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第 03 讲 直角三角形(7 类热点题型讲练)
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
知识点1 直角三角形的性质定理及推论
定理1 直角三角形的两个锐角互余；
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
在直角三角形中，如果一个
的直角边等于斜边的一半；
定理2 角等于300，那么它所对的直
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
角边等于斜边的一半.
么这条直角边所对的角等于 .
知识点2 勾股定理及逆定理
图形 名称 定理 符号表示
边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边.
在 中，
B
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边
在 中，
勾股定理
c a 的平方.
，
勾股定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边
A b C 在 中，
逆定理 的平方和，那么这个三角形是直角三角形.，
知识点3 直角三角形全等的判定HL法
图形 定理 符号
A A'
如果两个直角三角形的斜边和一条直 在 中，
角边对应相等，那么这两个直角三角
，
形全等（简记：H.L）
B C C' B'
题型01 直角三角形的两个锐角互余
【例题】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）在 中， ，那么另一
个锐角 的度数是 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点D在斜边 上，
且 ，则 °．
2．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图， 中， ， ，
，若 恰好经过点 ， 交 于 ，则 的度数为 °
题型02 判断三边能否构成直角三角形【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，
则不能确定 是直角三角形的是（ ）
A． B． ，
C． D．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知 的三条边长 ， ， 满足
，则 的面积为 ．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）在 中，给出以下4个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
从中任取一个条件，可以判定出 是直角三角形的有 ．（填序号）
3．已知a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角
形，请说明理由．
题型03 在网格中判断直角三角形
【例题】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 ，求下列问题：
(1)试说明 是直角三角形；
(2)求点 到 的距离．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1， 的顶点A、B、
C均在网格的格点上， 边上的高长为 ．2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C
为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
题型04 利用勾股定理的逆定理求解
【例题】如图，点 在 中， ， ， ，
(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【变式训练】
1．在四边形 中， ，求四边形 的面积．2．如图，学校有一块三角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和 ，分别摆放
“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量， ， ， ， ， ，
，求四边形 的面积．
题型05 勾股定理逆定理的实际应用
【例题】如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 上的 处开凿隧道修通一条
公路到 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与公路上另一停靠站 的距离为 ，停靠
站 之间的距离为 ，且 ．
(1)求修建的公路 的长；
(2)一辆货车从 点到 点处走过的路程是多少？
【变式训练】
1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原因，
由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直
线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．
(1)求 的度数；
(2)求取水点A到取水点D的距离．
2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图， ， ， ， ．
(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了 ．写出技术人员
测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
题型06 全等的性质和HL综合
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，D为 边的中点，
于点E， 于点F， ．求证： 是等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ，
， ， ．求证： ．
2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图， ，垂足分别为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
题型07 全等的性质和HL综合
【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知 是 上的一点，且
．
(1) 和 全等吗？请说明理由；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知 ，点 在一条直线上，
与 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在 中，
F为 延长线上一点，点 E在 上，且 ．
(1)若 ，求 度数；
(2)求证： ；
(3)试判断 与 的位置关系．
一、单选题
1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在 中， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中） 中， ， ， 的对边分别记为a，b，c，有下列
说法错误的是（ ）
A．如果 ，则
B．如果 ，则 为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果 ，则 为直角三角形
3．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图， 是等腰 底边 边上的中
线， ， ，则 度数是（ ）A． B． C． D．
4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在 和 中，
，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．E为BC中点
5．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
二、填空题
6．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）如图所示， ，可使用“ ”判定 与
全等，则应添加一个条件是 ．
7．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）若 ，则由 ， ， 组成的三角形
是 三角形．
8．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，在 中，， ，将其沿 折叠，使点A落在 边上的 处，则 ．
9．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，过 上一
点D作 交 的延长线于点P，交 于点Q．若 ，则 ， ．
10．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在等腰梯形 中， ， ， ，
，直角三角板含 角的顶点 放在 边上移动，直角边 始终经过点 ，斜边 与 交
于点 ，若 为等腰三角形，则 的长为 ．
三、解答题
11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图， ，点B，E，F在同一直线上， ，
，求证 ．12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，
B，其中 ，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、
H、B在一条直线上），测得 千米， 千米， 千米，
(1)问 是否为从村庄C到河边的最近路？（即问： 与 是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．
(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．14．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，已知 ， ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求 的度数．
15．（2023上·河南濮阳·八年级校联考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，
我们称这两个角互为“开心角”
例如：在 中，如果 ， 为“开心三角形”
问题：如图， 中， ， ，点 是线段 上一点（不与 重合），连接
(1)如图1，若 ，则 是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若 是“开心三角形”，直接写出 的度数
16．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知在 中， ，D
是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运
动时间为t．连接 ．(1)当 时，则 ______；
(2)当 为以 为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 ？
