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第 05 讲 解题技巧专题：一元一次不等式(组)中含参数问题
目录
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】....................................................................................1
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】............................................................................................3
【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】.....................................................................4
【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】.................................................................6
【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】.......................................................10
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】................................................................13
【考点七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】............................................................16
【考点一 根据一元一次不等式的定义求参数的值】
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式 是关于 的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次
数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答．
【详解】解：依题意，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）若 是关于x的一元一次不等式，则m的值为
（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到 ，即可求出
m．
【详解】解：∵ 是关于 的一元一次不等式，
∴ ，
解得 ，故选：B．
2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若 是关于 的一元一次不等式，则该不等式的解
集是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、一元一次不等式的定义
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一
元一次不等式的定义求出 的值是 ；再把 代入不等式，整理得： ，然后求解即可．
【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得： ，
∴ ，
∴原不等式化为： ，
解得： ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式 是关于x的一元一
次不等式．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知
数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不鞥与0列式求
解即可．
【详解】解：∵不等式 是关于x的一元一次不等式
∴ 且 ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）已知 是关于 的一元一次不等式，则
．
【答案】
【知识点】绝对值方程、一元一次不等式的定义
【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到 ，解不等式即可得到答案，熟
记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
【详解】解： 是关于 的一元一次不等式，
，则 或 ，且 ，解得 ，
故答案为： ．
【考点二 根据一元一次不等式的解集求参数】例题：（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值是 ．
【答案】3
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解
题的关键．先用 表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于 的方程，求出 的值即可．
【详解】解：解不等式 得， ，
由数轴上不等式的解集可知， ，
，
解得 ，
故答案为：3．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川达州·期中）如果不等式 的解集是 ，那么a的取值范围是
．
【答案】
【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向改变．
由不等式的性质可知，不等式两边同时除以 时，不等式方向改变了，由此可确定 的符号，即可求
解．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于 的不等式 的解集，则 的值为 ．
【答案】1
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式
两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出 ，结合数轴知 ，据此可得关于 的方程，解之可得答案．
【详解】解：解不等式 得： ，
由数轴知不等式的解集为 ，
，
解得： ，
故答案为：1．
【考点三 利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式 只有3个正整数解，则m的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关
键．
首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围．
【详解】解：
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
∵不等式只有3个正整数解，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024七年级下·江苏·专题练习）若关于x的一元一次不等式 只有1个正整数解，则m的取值
范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】先解一元一次不等式可得 ，然后根据题意可得 ，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解： ，
解得 ，
∵一元一次不等式 只有1个正整数解，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知关于x的不等式 至少有三个负整数解，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等
式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等
式的整数解．根据关于x的一元一次不等式 至少有3个负整数解只能是 、 、 ，得出
，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 至少有三个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式 至少有的三个负整数解是： 、 、 ，
∴
∴解得： ．
故答案为：
3．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）若关于x的不等式 的正整数解是1，2，3，4，则整数a
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，根据不等式的解集列出关于a的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵关于x的不等式 的正整数解是1，2，3，4，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式 有2个正整数解，则a的取值范围是
．【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得 ，然后再根据题意可得： ，从而
进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∵不等式有2个正整数解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【考点四 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·四川成都·期中）若关于 的不等式组 只有3个整数解，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解情况可得关于a的不等式组，解之即可得出答案．
【详解】解：由 得： ，
由 得： ，
不等式组只有3个整数解，
不等式组的整数解为3、2、1，
则 ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（24-25七年级上·吉林·期末）若不等式组 的整数解有四个，则a的取值范围是
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四
个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
∵不等式组有四个整数解，即为 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·四川内江·阶段练习）若关于 的不等式组 只有4个整数解，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是根据不等式组只有4个整数解确定 的范围．
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解
的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
，
∵原不等式组只有4个整数解，
解得： ，
解得： ．
3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x的不等式组 所有整数解的和为9，则整数m
的值为 ．【答案】1或4/4或1
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解问题，先分别算出 的解集为
，再结合所有整数解的和为9，得出 或者 ，然后列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
即
∵关于x的不等式组 所有整数解的和为9
∴ 或者
则 或者
∴ 或
故答案为：1或4
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，则所
有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】根据题中所给不等式组，按照解一元一次不等式组的方法得到解集，再由关于 的不等式组
