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第 06 讲 一元一次不等式和一元一次不等式组单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．要使二次根式 有意义，则 的值不可以为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值不可以为3．
故选D．
2．下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题比较简单，考查的是一元一次不等式的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松
解答．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以得到答
案．
【详解】解：A、不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项错误；
B、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误；
C、含有2个未知数，属于二元二次不等式，故本选项错误；
D、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
故选：D
3．若 是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
【详解】解：A、 中不包含 ，不符合题意；
B、 中不包含 ，不符合题意；
C、 中包含 ，符合题意；
D、 中不包含 ，不符合题意；
故选：C．
4．已知 ，下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不
等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵ ， ，则 ，故该选项不符合题意；
B、∵ ， ，则 ，故该选项不符合题意；
C、∵ ， ，则 ，故该选项不符合题意；
D、∵ ，则 ，故该选项符合题意；
故选：D
5．如果点 在第一象限，那么m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据第一象限内点的横纵坐标符号特点得出关
于 的不等式组，并熟练掌握解不等式组的能力．根据第一象限内点的横坐标为正、纵坐标为正列出关于
的不等式组，解之可得．
【详解】解：根据题意，得： ，
解得 ，
故选：A
6．在数学“ ”节24点速算赛中，共有20道题，答对一题得6分，答错或不答均扣2分，已知小观得分
超过95分，则他至少答对了（ ）题．
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小观答对了 道题，则答错或不答 道题，利用得分
答对题目数 答错或不答题目数，结合小观得分超过95分，可列出关于 的一元一次不等式，解之
可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设小观答对了x道题，则答错或不答 道题，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵ 为正整数，∴ 的最小值为17，
∴他至少答对了17道题.
故选：C．
7．已知关于 的不等式组 无解，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解第一个不等式求出其解集，再结合 且不等式组无
解，利用“大大小小找不到”可得答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
且不等式组无解，
，
故选： ．
8．如图，在平面直角坐标系中，若直线 与直线 相交于点P，则下列结论正确的是
（ ）
A．方程 的解是
B．不等式 和不等式 的解集相同
C．不等式组 的解集是
D．方程组的解是 解为
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线 与直线 相交于点
即可判断选项A；由图象可得 的解集为 ，由图象可得 的解集为 ，即可判断
选项B；求出 的解集是 ，当 时， ，即可判断选项C；由图象可得方程组
的解为 ，即可判断选项D．
【详解】解：A．由图象可得直线 与直线 相交于点 ，
∴方程 的解是 ，故选项错误，不符合题意；
B．由图象可得 的解集为 ，
由图象可得 的解集为 ，
∴不等式 和不等式 的解集不相同，
故选项错误，不符合题意；
C．将 代入 得 ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得 ，
由图象可知， 的解集是 ，
由图象可知，当 时，直线 在直线 的下方，
∴当 时， ，
∴不等式组 的解集是 ，
故选项正确，符合题意；
D．∵直线 与直线 相交于点P，
∴方程组 的解为 ，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
9．若关于 的一元一次不等式组 的解集是 ，且 是非正整数，则所有满足条件的 的
积为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，进而确定出非正整数，再相乘计算即可．
【详解】解：不等式组整理得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
则非正整数 ， ，0，
所有满足条件的 的积为 ，故选：C．
10．定义新运算“※”如下：当 时， ；当 时， ．例如，
， ，若 则x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．
先根据题意分两种情况：当 时，当 时，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：当 时， ，
解不等式 得： ，
解不等式 得：
∴ ；
当 时， ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴此时无解；
综上分析可知：x的取值范围是 ．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集．根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
【详解】解：由数轴可得：关于x的不等式的解集是：
故答案为： ．
12．“x的3倍与y的和是正数”用不等式可表示为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了列不等式，把正数理解成大于0是解题关键．
【详解】解：由题意可得： ．
故答案为： ．
13．如图，一次函数 与 相交于点 ，当 时， 的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查的是一次函数与不等式，根据函数图象，写出当 时， 的取值范围即可求解．
【详解】解：根据函数图象，一次函数 与 相交于点 ，
