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第 03 讲 直角三角形(7 类热点题型讲练)
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
知识点1 直角三角形的性质定理及推论
定理1 直角三角形的两个锐角互余；
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
在直角三角形中，如果一个
的直角边等于斜边的一半；
定理2 角等于300，那么它所对的直
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那
角边等于斜边的一半.
么这条直角边所对的角等于 .
知识点2 勾股定理及逆定理
图形 名称 定理 符号表示
边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边.
在 中，
B
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边
在 中，
勾股定理
c a 的平方.
，
勾股定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边
A b C 在 中，
逆定理 的平方和，那么这个三角形是直角三角形.，
知识点3 直角三角形全等的判定HL法
图形 定理 符号
A A'
如果两个直角三角形的斜边和一条直 在 中，
角边对应相等，那么这两个直角三角
，
形全等（简记：H.L）
B C C' B'
题型01 直角三角形的两个锐角互余
【例题】（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）在 中， ，那么另一
个锐角 的度数是 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形两
锐角互余进行计算即可．
【详解】解：在 中， ，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，点D在斜边 上，
且 ，则 °．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到
，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出 ，即可求解，熟练掌握等腰三
角的性质及三角形内角和定理是解答的关键．【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）如图， 中， ， ，
，若 恰好经过点 ， 交 于 ，则 的度数为 °
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是
解答本题的关键．
根据直角三角形两锐角互余，求出 ，根据全等三角形对应边相等得到 ，全等三角形对应
角相等可得 ，然后根据等腰三角形的性质求出 ，再求出 ，然后根据三角形的外
角的性质得到结果．
【详解】解：由已知得，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
在 中，
．
故答案为： ．
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，
则不能确定 是直角三角形的是（ ）
A． B． ，C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结
果，熟练运用三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
B、∵ ， ， ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
C、设 ，则 ， ，
∵ ，
即 ，
解得 ，
则 ，
∴ 是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
D、∵ ， ，
∴ 即 ，
此时不能确定 或 是否为 ，
∴ 不确定是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知 的三条边长 ， ， 满足
，则 的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次
根式有意义的条件求出 、 、 是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出 ，根据非负数的性质分别求出 、 ，根据勾股定理的逆定理得到
，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解： ，
，
，故答案为：6．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）在 中，给出以下4个条件：
① ；② ；③ ；④ ．
从中任取一个条件，可以判定出 是直角三角形的有 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】由 可直接得出 是直角三角形，可判断①；由 ，结合三角形内角和定
理可求出 ，得出 是直角三角形，可判断②；由 ，可设 ，则 ，
，根据勾股定理逆定理即可证明 是直角三角形，可判断③；由 ，可设
，则 ， ，结合三角形内角和定理可求出 ，从而即可证明，可判断④．
【详解】解：① 可直接得出 是直角三角形；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故 是直角三角形；
③∵ ，故可设 ，则 ， ，
又∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形；
④∵ ，故可设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∴ 不是直角三角形．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题
关键．
3．已知a，b，c满足 ．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角
形，请说明理由．
【详解】（1）根据题意得： ， ， ，
解得： ， ， ．（2）能构成直角三角形，
，
，
，
以 、 、 为边长的三角形是直角三角形．
三角形的面积是： ．
题型03 在网格中判断直角三角形
【例题】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 ，求下列问题：
(1)试说明 是直角三角形；
(2)求点 到 的距离．
【详解】（1）解：由图可知：
， ， ．
是直角三角形
（2）由（1）可知： ， ，
点 到 的距离是 ．
故答案为
【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1， 的顶点A、B、
C均在网格的格点上， 边上的高长为 ．
【答案】
【分析】由勾股定理可得 ， ， ，由勾股定理的逆定理判断 是直角三角形，
然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由勾股定理得： ， ， ，
，
为直角三角形， ，
设 边上的高为 ，
，
，
，
上的高为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，二次根式的乘法运算，熟练
掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C
为顶点的 ，请根据所学的知识回答下列问题：
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【详解】（1）解： 是直角三角形，
理由： ， ， ，
所以 ，所以 是直角三角形；
（2） 的面积： ．
题型04 利用勾股定理的逆定理求解
【例题】如图，点 在 中， ， ， ，
(1)求 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
，
（2）∵ ， ，
，
是直角三角形， ，
．
故图中阴影部分的面积为 ．
【变式训练】
1．在四边形 中， ，求四边形 的面积．
【详解】解：连接 ，
∵∠B=90°，
∴ 为直角三角形，
∵ ，根据勾股定理得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
答：四边形 的面积36．
2．如图，学校有一块三角形空地 ，计划将这块三角形空地分割成四边形 和 ，分别摆放
“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量， ， ， ， ， ，
，求四边形 的面积．
【详解】解：由题意得： ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
是直角三角形，且 ，
．
答：四边形 的面积为18．
题型05 勾股定理逆定理的实际应用
【例题】如图，在笔直的公路 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 上的 处开凿隧道修通一条
