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第 05 讲 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线
目录
【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】.................................................................................................................1
【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】....................................................................................................................15
【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】...............................................................................................29
【考点 一等腰三角形中底边有中点时，连中线】
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 为 边的中
点，点 、 分别在射线 、 上，且 ，连接 ．
1/36
学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
①证明： ．
②直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或17
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角
形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接 ，即可证明 ；②根据 ，看图即可得出结论；
（2）连接 ，即同（1）可证明 ，根据 看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司,
∴ .
②∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（2）解：如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即 ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
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学科网（北京）股份有限公司∴ .
∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（3）如（1）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴ .
②如（2）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知 ， ，则 ；
（2）已知 ，则 ；
（3）已知 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】三线合一
【分析】本题主要考查了三线合一定理：
（1）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解；
（3）由等腰三角形的性质“三线合一”可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ，，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， 为 的中点，
于点 ， ，求 的长．
【答案】 ．
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含 的特殊直角三角形的性质．连接 ，利用等边
对等角得 ，在 中，得 ，在 中，得 ，即可求出 的长，熟练
运用三线合一的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ， 为 的中点，
∴ ， 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图， 是等腰直角三角形， ，D为斜边 的中点，E，
F分别为 边上的点，且 ．若 ， ．求 的长．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与
判定是解题的关键；连接 ，根据等腰直角三角形的性质，易证 ，得到 ，得
到 ，然后利用勾股定理，即可求出 ．
【详解】解：如图，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，点P为 边的中点，
于点D．
(1)求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形的性质：
（1）根据等边对等角，利用三角形内角和定理进行求解即可；
（2）连接 ，根据三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可。
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明：连接 ，则 ，
由（1）知， ．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在
的延长线上，点 在 的延长线上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据三线合一证明、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质：
（1）连接 ，根据题意可得 ，再由等腰三角形的性质可得 ，从而得到
，再由 ，可得 ，可证明 ，即可求证；
（2）在 中，利用勾股定理解答，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图， 是等腰直角三角形， ， 是 的中点，
，点 ， 在 ， 上．
(1)求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司(2)连接 ，则 、 、 之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得
成为解题的关键．
（1）如图：连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而证明 ，最后
根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得 ，进而得到 ；由勾股定理可得 ，最后根
据等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
，
，
是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（2）解： ，理由如下：
，
，
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，
，
．
8．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】
如图①，在 中， ， 是中线，若 ，则 的度数为_______ ；
【探究2】
如图②，在 和 中， ， ， ， 分别为 和 的中线，若
， ，则 的度数为 ______ ；
【探究3】
如图③，在 和 中， ， ， ， 分别为 和 的中线， 与
交于点 ，若 ，则 的度数为_______ ．
【答案】【探究1】 ；【探究2】 ；【探究3】
【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质，
[探究1]根据等腰三角形的性质得 ，由三角形内角和定理求得 ，利用“三线合一”性质即可求
得答案；
[探究2]由等腰三角形的性质和三线合一性质得 和 ，结合角度之间的关系
即可求得答案；
[探究3]由等腰三角形的性质和三线合一性质得 和 ，结合三角形内角和定理得
和 ，再次结合三角形内角和定理得到 即可求得答案．
【详解】解：[探究1]∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，则 是 的角平分线
∴ ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司[探究2] ， ， 、 分别为 和 的中线
， ，
，
；
故答案为： ．
[探究3]∵ ， ，
∴ 和 是等腰三角形，
∵ 、 分别为 和 的中线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知锐角 中， 、 分别是边 、 上的高，
M、N分别是线段 、 的中点．
(1)求证： ；
(2)连接 、 ，猜想 与 之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三
角形的内角和定理，
