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知识点 18：传送带模型的动力学问题
【知识思维方法技巧】
（1）传送带问题的突破口——初态、共速、末态
（2）传送带动力学问题速度相等时摩擦力突变的特点：
①从有到无：如水平传送带，达到同向共速后，滑动摩擦力突变为0。
②动静突变：如倾斜向上传送物块（μ＞tan θ），共速后滑动摩擦力变为静摩擦力。
③方向变化：如倾斜向下传送物块（μ＜tan θ），共速后方向由向下变为向上(仍为滑动摩
擦力)。
（3）滑块与传送带的划痕长度Δx等于滑块与传送带的相对位移的大小，若有两次相对运
动且两次相对运动方向相同，Δx＝Δx ＋Δx(图甲)；若两次相对运动方向相反，Δx等于较
1 2
长的相对位移大小．(图乙)
考点一：水平式传送带的动力学问题
【知识思维方法技巧】
（1）“带动法”判断摩擦力方向：同向快带慢、反向互相阻；物体的速度、位移、加速度
均以地面为参考系，痕迹指的是物体相对传送带的位移。
（2）在匀速运动的水平传送带上，只要滑块和传送带不共速，滑块就会在滑动摩擦力的作
用下，朝着和传送带共速的方向变速（若v v ，则滑块减速），
物 传 物 传
直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速运动，或由于传送带不是足够长，在匀加
速或匀减速过程中始终没达到共速。
（3）计算滑块与传送带间的相对路程要分两种情况：
①若二者同向，则Δs＝|s －s |；②若二者反向，则Δs＝|s |＋|s |。
传 物 传 物
题型一：水平式匀速运动的传送带模型
类型一：滑块静止轻放模型
【知识思维方法技巧】
滑块在传送带上可能的运动情况：
（1）传送带不足够长：一直加速 （2）传送带足够长：先加速后匀速。
【典例1a提高题】如图甲所示，水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后
1
学科网（北京）股份有限公司由静止轻轻放上三个物体A、B、C，物体A经t ＝9.5 s 到达传送带另一端Q，物体B经t
A B
＝10 s 到达传送带另一端Q，若释放物体时刻作为t＝0时刻，分别作出三个物体的v-t 图
像如图乙、丙、丁所示，g取10 m/s2，求：
（1）传送带的速度大小v；
0
（2）传送带的长度L；
（3）物体A、B、C与传送带间的动摩擦因数，物体C从传送带左端P到右端Q所用的时
间t 。
C
【典例1a提高题】【答案】(1)4 m/s (2)36 m (3)0.4 0.2 0.012 5 24 s
【解析】(1)物体A与B均先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，说明物体的速度最
终与传送带的速度相等，所以由题图乙、丙可知传送带的速度大小v＝4 m/s。
0
(2)v -t图线与t轴围成图形的面积表示物体的位移，所以物体A的位移x ＝×(8.5＋9.5)×4 m
A
＝36 m 传送带的长度L与A的位移相等，也是36 m。
(3)物体A的加速度a ＝＝4 m/s2，由牛顿第二定律得μ mg＝ma 所以μ ＝＝0.4，
A A A A
同理，物体B的加速度a ＝＝2 m/s2，μ ＝＝0.2，设物体C从传送带左端P到右端Q所用
B B
的时间为t ，则L＝t ，t ＝＝24 s物体C的加速度a ＝＝ m/s2，μ ＝＝0.0125。
C C C C C
【典例1a提高题对应练习】如图所示，一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。
现将一个木炭包无初速地放在传送带的最左端，木炭包在传送带上将会留下一段黑色的径
迹。下列说法正确的是（ ）
A．黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B．木炭包的质量越大，径迹的长度越短