公路到 处，已知点 与公路上的停靠站 的距离为 ，与公路上另一停靠站 的距离为 ，停靠
站 之间的距离为 ，且 ．(1)求修建的公路 的长；
(2)一辆货车从 点到 点处走过的路程是多少？
【详解】（1）解： ， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
（ ）．
故修建的公路 的长是 ；
（2）解：在 中， （ ），
故一辆货车从 点到 处的路程是 ．
【变式训练】
1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 ，由于某种原因，
由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A，D，B在同一条直
线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．
(1)求 的度数；
(2)求取水点A到取水点D的距离．
【详解】（1）∵ 千米， 千米， 千米，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）设 千米，则 千米，
∴ 千米，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ．答：取水点A到取水点D的距离为 千米．
2．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如
图， ， ， ， ．
(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了 ．写出技术人员
测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
【详解】（1）测量的是点A，C之间的距离；
依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如图，连接 ，
∵由（1）得 ，
在 中， ，
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （平方米），
（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
题型06 全等的性质和HL综合
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在 中， ，D为 边的中点，
于点E， 于点F， ．求证： 是等边三角形．【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用三角形全等，证明 ，继而证明三角形的三边相等即
可．
【详解】证明：∵D为 边的中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ 是等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ，
， ， ．求证： ．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先由 ，得 ，再结合 ， ，
，则通过“ ”证明 ，即可作答．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图， ，垂足分
别为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）根据 “如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可
证明；
（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．即四边形 的面积是12．
题型07 全等的性质和HL综合
【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知 是 上的一点，且
．
(1) 和 全等吗？请说明理由；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ．理由见解析
(2) 是等腰直角三角形．理由见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的全等判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的定义，熟练
的证明直角三角形全等是解本题的关键；
（1）先证明 ，再证明 即可；
（2）由全等三角形的性质可得 ，再证明 ，从而可得结论．
【详解】（1）解： ．理由如下：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ．
．
（2） ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等腰直角三角形．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知 ，点 在一条直线上，与 交于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质．
（1）根据 证明两个三角形全等；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可求解．
【详解】（1）解：证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
．
（2）解： ，
，
由（1）知 ，
，
．
2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在 中，
F为 延长线上一点，点 E在 上，且 ．
(1)若 ，求 度数；
(2)求证： ；
(3)试判断 与 的位置关系．
【答案】(1)
(2)见详解(3)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出
所要证明结论需要的条件．
（1）根据在 中， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 ，可以
得到 和 全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；
（2）根据 ，可以得到 ，然后即可转化为 的关系，从
而可以证明所要证明的结论；
（3）根据 ， ， ，结合 ，即可作答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解： ，过程如下：
延长 交 于一点H，如图
∵ ，
∴ ，由（1）知 ，
∴ ，
∴ .
一、单选题
1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在 中， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
故选：B．
2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中） 中， ， ， 的对边分别记为a，b，c，有下列
说法错误的是（ ）
A．如果 ，则
B．如果 ，则 为直角三角形
C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数
D．如果 ，则 为直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定
理，勾股数的定义进行分析判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故不符合题意；
B、∵ ， ，∴ ，
∴ 不是直角三角形，故符合题意；
C、∵a，b，c长分别为6，8，10，
∴ ，且a，b，c的长都是正整数，
∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；
D、∵ ①，
②，
将①代入②得： ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
3．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图， 是等腰 底边 边上的中
线， ， ，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三
角形的性质是解题的关键．首先根据题意得到 ， ，然后求出
，然后求出 ，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】∵ 是等腰 底边 边上的中线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在 和 中，，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．E
为BC中点
【答案】D
【分析】根据斜边直角边定理，可得 ，运用全等三角形的性质，可推 ，
．
【详解】解：
A. ∵
∴ ，故结论成立，本选项不合题意；
B. ∵
∴ ，故结论成立，本选项不合题意；
C. 如图，∵
∴ .