可得当 时， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
14．关于 的不等式 的解集都是不等式 的解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到
，即可求出 的取值范围．
【详解】解：
去分母得， ，
移项合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项合并同类项得， ，
解得 ．
由题意可知 ，
解得 ．
故答案为：15．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大
于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ．
【答案】64
【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式 ，根据第二次操作后停止可得不等式
，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列
出不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得
解得 ，
∴x的最大值是64．
故答案为：64
16．若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于 ， 的二元一次方程组
的解为整数，则所有满足条件的整数 的和为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元
法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键．
根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到 ，运用加减消元法解二元一次方程
组得到 ，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的 的值为0或6，由此即可求解．
【详解】解： ，
解 得， ，
解 得， ，
∴不等式组的解集为 ，∵关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，
∴ ，
解得， ，
，
解得， ，
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解为整数，
∴ 是 的倍数， 是 的倍数，
当整数 时， ，符合题意；
当整数 时， ，不符合题意；
当整数a=2时， ，不符合题意；
当整数 时， ，不符合题意；
当整数 时， ，不符合题意；
当整数 时， ，不符合题意；
当整数 时， ，符合题意；
∴ ，
故答案为： ．三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．解不等式组： ，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
【答案】 ，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴上画解集等．根据题意先解出两个一元一次不等式，继而在
数轴上画出解集即可得到本题答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
则不等式组的解集为 ．
将不等式组的解集表示在数轴上，
如图： ．
18．下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解不等式： ．
解：去分母，得 …第一步
去括号，得 ．…第二步
移项，合并同类项，得 ．…第三步
两边同时除以 ，得 ⋯第四步
(1)上述过程中，第一步去分母的依据是 ；
(2)第 步出现错误，具体原因是 ．
(3)请完成此不等式的正确求解过程．
【答案】(1)在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变
(2)四，在不等式两边同时除以 ，不等号的方向未改变．
(3) ，过程见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质．
（1）根据不等式的基本性质进行解答即可；
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可；
（3）按照正确的解法求出解集即可．
【详解】（1）解：第一步去分母的依据是在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变，故答案为：在不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号的方向不变
（2）第四步出现错误，具体原因是在不等式两边同时除以 ，不等号的方向未改变．
故答案为：四，在不等式两边同时除以 ，不等号的方向未改变．
（3）解：
去分母，得：
去括号，得
移项，合并同类项，得
两边同时除以 ，得
19．成都大运会主办方计划租用6辆客车送240名志愿者去比赛场地，现有甲、乙两种客车，已知甲种客
车的载客量为30人/辆，乙种客车的载客量为45人/辆，求租用甲种客车的数量．
【答案】0辆或1辆或2辆
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车 辆，
根据客车的座位总数要大于志愿者人数列出不等式求解即可．
【详解】解：设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车 辆．
由题意可得 ，
解得 ．
∵x为非负整数，
∴x可取0，1，2．
答：租用甲种客车的数量为0辆或1辆或2辆．
20．已知一次函数 ．
(1)当y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围；
(3)若 ，当 时，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式（组）；
（1）依题意， ，解不等式，即可求解；
（2）根据函数 图像经过第一、二、三象限，得出 ，解不等式组，即可求
解；
（3）依题意，函数解析式为： ，根据 ， 随 的增大而增大，分别求得 时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：依题意， ，
解得： ；
（2）解：∵函数 图像经过第一、二、三象限，
∴ ，
解得： ；
（3）解：∵ ，
∴函数解析式为： ，
， 随 的增大而增大
当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．某商场计划一次性购进 、 两种型号洗衣机80台，若购进 型号洗衣机50台、 型号洗衣机30台，
则需55000元；若购进 型号洗衣机30台、 型号洗衣机50台，则需65000元．
(1)求 、 两种型号的洗衣机的进价各为多少元；
(2)若每台 型号洗衣机售价550元，每台 型号洗衣机售价1080元，该商场计划销售完这80台洗衣机总
利润不少于5200元，求最多购进 型号洗衣机多少台?