C．木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹的长度越短
D．传送带运动的速度越大，径迹的长度越短
【典例1a提高题对应练习】【答案】C
【解析】木炭包与传送带相对滑动的距离为黑色径迹的长度，当放上木炭包后传送带相对
于木炭包向右滑动，所以黑色径迹应出现在木炭包的右侧，选项A错误，设木炭包的质量
为m，传送带的速度为v，木炭包与传送带间动摩擦因数为μ，则对木炭包有μmg＝ma，
木炭包加速的时间t＝＝，该过程传送带的位移x＝vt＝，木炭包的位移x＝t＝t＝，黑色
1 2
径迹的长度Δx＝x－x＝，由上式可知径迹的长度与木炭包的质量无关，传送带的速度越
1 2
大，径迹越长，木炭包与传送带间动摩擦因数越大，径迹越短，选项C正确。
类型二：滑块初速度方向与传送带运动方向相同模型（同向模型）
【知识思维方法技巧】
2
学科网（北京）股份有限公司滑块初速度方向与传送带运动方向相同时，滑块在传送带上可能的运动情况：
（1）v>v时，传送带不足够长：一直减速，传送带足够长：先减速再匀速。
0
（2）v＝v时，一直匀速。
0
（3）vv，最大静摩擦力大于绳的拉力，则小物体P先向右做匀加速直线运动，由
1 2
牛顿第二定律知μm g－m g＝(m ＋m )a，到小物体P加速到与传送带速度v 相等后匀速，
P Q Q P 1
B正确；若传送带长度较短，可能P到达传送带右端时速度依然未达到v，A正确；若最
1
大静摩擦力小于绳的拉力，va，C正确，D错误．
Q P Q P 1 2 1
类型三：滑块初速度方向与传送带运动方向相反模型（反向模型）
【知识思维方法技巧】
滑块初速度方向与传送带运动方向相反时，滑块在传送带上可能的运动情况：
（1）传送带不足够长：滑块一直减速到达左端。
（2）传送带足够长：传送带较长时，滑块先减速到速度为0，还要被传送带传回右端．若
v>v，返回时速度为v，若vv ，物块向右运动时会一直加速，
1 2
当速度大小增大到等于v 时，物块恰好离开传送带，有v′＝v ；如果v≤v ，物块向左的速
2 2 2 1 2
度减至零后会在滑动摩擦力的作用下向右加速，当速度增大到等于传送带速度时，物块还
在传送带上，之后不受摩擦力，物块与传送带一起向右匀速运动，有 v′＝v ；第二种情况：
2 1
物块在传送带上减速向左滑行，直接向左滑出传送带，末速度一定小于 v。故A、B、D正
2
确，C错误。
题型二：水平式加速运动的传送带模型
【知识思维方法技巧】
当传送带的加速度a>μg时，滑块与传送带之间必然发生相对滑动，滑块将在滑动摩擦力作
4
学科网（北京）股份有限公司用下做匀加速运动，其加速度大小为μg。
【典例2提高题】如图所示为一水平传送带装置示意图.A、B为传送带的左、右端点，AB
长L＝2 m，初始时传送带处于静止状态，当质量m＝2 kg的煤块(可视为质点)轻放在传送
带A点时，传送带立即启动，启动过程可视为加速度a＝2 m/s2的匀加速运动，加速结束后
传送带立即匀速运动.已知煤块与传送带间动摩擦因数μ＝0.1，设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力(g取10 m/s2).
(1)如果煤块以最短时间到达B点，煤块到达B点时的速度大小是多少？
(2)上述情况下煤块运动到B点的过程中在传送带上留下的痕迹至少多长？
【典例2提高题】【答案】(1)2 m/s (2)1 m
【解析】(1)为了使煤块以最短时间到达B点，煤块应一直匀加速从A点到达B点
μmg＝ma 得a＝1 m/s2
1 1
v＝2aL
1
v ＝2 m/s
B
(2)传送带加速结束时的速度v＝v ＝2 m/s时，煤块在传送带上留下的痕迹最短
B
煤块运动时间t＝＝2 s
传送带加速过程：
v ＝at 得t＝1 s
B 1 1
x＝at得x＝1 m
1 1
传送带匀速运动过程：
t＝t－t＝1 s
2 1
x＝v t 得x＝2 m
2 B2 2
故痕迹最小长度为Δx＝x＋x－L＝1 m.
