解析】解法一：分阶段法
物体上升的时间t ＝ ＝ s＝3 s，物体上升的最大高度h＝ ＝ m＝45 m．物体
上 1
从最高点自由下落2 s时下落的高度h＝ gt ＝ ×10×22m＝20 m．运动过程如图所示，则
2
总路程为h＋h＝65 m，A正确.5 s末物体离抛出点的高度为h－h＝25 m，即位移的大小
1 2 1 2
为25 m，方向竖直向上，B正确．速度改变量的大小Δv＝gt＝50 m/s，C错误．平均速度
的大小 ＝ ＝ m/s＝5 m/s，方向竖直向上，D错误．
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学科网（北京）股份有限公司解法二：全过程法
将物体运动的全程视为匀变速直线运动，并取竖直向上为正方向，则有v＝30 m/s，a＝－
0
g＝－10 m/s2，故5 s内物体的位移h＝vt＋ at2＝25 m>0，说明物体5 s末在抛出点上方25
0
m处，由竖直上抛运动的规律可知，物体经3 s到达最大高度h＝45 m处，故物体运动的
1
总路程为65 m，位移大小为25 m，方向竖直向上，A、B正确．速度的改变量的大小Δv
＝|at|＝50 m/s，C错误.5 s末物体的速度v＝v＋at＝－20 m/s，所以平均速度 ＝ ＝
0
5 m/s>0，方向竖直向上，D错误．
【典例3基础题对应练习】气球以1.25 m/s2的加速度从地面由静止开始竖直上升，离地30
s后，从气球上掉下一物体，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体到达地面所需时间为(
)
A．7 s B．8 s C．12 s D．15 s
【典例3基础题对应练习】【答案】D
【解析】取竖直向上为正方向，物体刚从气球上掉下时气球的高度为 h ＝at2＝×1.25×302
1
m＝562.5 m，此时气球的速度为v＝at＝1.25×30 m/s＝37.5 m/s，则物体刚掉下时，具有
竖直向上的初速度为37.5 m/s，距地面的高度为562.5 m，物体从气球上掉下后做竖直上抛
运动，则有h＝vt－gt2，其中h＝－562.5 m，解得t＝15 s，t＝－7.5 s(舍去)，选项D正确．
1 2
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