【答案】(1) 、 两种型号的洗衣机的进价分别为500元/台，1000元/台
(2)最多购进A型号洗衣机40台
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系
与不等关系是解决问题的关键．
（1）设A、B两种型号的洗衣机的进价分别为x元/台，y元/台，由总价 单价 数量，列出方程组可求解；
（2）设购进A型号洗衣机m台，B型号洗衣机 台，根据销售完这80台洗衣机总利润不少于5200
元，列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设 、 两种型号的洗衣机的进价分别为 元/台， 元/台，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 、 两种型号的洗衣机的进价分别为500元/台，1000元/台；
（2）设购进A型号洗衣机 台，则 型号洗衣机 台，，
根据题意得： ，
解得： ，∴ 最大为40，
答：最多购进A型号洗衣机40台．
22．已知关于 ， 的方程组 的解满足 ．
(1) 的取值范围是________；
(2)若不等式组 的解集为 ，求符合条件的正整数 的值．
【答案】(1)
(2) 的值为
【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组；
（1）根据 得， ，得出 ，根据 ，即可求解；
（2）先解不等式 得出 ，根据不等式组的解集为 ，可得不等式 的解集为
．进而得出 ，结合（1）得结论，且 为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：
得，
∴
∵
∴
解得：
故答案为： ．
（2）解不等式 ，得 ．
∵不等式组 的解集为 ，
∴不等式 的解集为 ．
∴ ，解得 ．
由（1）知 ，
∴ ，且m为正整数，故正整数m的值为1．
23．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下 ，例如 ，
．
(1)填空： _________； _________；(2)若 ，求x的取值范围．
(3)若关于x的不等式 恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】(1)4，4
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等
式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，
解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
（1）根据新定义计算即可；
（2）先计算 ，然后将不等式 可转化为 ，解此不等式可得 的取值范围；
（3）先计算 ，因此可将不等式 可转化为 ，由此可解得
，再根据恰有两个正整数解，得到 ，解不等式组即可．
【详解】（1）解： ，
， ，
故答案为：4，4；
（2）解： ，
不等式 可转化为： ，
；
（3）解： ，
不等式 可转化为： ，
，
∵关于x的不等式 恰有两个正整数解，
∴ ，
解得： ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．
我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号
“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型
号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求
购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低
费用是多少？
【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元(2)共有4种购买方案，最低费用是5780元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用．
（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是 元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是 元，根据买
套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝” 套，则需购进甲种型号“文房四宝” 套，
根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文
房四宝”数量的 倍列一元一次不等式组求解得 ，再设总费用为 元，列出一次函数，利用一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是 元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是
元，
由题意可得 ，
解得 ， ．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元；
（2）解：设需购进甲种型号“文房四宝” 套，则需购进乙种型号“文房四宝” 套，
由题意可得： ，
解得 ，
又 为正整数，
可以取26，27，28，29；
共有4种购买方案，
设总费用为 元，则 ，
，
随着 的增大而增大，
当 时， 最小，最小值为 ，
答：共有4种购买方案，最低费用是5780元．
25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的
“相依方程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，不难发现
在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相依方程”．
(1)在方程① ：② ；③ 中，不等式组 的“相依方
程”是______；（填序号）(2)若关于x的方程 是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“相依方程”，且此时不等式组有5
个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是
解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组 ，解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得 ，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为： ， ，
， ， ，再求解 ，而 为整数，则 或0，分两种情况讨论，从而可得答案．
【详解】（1）解：① ，
整理得： ，
解得： ；
② ，
解得： ；
③ ，
解得： ；
，
解不等式 可得： ，
解不等式 可得： ，
所以不等式组的解集为： ；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；（2）解： ，
由①得： ，
由②得： ，
所以不等式组的解集为： ，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得： ；
（3）解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为： ， ， ， ， ，
，
∴ ，
则 ，
解得： ，而 为整数，则 或0，
当 时， ，∴ ，
因为 ，
解得： ，
根据“相依方程”的含义可得： ，
解 可得： ，
解 可得： ，
所以不等式组的解集为： ；
当 时， ，
∴ ，
综上： ．
