第一章第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考

第 08 讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3 类热点题型讲练) 目录 【类型一 共顶点的等边三角形】....................................................................................................................1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】..........................................................................................................10 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】..........................................................................................................18 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点 是 上一点， 、 都是 等边三角形，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ． (1)求证：(2)连接 ，判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) 是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质， （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明 ，即可得证； （2）由（1）可得 ，继而得到 ，证明 ，得 ， 根据等边三角形的判定即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ 与 为等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ∴ ； ∴ ； （2） 为等边三角形． 理由：∵ ， ， ∴ ， ∵ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ，∵ ， ∴ 是等边三角形． 【变式训练】 1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， ，其中 ． (1)求证： ； (2)如图2，当点 在一条直线上时， 交 于点 ， 交 于点 ，求证： ； (3)利用备用图补全图形，直线 ， 交于点 ，连接 ，若 ， ，直接写出 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ； （2）由“ ”可证 ，可得 ； （3）如图3，过点 作 于 ， 于 ，由面积法可求 ，可证 ， 由直角三角形的性质可求 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明： 和 是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中，， ， ； （2）证明： ， ， 点 在线段 上， ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）解：如图3，过点 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构 造全等三角形是解题的关键． 2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究． 教材再现：如图， ， 都是等边三角形．求证： ． (1)请写出证明过程； 继续研究： (2)如图，在图 的基础上若 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ，求 证： 平分 ； (3)在（ ）的条件下再探索 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) ，理由见解析． 【分析】（ ）根据等边三角形性质得出 ， ， ，求出 ，根据 证 即可； （ ）过点 分别作 ， ，垂足为点 ， ，由得到 ，从而 ，故有 ，根据角平分线判定即可求证； （ ）在 上截取一点 ，使得 ，证明 是等边三角形，即可证明 ， 从而得证． 【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ （2）如图，过点 分别作 ， ，垂足为点 ， ， 由（ ）知： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 在 的平分线上， 即 平分 ； （3） ，理由： 如图，在 上截取一点 ，使得 ，由（ ）知： ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ 由（ ）得： 平分 ， ∴ ， ∴ 是等边三角形，又 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的 综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解答的关键． 3．（2023上·山西·八年级校联考期中）已知 是等边三角形， 为射线 上一动点，连接 ，以 为边在直线 右侧作等边三角形 ．(1)如图1，当点 在 边上时，连接 ，此时 ， ， 之间的数量关系为______， ______； (2)如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，（1）中 ， ， 之间的数量关系是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程； (3)如图3，当点 在射线 上运动时，取 的中点 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出 的度数． 【答案】(1) ； (2)不成立， ，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明 ，可得 ， ，即可得到 ， ， 之间的数量关系； （2）同（1）中原理证明 ，可得 ， ， 之间新的数量关系； （3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接 ，取 的中点 ，连接 ， 根据 ，证明 ，则可得 ，当 时，取最小值，则 此时也 去最小值，即可求得此时 的值，见手拉手模型则考虑证全等，将 转换到 中等量的中线看 最小值，是解题的关键． 【详解】（1）解： 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ，即 ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 即 ， 故答案为： ； ； （2）不成立， ，证明如下：证明： 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ，即 ， 在 与 中， ， ， ， ， 即 ； （3）解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， 根据（1）中原理，可得 ， ， ， 点 是 的中点，点 是 的中点， ， 在 与 中， ， ， ， 当 时， 取最小值， 此时 也取得最小值， 此时 ， 故当 的值最小时， 的度数为 ．【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023春·全国·八年级专题练习） 和△ADE都是等腰直角三角形， ． (1)如图1，点D、E在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证 明） (2)如图2，点D在 内部，点E在 外部，连接 ， ，则 ， 满足怎样的数量关系和位 置关系？请说明理由． 【答案】(1) ， (2) ， ，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形 结合线段的和差即可得到结论； （2）延长 ，分别交 、 于F、G，证明 ，根据全等三角形的性质、垂直的定义解 答； 【详解】（1）解：∵ 和△ADE都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ，∵点D，E在 ， 上， ， ∴ ； （2） ， ， 理由如下：延长 ，分别交 、 于F、G， ∵ 和△ADE都是等腰直角三角形， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ； 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相 关的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1， 与 均为等腰直角三角形， ，则线段 、 的数量关系为_______， 、 所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上， 为 中 边上的高，请判断的度数及线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ， ；（2） ， ；理由见解析 【分析】（1）延长 交 于点H， 交 于点O．只要证明 ，即可解决问题； （2）由 ，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长 交 于点H， 交 于点O， ∵ 和 均为等腰直角三角形， ， ∴ ，CDCE， ∴ACEECBBCDECB90， ∴ACEBCD， ACE≌ BCDSAS   ∴ ， ∴AEBD，CAECBD， ∵CAEAOC 90，AOC BOH ， ∴BOH CBD90， ∴AHB90， ∴AEBD． 故答案为：AEBD，AEBD． （2）ADB90，AD2CM BD； 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE 90， ∴CDECED45， ∴AEC 180CED135， 由（1）可知： ACE≌  BCD，∴AEBD，BDC AEC 135， ∴ADBBDCCDE 1354590； 在等腰直角三角形DCE中，CM 为斜边DE上的高， ∴CM DM ME， ∴DE2CM ， ∴ADDEAE2CM BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全 等三角形解决问题． 