1 2
【典例2提高题对应练习】 如图所示，一水平的足够长的传送带与平板紧靠在一起，且上
表面在同一水平面。传送带上左端放置一质量为m＝1 kg的煤块(视为质点)，煤块与传送带
及煤块与平板上表面之间的动摩擦因数均为μ ＝0.1。初始时，传送带与煤块及平板都是静
1
止的。现让传送带以恒定的水平向右的加速度 a＝3 m/s2开始运动，当其速度达到v＝1.5
m/s后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，
煤块相对于传送带不再滑动，随后，在平稳滑上右端平板上的同时，在平板右侧施加一个
水平恒力F＝17 N，F作用了0.5 s时煤块与平板速度恰相等，此时刻撤去 F。最终煤块没
有从平板上滑下，已知平板质量M＝4 kg(重力加速度为g＝10 m/s2)，问：
(1)传送带上黑色痕迹的长度；
(2)有F作用期间平板的加速度大小；
(3)平板上表面至少多长？(计算结果保留两位有效数字)
【典例2提高题对应练习】【答案】(1)0.75 m (2)2.0 m/s2 (3)0.65 m
【解析】(1)煤块在传送带上发生相对运动时，根据牛顿第二定律可得μmg＝ma ，则其加
1 1
速度a＝μg＝1 m/s2，方向水平向右
1 1
设经过时间t，煤块速度达到v
1
5
学科网（北京）股份有限公司经过时间t，传送带速度达到v
2
即v＝at＝at
11 2
代入数据得t＝1.5 s，t＝0.5 s
1 2
则t 时间内，传送带发生的位移s＝＋v(t－t)
1 1 2
煤块发生的位移s′＝
黑色痕迹长度即传送带与煤块发生的位移之差，即：
Δs＝s－s′＝0.75 m。
(2)煤块滑上平板时的速度为v＝1.5 m/s
加速度为a＝＝μg，方向水平向左
1 1
经过t＝0.5 s，速度v′＝v－at＝1.0 m/s
0 10
设平板的加速度大小为a，依题意由v′＝at＝1.0 m/s
2 20
解得a＝2.0 m/s2。
2
(3)设平板与地面间动摩擦因数为μ，由a＝2 m/s2
2 2
且Ma＝(F＋μmg)－μ(mg＋Mg)
2 1 2
代入数值得μ＝0.2
2
由于μ>μ，共速后煤块将仍以加速度大小a 匀减速运动，直到停止，而平板以加速度大小
2 1 1
a 匀减速运动
3
Ma＝μ(mg＋Mg)－μmg
3 2 1
得a＝2.25 m/s2，运动时间为t＝＝ s
3 3
所以全程，平板的位移为s ＝＝ m
板
煤块的位移s ＝＝ m
煤
煤块不从平板上滑下，则平板车的最短长度即煤块与平板的位移之差，即 L＝s －s ＝
煤 板
0.65 m。
题型三：水平式减速运动的传送带模型
【知识思维方法技巧】
如图所示，滑块轻放在传送带左端，此时传送带以初速度v 一直做匀减速运动，加速度大
0
小为a ，传送带足够长。开始滑块相对于传送带向左运动，滑块所受的滑动摩擦力向右，
0
因此滑块做匀加速运动，其加速度大小为μg，当二者速度相等时，可得μgt＝v －at，后
0 0
面的运动情况讨论如下：
（1）如果滑块与传送带相对静止（即二者一起做匀减速运动，滑块的加速度大小为a），
0
此时摩擦力为静摩擦力，对滑块由牛顿第二定律得f＝ma ≤μmg，故a≤μg。
0 0 0
（2）当a>μg时，二者之间发生相对滑动。传送带速度减小得比物体减小得快，滑块的加
0
速度大小为μg。
【典例3提高题】将一粉笔轻放在以v＝40 m/s匀速向右运动的传送带左端，粉笔与传送带
0
之间的动摩擦因数为0.4，经过5 s后，传送带减速运动，其加速度大小为a＝6 m/s2，假设
0
传送带足够长，求粉笔在传送带上运动的总时间。
6
学科网（北京）股份有限公司【典例3提高题】【答案】14 s
【解析】刚开始粉笔做匀加速运动，其加速度为 a ＝＝μg＝4 m/s2,5 s末速度v ＝at＝20
1 1 1