（1）连接 、 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ， ，从而得
到 ，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）根据三角形的内角和定理可得 ，再根据等腰三角形两底角相等表示出
，然后根据平角等于180°表示出 ，整理即可得解；
【详解】（1）证明：如图，连接 、 ，
∵ 、 分别是 、 边上的高， 是 的中点，
∴ ， ，
∴
又∵ 为 中点，
∴ ；
（2）解：在 中， ，
∵ ，
∴
∴ ；
10．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在 中， ， 且 的顶点E在边
上移动，在移动过程中，边 ， 分别与 ， 交于点M，N，
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 且M与A重合时，求证：
(2)当E为 中点时，连接 ，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、根据三线合一证明
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，利用三角形外角的性质与等量代换可得
，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接 ，在 上截取 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，
，证得 ，可得 ， ，利用等量代
换可得 ，证得 ，可得 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，在 上截取 ，
∵ ， ，E为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【考点 二等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，
点 在边 上， ，若 ，求 的长．
【答案】2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含 角的直角三角形的性质．作 交 于 ，由等腰三
角形的性质可得 ，由含 角的直角三角形的性质得出 ，计算出 即可得到答案．熟
练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中 所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 交 于 ，
，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为
12m，则底边上的高是 m．
【答案】6
【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形、等边对等角
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等．作
于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得 ，再根
据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作 于点D，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：6．
2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ，D为 上一点，连接 ，
且 ，则 为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
属于中考常考题型．作 于 ．设 ，则有： ，由此构建方程
求出 即可解决问题．
【详解】解：如图，作 于 ．
， ，
，设 ，
则有： ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知 ， ， 与
的面积和为10，则 的平方 ．
【答案】76
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
作 ， ，证明 ，推出 ，设 ，
，利用完全平方公式求出 ，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作 于点H，过点D作 于点K．
， ，
， ， ．
，
．
，
，
又 ，
，
，
设 ，
．
与 的面积和为10，
即 ， ，
在 中， ，
即 ，
，
，
．
故答案为：76．
4．（23-24九年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，等腰三角形 中， ， ，点P是底边
上一动点， 、 分别与 、 两边垂直，垂足分别为D、E，则 的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意画出图形，然后过A点作 于F，连
接 ，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得 的长，由图形得 代入数值，
解答出即可．
【详解】如图所示，过A点作 于F，连接 ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即
∴
故答案为： ．
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在 中， ， ，
，求证 ．
（2）如图2所示，在 中， ， ，延长 至 使 ，求 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据三线合一证明
【分析】（1）作 交 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 ，由
题意得 和 ，利用等角对等边可得 ，利用三线合一的性质得 ，结合含
角的直角三角形性质得 ，可证明 ，即可证得结论；
（2）在 上取 ，连接 ，作 平分 ，交 于 ，交 于 ，根据题意得
，利用等腰三角形两腰上的高相等得 ，结合含 角的直角三角形性质得
，由题意得 ，即可求得 ，即可求得答案．
【详解】解：（1）作 交 于 ，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 ，
如图，
， ，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
（2）在 上取 ，连接 ，作 平分 ，交 于 ，交 于 ，如图，
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学科网（北京）股份有限公司平分 ， ，
， ，
，
，
即 是等腰三角形，
作 ，则 （等腰三角形两腰上的高相等），
，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三线合一的性质、全等三角形的判定和性质和含 角的
直角三角形性质，解题的关键是添加辅助线并找到对应边角之间的关系．
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点 ， 在 的边 上， ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，过点 作 于点 ，如果 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明
【分析】（1）过 作 于点 ，根据三线合一可得： ， ，即可证明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）过 作 于点 ，易证 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图过 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过 作 于点 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质“三线合一”，熟练掌握全等三角形的判定
方法是解题的关键．
7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 延长线上，且
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若等边 的边长为6， 求 的长；
(3)求证： ；
(4)如图，当点 在 的延长线上，点 在 延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)（3）中的结论仍然成立，证明见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三线合一、含30度角的直角三角形
【分析】（1）根据等边三角形的性质，等边对等角，结合三角形的外角，即可得出结论；
（2）过 作 于 ，利用等边三角形的性质，含 度角的直角三角形的性质，以及三线合一，进
行求解即可；
（3）过 作 交 于点 ，易得 是等边三角形，得到 ，证明 ，
得到 ，等量代换即可得出结论；
（4）过 作 交 的延长线于 ，证明 是等边三角形，得到 ，证明