2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC 上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE． （1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD； （2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC， CE， CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE， CD之间存在 的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2） 结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由见解析；（3） ； ，理由见解析 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得BC=BD+CD=CE+CD成立； （2）同样证明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可证得 成立，故 BC=CE+CD不成立； （3）补全图形，同样证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性质即可作出结论： ； ． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AB=AC，AD=AE，∴ ∴ ∴ △BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE ∴BC=BD+CD=CE+CD （2）结论BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下： 又∵AB=AC，AD=AE （3） ； ；理由如下： 补全图形如图3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， 由（1）同理可得， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°， ∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°， 即 ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质， 证明三角形全等是解答的关键． 3．（2023春·全国·七年级期中）如图， 与 为等腰直角三角形， ， ， ， ，连接 、 ． (1)如图 ，若 ， ，求 的度数； (2)如图 ，若 、 、 三点共线， 与 交于点 ，且 ， ，求 的面积； (3)如图 ， 与 的延长线交于点 ，若 ，延长 与 交于点 ，在 上有一点 且 ，连接 ，请猜想 、 、 之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3) ，理由见解析 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出 EF，可得结论． （3）如图3中，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG （ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）解：如图 中， ，， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 中，过点 作 于 ． 同理可得： ≌ ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ≌ ，， ， ， ， ； （3）如图 中，结论： ． 理由：如图过点 作 交 的延长线于 ， ， ， ， ， 同理： ≌ ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ， ， ， ， 在 和 中，， ≌ ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面 积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若 ABC和VADE均为等腰三角形，且AB AC  AD AE， 当ABC和ADE互余时，称 ABC与VADE互为“底余等腰三角形”， ABC的边BC上的高AH叫做 VADE的“余高”． (1)如图1， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为 “底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）； (2)如图1， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，当0BAC180时，若VADE的“余高”是AH ． ①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②求证：DE2AH ．(3)如图2，当BAC90时， ABC与VADE互为“底余等腰三角形”，连接BD、CE，若BD6， CE8，请直接写出AB的长． 【答案】(1)是 (2)见详解 (3)5 【分析】（1）根据题意可得ABCADE90，ACBAED90，四边形内角和为360，求出 �ADB� AEC 90�即可证明． AHB≌ DFA(AAS) AH AF DE   （2）①用直尺和圆规作出 ，如图； ② 过点A作 ，证明 即可证明结论． 1 （3）过点A作 ，根据（2）可知AG= EC =4，再根据勾股定理可得． AGDB 2 【详解】（1）∵ ABC与VADE互为“底余等腰三角形”， ∴AB AC  AD AE， ABCADE90， ACBAED90 ∴2(�ABC��ADE) 180 ， ∵四边形内角和是360， ∴2�ADB�2�AEC 360 2(�ABC��ADE) 180 ， ∴�ADB� AEC 90�， ∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”； 故答案为：是． （2）①用直尺和圆规作出AH ，如图， ② 过点A作AF DE， ∵ABH ADF 90， ABH BAH 90， ∴BAH ADF，又∵�AHB� DFA， AD AB， AHB≌ DFA(AAS)   ∴ ∴DF  AH 又∵DE 2DF ∴DE2AH （3）过点A作AGDB， 根据等腰三角形的性质可得： 1 ∴GB= DB=3 2 根据（2）可知 1 AG= EC =4， 2 根据勾股定理可得 AB= AG2+GB2 =5 ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形全等，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和三角形全等 的判定． 【变式训练】 1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知 中， ．分别以 、 为腰在 左侧、 右侧作等腰三角形 ．等腰三角形 ，连接 、 ．(1)如图1，当 时， ① 、 的形状是____________； ②求证： ． (2)若 ， ①如图2，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当 时， 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析 (2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析 【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质 可得 ， ， ，证明 ，根据全等三角形的性质即可证明； （2）①证明 ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得 与 不全 等，即可得出结论． 【详解】（1）①∵ 是等腰三角形， 是等腰三角形， ∴ 、 是等边三角形， 故答案为：等边三角形． ②证明：∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在△BAE与△DAC中， ∵ ， ∴ ． ∴ ．（2）①当 ， 时，成立． 理由：如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ； ②当 ， 时，不成立． 理由：如图， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 与 不全等， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握 全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”， 我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ， ， 与 为“同源角”．(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则 ______°． (3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形． 【答案】(1) ，详见解析 (2)45 (3)详见解析 【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明 即可； （2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知 ， 得 ，然后根据“8”子三角形即可求出 的度数； （3）由（1）可知 ，可得 ， ．根据 证明 ，可 得 ， ，进而可证结论成立． 【详解】（1） ． 理由：因为 和 是“同源三角形”， 所以 ，所以 ． 在 和 中， 所以 ． 所以 ． （2）∵ 和 是“同源三角形”， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由（1）可知 ， ∴ ． ∵ ，∴ ． 故答案为：45； （3）由（1）可知 ， 所以 ， ． 因为 ， 的中点分别为 ， ， 所以 ． 在 和 中， 所以 ， 所以 ， ． 又因为 ， 所以 ． 所以 ，所以 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知 识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三 角形”．(1)如图①，在 与 中， ，当 、满足条件____时， 与 互为“兄弟三角形”； (2)如图②，在 与 互为“兄弟三角形”， ， 相交于点M，连 ，求证： 平分 (3)如图③，在四边形 中， ， ， ，求 的度数． 【答案】(1) ； (2)见解析 (3) 【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出 的关系便可； （2）过点A作 于点M，作 于点N，再证明 得 ，再根据角平分 线的判定定理得结论； （3）延长 至E，使得 ，连接 ，证明 ，进而得 是等边三角形，便可 得 ． 【详解】（1）∵在 与 中， ， ∴当 时， 与 互为“兄弟三角形”， ∵ ， ∴ ， 故当 时， 与 互为“兄弟三角形”， 故答案为 ； （2）过点A作 于点H，作 于点N， ∵在 与 互为“兄弟三角形”， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ （全等三角形的对应高相等）， ∴ 平分 ；（3）延长 至E，使得 ，如图③， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角 形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．