m/s，前5 s粉笔的位移x＝at2＝50 m，
1 1
在传送带匀减速运动的同时，粉笔继续做匀加速运动，二者存在相对滑动，
设再经过时间t，二者速度相等，则v－at＝v＋at，解得t＝2 s，
1 0 01 1 11 1
共同速度v′＝v－at＝28 m/s。
0 01
以后粉笔是否相对传送带静止，需要比较其静摩擦力能维持的最大加速度。由于粉笔所受
的最大静摩擦力维持的最大加速度a＝μgμgcos θ，一直加速；
（2）gsin θ＝μgcos θ，一滑块直匀速。
（3）gsin θ<μgcos θ，传送带不足够长时，一直减速。传送带足够长时，先减速到速度为
0后反向加速到原位置时速度大小为v(类竖直上抛运动)。【典例1d提高题】(多选)如图所
0
示，倾斜传送带AB以恒定速率v 逆时针转动，一可视为质点的滑块以平行于传送带向下
0
的初速度v(v≠v)滑上A点．滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，不计传送带滑轮的尺寸，
0
最大静摩擦力等于滑动摩擦力．若用t表示时间，用v 表示滑块的速度大小，则能够正确
t
描述滑块从A滑向B运动过程的下列vt图像可能是( )
t
【典例1d提高题】【答案】BC
【解析】对滑块受力分析，滑块在沿传送带方向受重力沿传送带的分力mgsin θ，摩擦力f.
当v＜v，滑块刚开始加速运动，摩擦力向下，加速度为a＝gsin θ＋μgcos θ，当滑块速度
0 1
等于传动带速度相等时，如果最大静摩擦力 f＞mgsin θ，则滑动摩擦突变为静摩擦向上，
大小为mgsin θ，滑块和传送带一起做匀速直线运动，若最大静摩擦力f＜mgsin θ，则摩擦
力方向会突变向上，滑块做匀加速直线运动，加速度为a ＝mgsin θ－μgcos θ，比较可得
2
a ＞a ，故B正确，A错误；若v＞v ，滑块相对于传送带向下运动，若最大静摩擦力 f＜
1 2 0
mgsin θ，则滑块一直做匀加速直线运动，加速度为a＝gsin θ－μgcos θ，若如果最大静摩
3
擦力f＞mgsin θ，则滑块一开始做匀减速直线运动，速度与传送带相等时，滑动摩擦力突
变为静摩擦力向上，大小为mgsin θ，故C正确，D错误．
12
学科网（北京）股份有限公司【典例1d提高题对应练习】（多选）如图一足够长的倾斜传送带顺时针匀速转动。一小滑
块以某初速度沿传送带向下运动，滑块与传送带间的动摩擦因数恒定，则其速度v随时间t
变化的图象可能是( )
【典例1d提高题对应练习】【答案】BC
【解析】设传送带倾角为θ，动摩擦因数为μ，若mgsin θ＞μmgcos θ，合力沿传送带向下，
小滑块向下做匀加速运动；若mgsin θ＝μmgcos θ，沿传送带方向合力为零，小滑块匀速
下滑；若mgsin θ＜μmgcos θ，小滑块所受合力沿传送带向上，小滑块做匀减速运动，当
速度减为零时，开始反向加速，当加速到与传送带速度相同时，因为最大静摩擦力大于小
滑块重力沿传送带向下的分力，故小滑块随传送带做匀速运动，A、D错误，B、C正确。
题型二：斜面式传送带向下匀速运动模型（下载模型）
类型一：静止滑块从顶端向下运动模型
【知识思维方法技巧】
滑块在传送带上可能的运动情况：
（1）传送带不足够长：一直加速(加速度为gsin θ＋μgcos θ)
（2）传送带足够长：若μ≥tan θ，先加速后匀速，若μμmgcos 37°，所以它们不能相对静止．
(2)煤块刚放上时，受到沿斜面向下的摩擦力，其加速度为
a＝g(sin θ＋μcos θ)＝10 m/s2，
1
煤块加速运动至与传送带速度相同时需要的时间
t＝＝1 s，
1
发生的位移x＝at＝5 m
1 1
煤块速度达到v 后，因μgcos θv时，滑块
0 0
一直减速(加速度为gsin θ－μgcos θ)。
