文档内容
1.2 一定是直角三角形吗
课堂知识梳理
勾股定理的逆定理： 如果一个三角形的三边长 a，b，c满足a2＋b2＝c2，那
么这个三角形是直角三角形．
勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．（2022·全国·八年级课时练习）以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】
解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形就是直角三角形．
2．（2020·辽宁·沈阳兴华实验中学八年级阶段练习）下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3、5、7 B． 、 、C．5、12、13 D．0.3、0.4、0.5
【答案】C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为72≠32+52，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
B、因为 、 、 都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；
C、因为132＝52+122，所以它们是勾股数，故本选项正确；
D、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股数．解题关键是熟练掌握和运用勾股定理的逆定理：已知 ABC的三边满足a2+b2=c2，则
ABC是直角三角形． △
△3．（2021·湖南长沙·八年级期末）在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体
内容指的是（ ）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理的内容，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故A正确，符合题意；
B：没有指明直角边、斜边，故选项错误，不符合题意；
C：没有说明直角三角形，故选项错误，不符合题意；
D：勾股定理的逆定理，而不是勾股定理，故选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】此题考查了勾股定理的基础知识，熟练掌握理解勾股定理的内容是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，
B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则 ABC 的形状是（ ）
△
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论．
【详解】
解：由题意得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴∠BAC＝90°，
∴ 为直角三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键．
5．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古
代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形
的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A【解析】
【分析】
根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从而可得
大正方形的面积为a2+b2=13．
【详解】
解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21①，
∵小正方形的面积为5，
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②，
①+②得：2a2+2b2=26，
∴大正方形的面积为a2+b2=13，
故选：A．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积是解题关
键．
6．（2019·安徽·合肥市第四十五中学八年级期中）若a，b是 的两直角边长，若 ，
的面积24，则斜边c长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
由面积求解 ，再利用勾股定理求 即可．
【详解】
解： a，b是 的两直角边长， ，
设
的面积24，解得： （舍去），
故选B．
【点睛】
本题考查直角三角形的面积公式，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2022·全国·八年级课时练习）若 的三边长a，b，c满足 ，则 是
____________．
【答案】等腰直角三角形
【解析】
【分析】
根据平方的结果是非负数、绝对值的结果为非负数，再根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定进行判
定即可．
【详解】
解：∵
又∵ 、
∴ 、
∴ 、
∴ 是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识点，解答此题的关键是得出
、 ．
8．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2．
【答案】24
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面职为 即可得出结果．
【详解】
解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是 ＝ ＝24（cm2），
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理
论证与计算是解决问题的关键．
9．（2020·四川师范大学附属中学八年级阶段练习）三角形三条边长分别为8，15，17，那么最短边上的
高是_______．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据题意易得8、15、17是勾股数，因此可直接进行解答．
【详解】
解：由题意得：
，
所以三角形三条边长分别为8、15、17构成了直角三角形，则最短边上的高为15；
故答案为15．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及三角形的高，熟练掌握勾股定理及三角形的高是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级课时练习）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
【答案】11，60，61
【解析】
【分析】
由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为 ，由勾股定理得： ，计算求解即可．
【详解】
解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
∴知第5组第一个数是11，
第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为 ，
由勾股定理得： ，
解得x＝60，
∴第5组数是：11、60、61
故答案为：11、60、61．
【点睛】
本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．
11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且
CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；(2)求△ABC的周长．
【答案】(1) BDC为直角三角形，理由见解析；
△
(2) ABC的周长为= cm．
△
【解析】
【分析】
（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；
（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．
(1)解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
(2)解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x= ，
∴△ABC的周长=2AB+BC= （cm）．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．
12．（2019·山东·武城县育才实验学校八年级阶段练习）有一块土地，如图所示，已知AB=8,
,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积.