∵
∴
∴ ．故结论成立，本选项不合题意；
D. 根据题目条件无法推证E为BC中点，本结论错误，本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和性质，由全等三角形得到线段相等、角相等是解题的关键．
5．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．
C． 的面积为5 D．点A到 的距离是1.5
【答案】D
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握
勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出 长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定
C；利用面积公式求出 边 的高，即可利用点到直线的距离判定D．
【详解】解：A、 ， ， ，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，本选项结论正确，不符合题意；
C、 ，本选项结论正确，不符合题意；
D、点A到 的距离 ，本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）如图所示， ，可使用“ ”判定 与
全等，则应添加一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等
三角形的判定定理有 ，两直角三角形全等含有 ．
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只有符合两直角三角形全等的判定定理 即可，条件可以是
或 ．
【详解】解：添加的条件是 ，
理由是：∵ ，∴在 与 中 ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）若 ，则由 ， ， 组成的三角形
是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于
0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．根据非负数的性质列式求
出 、 、 的值， 再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形 ．
【详解】解：根据题意得， ， ， ，
解得 ， ， ，
，
此三角形是直角三角形 ．
故答案为： 直角三角形 ．
8．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，在 中，
， ，将其沿 折叠，使点A落在 边上的 处，则 ．
【答案】 /20度
【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出 ，再根据折叠性质即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由翻折的性质可得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，过 上一
点D作 交 的延长线于点P，交 于点Q．若 ，则 ， ．【答案】 2 2
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性
质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得 是等边三角形，从而利用等边
三角形的性质可得 ， ，再利用垂直定义可得 ，从而利用直角
三角形的两个锐角互余可得 ，然后在 中，利用含30度角的直角三角形的性
质可得 ，从而可得 ，最后利用对顶角相等可得 ，从而可得
，进而利用等角对等边即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2，2．
10．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，在等腰梯形 中， ， ， ，
，直角三角板含 角的顶点 放在 边上移动，直角边 始终经过点 ，斜边 与 交
于点 ，若 为等腰三角形，则 的长为 ．【答案】 或 或2
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定
理等知识．分三种情况讨论：①当 时，过点D作 于点G，根据等腰梯形的性质，易证四
边形 是矩形，进而证明 ，得到 ， 的长，由勾股定理求得 ，
然后证明 是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出 的长；②当 时，利用等腰梯形
的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得 ，进而得到 ，再利用
，即可求出 得长；③当 时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形
内角和定理，求得 ，进而利用勾股定理，得出 的长，再利用三角形内角和定理，易证
是等腰直角三角形，得到 ，最后由勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：①如图1，当 时，过点D作 于点G，
等腰梯形 中， ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在 中， ，
；
②如图2，当 时，
，
等腰梯形 中， ，
，
，，
，
，
，
，
， ，
；
③如图3，当 时，
等腰梯形 中， ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在 中， ；
综上所述，CF的长为 或 或2．
故答案为： 或 或2．
三、解答题
11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图， ，点B，E，F在同一直线上， ，
，求证 ．【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出 ，由 证明 即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ．
12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，
B，其中 ，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、
H、B在一条直线上），测得 千米， 千米， 千米，
(1)问 是否为从村庄C到河边的最近路？（即问： 与 是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线 的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)2.5千米
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）根据勾股定理逆定理，求出 ，即可；
（2）设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：是，理由如下：
∵ 千米， 千米， 千米，
∴ ，∴ ，即： ，
∴ 是从村庄C到河边的最近路；
（2）设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理，得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 千米．
13．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．
(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【答案】(1) ， ，
(2)直角
(3)
【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．
（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现
即可判定三角形的形状．
（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．
【详解】（1）由题可知， ；
；．
（2）解：∵ ， ， ；
∴ ；
∴ 为直角三角形．
（3）如下图，过点 作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
∵ 是直角三角形；
∴ ；
∴ ；
∴ ．
14．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，已知 ， ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理的逆定理判断出 为
直角三角形是解题的关键．
（ ）根据勾股定理直接计算即可求解；（ ）根据等腰直角三角形的性质得到 ，又由勾股定理的逆定理得到 ，利
用角的和差关系即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
15．（2023上·河南濮阳·八年级校联考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，
我们称这两个角互为“开心角”
例如：在 中，如果 ， 为“开心三角形”
问题：如图， 中， ， ，点 是线段 上一点（不与 重合），连接
(1)如图1，若 ，则 是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若 是“开心三角形”，直接写出 的度数
【答案】(1) 是“开心三角形”，理由见解析
(2) 或 或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟
练运用是解题的关键．
（1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，再利用“开心三角形”
的定义解答即可；
（2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可．
【详解】（1）解： 是“开心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，在 中， ，
，
为开心三角形”，
在 中， ，
，
为开心三角形”；
（2）解：若 是“开心三角形”，由于点 是线段 上一点（不与 ， 重合），
则 或 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上， 的度数为 或 或 ．
16．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，已知在 中， ，D
是 上的一点， ，点P从B点出发沿射线 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运
动时间为t．连接 ．
(1)当 时，则 ______；
(2)当 为以 为腰的等腰三角形时，求t的值；
(3)过点D作 于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使 ？
【答案】(1)20
(2)t的值16或5
(3) 或11
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可．
（2）分 ， 两种情况进行讨论求解即可；
（3）分点P在C点的左侧和点 在 点的右侧，两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）当 时，如图：由题意，得： ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，即： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：20．
（2）①当 时，如图
∵
∴ ，
∴ ；
②若 ，则 ，
在直角三角形 中， ，
∴
解得： ；
综上所述：t的值16或5；
（3）∵ ，
∴ ，①若P在C点的左侧，则 ，
∴ ．
又 ， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得： ；
②若P在C点的右侧，则 ，
∴ ，
同法可得： ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
综上所述： 或11．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用
数形结合和分类讨论的思想，进行求解．