（2）传送带足够长：若μ≥tan θ，先加速后匀速；若μμmgcos 37°，则下一时刻物体相对传送
带向下运动，受到传送带向上的滑动摩擦力。设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物
体的加速度为a，则
2
a＝＝2 m/s2
2
x＝l－x＝11 m
2 1
又因为x＝vt＋at2
2 2 22
解得t＝1 s(t＝－11 s舍去)
2 2
所以t ＝t＋t＝2 s。
总 1 2
题型三：斜面式能调速匀速运动的传送带模型
类型一：倾斜向上传送模型
【典例3a提高题】（多选）如图所示，某传动装置与水平面的夹角为30°，两轮轴心相距
L＝2 m，A、B分别是传送带与两轮的切点，传送带不打滑。现传送带沿顺时针方向匀速转
动，将一小物块放置于A点，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2。若传送带
的速度可以任意调节，当小物块在A点以v ＝3m/s的速度沿传送带向上运动时，小物块到
0
达B点的速度大小可能为( )
A．1 m/s B．3 m/s C．6 m/s D．9 m/s
15
学科网（北京）股份有限公司【典例3a提高题】【答案】BC
【解析】由题意可知mgsin 30°＜μmgcos 30°，若传送带的速度很小(一直小于物块的速度)，
小物块一直减速，加速度大小a ＝gsin 30°＋μgcos 30°＝12.5 m/s2，到达B点时的速度最小，
1
且最小速度v ＝＝2 m/s；若传送带的速度很大(一直大于物块的速度)，小物块一直加速，
1
加速度大小a＝μgcos 30°－gsin 30°＝2.5 m/s2，到达B点时的速度最大，且最大速度v＝＝
2 2
8 m/s；综上可知小物块到达B点的速度在2 m/s到8 m/s的范围内，选项B、C正确。
【典例3a提高题对应练习】如图所示，为传送带传输装置示意图的一部分，传送带与水平
地面的倾角θ＝37°，A、B两端相距L＝5.0 m，质量为M＝10 kg的物体以v＝6.0 m/s的速
0
度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数处处相同，均为0.5.传送带
顺时针运转的速度v＝4.0 m/s，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)物体从A点到达B点所需的时间；
(2)若传送带顺时针运转的速度可以调节，物体从A点到达B点的最短时间是多少？
【典例3a提高题对应练习】【答案】(1)2.2 s (2)1 s
【解析】(1)设物体速度大于传送带速度时加速度大小为a ，由牛顿第二定律得Mgsin θ＋
1
μMgcos θ＝Ma ①
1
设经过时间t 物体的速度与传送带速度相同，
1
t＝②
1
通过的位移x＝③
1
设物体速度小于传送带速度时物体的加速度为a
2
Mgsin θ－μMgcos θ＝Ma ④
2
物体继续减速，设经t 速度到达传送带B点
2
L－x＝vt－at⑤
1 2 2
联立得①②③④⑤式可得：t＝t＋t＝2.2 s
1 2
(2)若传送带的速度较大，物体沿AB上滑时所受摩擦力一直沿传送带向上，则所用时间最
短，此种情况加速度一直为a，
2
L＝vt′－at′2
0 2
t′＝1 s(t′＝5 s舍去)
类型二：倾斜向下传送模型
【典例3b提高题】如图所示，传送带的倾角θ＝37°，从A到B长度为16 m，传送带以10
m/s的速度逆时针转动。在传送带上A端无初速度地放一个质量m＝0.5 kg的黑色煤块，它
与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色划痕。已知sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：