【答案】96．【解析】
【分析】
连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出 ACD的形状，根据S
四边形
=S -S 即可得出结论． △
ABCD ACD ABC
【详解△】 △
解：连接AC，
∵AB=8，∠B=90°，BC=6，
∴AC= ．
∵CD=24，AD=26，
∴CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S =S -S
四边形ABCD ACD ABC
△ △
= AC•CD- AB•BC
= ×10×24- ×8×6
=120-24
=96．
答：这块土地的面积是96．
故答案为96．
【点睛】
本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．培优第二阶——拓展培优练
13．（2021·云南德宏·八年级期末）在△ 中，已知 ， ， 边上的中线 ，过
点 作 ⊥ ，垂足为点 ，则 的长度是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即 再用勾
股定理求出AC的长，在Rt ADC中，利用等面积法即可求得DE的长．
【详解】 △
根据题意，画出图形，如图，
∵AD是 的中线，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，且
∴
在 中，，
∵ ，
∴
解得， ，
故填： ．
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进
行求解．
14．（2018·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）下列四组数：① ；② ；③
；④ 其中是勾股数的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】
【分析】
勾股数是满足 的正整数,根据勾股数的定义进行求解.
【详解】
解: ① , 是勾股数,
② , 是勾股数;
③ ,因为a不确定是整数,所以 不是勾股数;
④（32）2+（42）2≠（52 ）2, 不是勾股数;
故选B.
【点睛】
本题主要考查勾股数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握勾股数的定义.15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则
∠ABC 的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AC，利用勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，
∠ACB=90°，再根据三角形内角和定理得到答案．
【详解】
连接AC，
∵ ， ， ，
∴ ，AC=BC，
∴ ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
△
∴∠ABC= (180°-∠ACB)=45°．
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，勾股定理的逆定理，解决问题的关键是作辅助线构建三角形，熟练掌握等腰三角
形的定义和性质，熟练运用勾股定理的逆定理判断直角三角形．
16．（2020·福建·长汀县第四中学八年级阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号
每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”
号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【解析】
【分析】
先根据速度求出路程，再用勾股定理的逆定理判断出∠RPQ为90°，求出∠RPS即可．
【详解】
解：根据题意可知，
PQ=16×1.5=24（海里），
PR=12×1.5=18（海里），
因为QR=30，242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
所以∠QPR=90°．
由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS=50°．
因此∠RPS=∠QPR－∠QPS=90°－50°=40°，
即“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的逆定理以及速度路程的关系，正确得出各线段长是解题关键．
17．（2021·福建三明·七年级期中）我们从生活实际发现，当一个直角三角形两直角边长确定时，斜边长
也就确定了．古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为a，b，斜边长为c，则 ．
这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）
（1）如图1，4个全等的直角三角形（其两直角边长为a，b，斜边长为c）与1个小正方形（边长为b），不重叠无缝隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”；
（2）若直角三角形中两直角边的和 ，斜边c长为3，求直角三角形的面积；
（3）如图2，若 中， ， ， ，点M是 边上的动点，求线段 最短时的
长度．
【答案】（1）见解析；（2）直角三角形的面积为 ；（3）线段CM最短时的长度为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，可求解；
（2）根据（1）的结论以及完全平方公式的变形计算即可求解；
（3）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论．
【详解】
解：（1）题图中4个全等的直角三角形每个的面积为 ab，
由图形关系，知：大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，
即有c2=(b-a)2+4× ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
（2）由题意得： 9， ，
∵ ,
∴ ,
∴直角三角形的面积为 ；
（3）根据点到直线的距离垂线段最小，
当CM⊥AB时CM最小，
在Rt ABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得，AB=5，
△
∵ AC×BC= AB×CM，
∴CM= ，
故线段CM最短时的长度为 ．【点睛】
本题考查了勾股定理的证明和完全平方公式，解本题要理解题意，利用大正方形面积=小正方形面积+四个
直角三角形面积是解本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
18．（2021·山西·中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股
定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验
证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】
解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，
故选：C．
【点睛】
本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
19．（2021·湖北襄阳·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，
葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈
尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为
（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【详解】
设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故选：C.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键.
20．（2022·四川内江·中考真题）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵
爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得
到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积
分别为S、S、S．若正方形EFGH的边长为4，则S+S+S＝_____．
1 2 3 1 2 3
【答案】48【解析】
【分析】
设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S、S、S，即可得到答案．
1 2 3
【详解】
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S＝（a+b）2，S＝42＝16，S＝（a﹣b）2，
1 2 3
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S+S+S＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
1 2 3
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点睛】
本题考查了正方形的面积，勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形两直角边与三个正方形的面积
的关系，可寻找出三正方形面积之间的关系．
21．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅
五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与
股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2+1
【解析】
∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
