第一章第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)（原卷版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考

第 08 讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3 类热点题型讲练) 目录 【类型一 共顶点的等边三角形】....................................................................................................................1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】..........................................................................................................10 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】..........................................................................................................18 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点 是 上一点， 、 都是 等边三角形，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ． (1)求证：(2)连接 ，判断 的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， ，其中 ． (1)求证： ； (2)如图2，当点 在一条直线上时， 交 于点 ， 交 于点 ，求证： ； (3)利用备用图补全图形，直线 ， 交于点 ，连接 ，若 ， ，直接写出 的长． 2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图， ， 都是等边三角形．求证： ． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图 的基础上若 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，求 证： 平分 ；(3)在（ ）的条件下再探索 ， ， 之间的数量关系，并证明． 3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知 是等边三角形， 为射线 上一动点，连接 ，以 为边在直线 右侧作等边三角形 ． (1)如图1，当点 在 边上时，连接 ，此时 ， ， 之间的数量关系为______， ______； (2)如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，（1）中 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程； (3)如图3，当点 在射线 上运动时，取 的中点 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出 的度数． 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习） 和△ADE都是等腰直角三角形， ． (1)如图1，点D、E在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证 明） (2)如图2，点D在 内部，点E在 外部，连接 ， ，则 ， 满足怎样的数量关系和位 置关系？请说明理由． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1， 与 均为等腰直角三角形， ，则线段 、 的数量关系为_______， 、 所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上， 为 中 边上的高，请判断 的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC 上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC， CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在 的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 3．（2023春·全国·七年级期中）如图， 与 为等腰直角三角形， ， ， ， ，连接 、 ． (1)如图 ，若 ， ，求 的度数； (2)如图 ，若 、 、 三点共线， 与 交于点 ，且 ， ，求 的面积； (3)如图 ， 与 的延长线交于点 ，若 ，延长 与 交于点 ，在 上有一点 且 ，连接 ，请猜想 、 、 之间的数量关系并证明你的猜想．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若 ABC和VADE均为等腰三角形，且AB AC  AD AE， 当ABC和ADE互余时，称 ABC与VADE互为“底余等腰三角形”， ABC的边BC上的高AH叫做 VADE的“余高”． (1)如图1， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为 “底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）； (2)如图1， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，当0BAC180时，若VADE的“余高”是AH ． ①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②求证：DE2AH ． (3)如图2，当BAC90时， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE，若BD6， CE8，请直接写出AB的长．【变式训练】 1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、 为腰在 左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ． (1)如图1，当 时， ① 、 的形状是____________； ②求证： ． (2)若 ， ①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”， 我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ， ， 与 为“同源角”．(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则 ______°． (3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形． 3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三 角形”． (1)如图①，在 与 中， ，当 、满足条件____时， 与 互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在 与 互为“兄弟三角形”， ， 相交于点M，连 ，求证： 平分(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，求 的度数．