（1）煤块从A到B的时间。
（2）煤块从A到B的过程中传送带上留下划痕的长度。
（3）若传送带逆时针转动的速度可以调节，煤块从A点到达B点的最短时间是多少？
16
学科网（北京）股份有限公司【典例3b提高题】【答案】(1)2 s (2)5 m (3) s
【解析】(1)开始阶段，由牛顿第二定律得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma ，所以a ＝gsin θ＋
1 1
μgcos θ，解得a ＝10 m/s2，煤块加速至传送带速度相等时需要的时间为 t ＝＝ s＝1 s，煤
1 1
块发生的位移为x＝at＝×10×12 m＝5 m<16 m，所以煤块加速到10 m/s时仍未到达B点，
1 1
此后摩擦力方向改变；第二阶段有mgsin θ－μmgcos θ＝ma ，解得a ＝2 m/s2，设第二阶
2 2
段煤块滑动到B点的时间为t，则L －x＝vt＋at，解得t＝1 s，煤块从A到B的时间t＝
2 AB 1 2 2 2
t＋t＝(1＋1) s＝2 s；
1 2
(2)第一阶段煤块的速度小于传送带速度，煤块相对传送带向上移动，煤块与传送带的相对
位移大小为Δx＝vt－x＝10×1 m－5 m＝5 m，故煤块相对于传送带上移5 m；
1 1
第二阶段煤块的速度大于传送带速度，煤块相对传送带向下移动，煤块相对于传送带的位
移大小为Δx＝(L －x)－vt，解得Δx＝1 m，即煤块相对传送带下移1 m，故传送带表面
2 AB 1 2 2
留下黑色炭迹的长度为L＝Δx＝5 m；
1
(3)若增加传送带的速度，煤块一直以加速度a 做匀加速运动时，从A运动到B的时间最短，
1
则有L ＝at，可得t ＝ s。
AB 1 min
考点三：三角式传送带的动力学问题
题型一：滑块轻放模型
题型二：滑块与传送带速度相等模型
【典例2提高题】(多选)如图所示，三角形传送带以1 m/s的速度逆时针匀速转动，两边的
传送带长都是2 m，且与水平方向的夹角均为37°，现有两个小物块A、B从传送带顶端都
以1 m/s的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，g取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列判断正确的是 ( )
A．物块A先到达传送带底端
B．物块A、B同时到达传送带底端
C．传送带对物块A、B的摩擦力都沿传送带向上
D．物块A、B在传送带上的划痕长度之比为1∶3
【典例2提高题】【答案】BCD
【解析】本题考查非常规传送带上物体的运动。由于mgsin 37°＝0.6mg，μmgcos 37°＝
0.5×0.8mg＝0.4mg，所以对两物块受力分析后知两物块都相对传送带向下加速滑动；加速
度的大小都是a＝gsin 37°－μgcos 37°＝2 m/s2，初速度相同，加速度大小相同，经过的位移
大小相同，根据x＝vt＋at2可得两者的运动时间相同，都为t＝1 s，即两者同时到达底端，
0
故A错误，B正确；两物块均相对传送带向下加速滑动，传送带对物块 A、B的摩擦力都
沿传送带向上，故C正确：传送带在1 s内的路程x＝vt＝1 m，物块A与传送带是同向运
0
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学科网（北京）股份有限公司动的，A的划痕长度是斜面长度减去在此时间内传送带的路程，即Δx ＝2 m－1 m＝1 m；
A
B与传送带是反向运动的，B的划痕长度是斜面长度加上在此时间内传送带的路程，即Δx
B
＝2 m＋1 m＝3 m。A、B在传送带上的划痕长度之比为1∶3，故D正确。
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