，得到 ，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
，
，
， ，
；
（2）如图，过 作 于 ，
，
．
等边 的边长为6，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
．
．
；
（3）证明：如图2，过 作 交 于点 ．
，
又 ，
是等边三角形．
，
，
，
又 ，
，
．
由（1）得， ，
又 ．
．
．
，
；
24/36
学科网（北京）股份有限公司（4）（3）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，过 作 交 的延长线于 ，则 ，
，
是等边三角形．
， ．
，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
．
又 ， ，
，
．
．
．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，三线合一，含30度角的直角三角形，全等三角
形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形，是解题的关键．
8．在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的异侧）点D
是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合
一证明
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，根
据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即可
得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形性
质及线段和差即可得到 ．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
26/36
学科网（北京）股份有限公司则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
27/36
学科网（北京）股份有限公司，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
28/36
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
【考点 三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
模型解析：：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得
即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
例题：（24-25八年级上·广东肇庆·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如
图1， 平分 ．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证：
．
（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ；见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，
（1）根据“ ”证明 即可得出结论；
（2）先证 ，再证 得出 ，进而即可得解；
（3）如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，证出 和
，然后进行线段的等量代换即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】（1）在 和 中，
，
；
（2） ，理由如下：
由（1）得， ，
，即 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3） ．理由如下：
如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，
，
，
，
，
，
30/36
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，即 ，
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分
．点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得
，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述构
造全等的办法，求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形
土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【答案】（） ；（） ，理由见解析；（） ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）、等边对等角
【分析】（）延长 交 于点 ，由已知可知 ，再由等腰三角形的在得 ，
然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（ ）延长 交于点 ，证 ，得 ，再由已知可知 ，即
可得出结论；
（ ）延长 交 于 ，由已知可知 ， ，则 再由三角形面积关系得
，即可得出结论．
【详解】（）如图 ，延长 交 于点 ，
由已知可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（ ） ，证明如下：
如图，延长 交于点 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由已知可知， ，
∴ ；
（ ）如图，延长 交 于 ，
由已知可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以
及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
2．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）【情境建模】学校数学社团活动时遇到下面一个问题：
如图1，点 在 的角平分线上，过点 作 的垂线分别交 、 于点 、 ．求证：
．请你帮助完成此证明．
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学科网（北京）股份有限公司【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题：
（1）将图1沿着过点 的直线折叠，得到图2，使点 正好与边 上的点 重合，此时测得
．求 的度数．
（2）如图3， ， 平分 交 于 ，若 ， ，求边 的长度．
【拓展提升】
（3）如图4， 是某小区绿化施工的一块区域示意图，其中 ， 米， 米．该
绿化带中修建了健身步道 、 、 、 、 ，其中入口 、 分别在 、 上，步道 、
分别平分 和 ， ， ．现要用围栏完全封闭 区域，修建地下排水和
地上公益广告等设施，试求至少需要围栏多少米？（步道宽度忽略不计）
【答案】【情景建模】见解析；（1） ；（2） ；（3）至少需要围挡40米．
【分析】情景建模：利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，求证 即可解题．
（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系，再应用第一问的
条件和结论结合方程即可解题．
（2）延长 和 相交于点 ，利用勾股定理和第一问的结论得出 ,即可解题．
（3）延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，得三角形全等，利用全等得性质，将 转化为 ，
再用代数式表示出 、 、 即可解题．
【详解】情境建模
证明： 点 在 的角平分线上，
，
由题知 ，
，
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，
，
（1）解： 点 、点 关于直线对称，
直线垂直平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
（2）解：延长 和 相交于点 ，如图所示：
，
，
平分 ， ，
，
，
在 中 ，
（3）解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司、 分别平分 和 ， ， ，
由“情境建模”的结论得： ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， 米， 米，
米
设 ， ，则 ， ，
， ，
， ， ，
，
，
的周长
答：至少需要围挡40米．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理，本题的关
键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质，求解角和边．
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