有且仅有3个整数解，确定 的范围，按要求得到整数解求和即可得到答案．
【详解】解： ，
由①得 ；
由②得 ；
∵关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，在数轴上表示满足题意的解集为：∴将数轴上 的范围表示为 ，解得 ，
∴满足条件的整数 的值为 ，
∴满足条件的整数 的值之和是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解含参数的不等式组、根据不等式组整数解的情况求参数范围、不等式的整数解等知识，
熟练掌握含参数的不等式组的解法，以及根据不等式组整数解的情况求参数范围是解决问题的关键．
5．（22-23七年级下·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组 的最大整数解与最小整数解的
和为 ，则满足条件的整数m的和为 ．
【答案】27
【知识点】求一元一次不等式组的整数解
【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为 ，进而计算可以得
解．
【详解】解：由题意， ，
由①得， ；由②得， ．
原不等式组的解集为 ．
这个不等式组的最大整数解为2．
又最大整数解与最小整数解的和为 ，
这个不等式组的最小整数解为 ．
．
．
满足题意的整数 有13，14．
满足题意的整数 的和为27．
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．【考点五 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】
例题：（23-24七年级下·全国·期中）若不等式组 ，的解集为 ，则m应满足的条件是
．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了不等式组的解集，先用含有m的式子表示不等式组的解集，再结合不等式组的解
集得出答案．
【详解】解不等式组 ，得 ．
∵不等式组的解集是 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）不等式组 的解集是 ，则a的取值范围是
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集．熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：∵不等式组 的解集是 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据
不等式组的解集为 建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于 的不等式组 无解，则 的取值范围为
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，
构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解得， ；
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组 的解集为 ，则 的值是
．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等
式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出 、 的值，再代入代数式进行计算即可得
解．
【详解】解： ，
解不等式①：
，
，，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为： ，
不等式组的解集为 ，
， ，
解得： ， ，
，
故答案为： ．
5．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于 的一元一次不等式组 的解集是 ．
则 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的
解集得出关于m的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的解集
为 可得答案．
【详解】
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组 的解集为 ，那么所有满足
条件的正整数a的值之和是 ．
【答案】15
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值．
首先求出不等式组 的解集为 ，然后根据 ，可以求得a的值，从而可以得到所
有满足条件的a的值之和．
【详解】解：由不等式组 得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
解得： ，
∵a是正整数，
∴ ， ， ， ，5
∴所有满足条件的正整数a的值之和为： ．
故答案为：15．
【考点六 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题】
例题：（2024·山东东营·二模）若关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】根据 、 是二元一次方程组 的解可知 的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵ 、 是二元一次方程组 的解，
∴ ，
∵关于 、 的二元一次方程组 的解满足 ，
∴ ，
∴解得： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·期中）关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应
用以上知识点是解题的关键．
解方程 得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
解得
关于 的方程 的解为非负数，
解得 ．
故答案为：
2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，则
a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把 当作已知数表示出
的值，再得到关于 的不等式．首先解关于 和 的方程组，利用 表示出 ，代入 即可
得到关于 的不等式，求得 的范围．
【详解】解： ，
①+②得 ，
则 ，而 ，
根据题意得 ，
解得 ．
故答案是： ．
3．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）若关于x的方程 的解是非正数，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，先解方程得到 ，再根据方程的解
为非正数得到 ，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵关于x的方程 的解是非正数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于 的方程 ，若该方程的解是不等式
的最大整数解，则 ．
【答案】2
【知识点】方程的解、求一元一次不等式的整数解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的
解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入
方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不等式 的最大整数解为2，
关于 的方程 的解是 ，
，
，
故答案为：2．【考点七 整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题】
例题：（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）若方程组 中未知数x、y满足 ，关于x的不
等式组 有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解的情
况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的
整数解是解此题的关键．
先根据方程组得出 ，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定 ，
得到整数a为 ， ，求和即可．
【详解】解：关于x，y的方程组
得
∵ ，
∴ ，
∴ ，
关于x的不等式组 ，
解不等式 得： ，
解不等式 得：x<2，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于x的不等式组 有且只有3个整数解，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴整数a为 ， ，其和为 ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·重庆·期中）若 使得关于 的不等式 至少2个整数解，且关于x，y的
方程组 的解满足 ，则满足条件的整数 之和是 ．
【答案】
【知识点】不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不
等式组至少有两个整数解得到 ；再利用加减消元法得到 ，则 ，据此求出
即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组至少2个整数解，
∴ ，
∴ ；
得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，
∴满足条件的整数 之和是 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，且关于、 的方程组 的解为整数，则所有满足条件的整数 的值之和为 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据
不等式组有且仅有4个整数解，得出 ，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示
出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数 的值，进而即可求出答案．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
关于 的不等式组有且仅有4个整数解，
，
解得 ，
，
得， ，
∵方程组有解，且a为整数，
∴a=−1或 ，
，
关于 、 的方程组的解为整数，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所有满足条件的整数 的值之和为 ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式 有且只有3个整数解，且关于
x，y方程组 的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ．
【答案】4或1或0
【知识点】不等式组和方程组结合的问题【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出 的范围，然后根据关
于 的方程组 的解为整数，列式计算，据此求解即可．
【详解】解： ，
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
不等式组 只有3个整数解，
∴ ，
∴ ，
解方程组 ，
得： ，解得 ，
将 代入④得： ，解得
方程组的解为： ，
∵ ，
∴ ，
关于 的方程组 的解为整数，
或 或 或 或 或 ，
或 或 或 或 ，
当 时， 不是整数，不符合题意；
当 时， 是整数，符合题意；
当 时， 不是整数，不符合题意；
当 时， 是整数，符合题意；当 时， 是整数，符合题意；
所有满足条件的整数 的值为4或1或0，
故答案为：4或1或0．
