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第 08 讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形
目录
【模型一 双等边三角形模型】........................................................................................................................1
【模型二 双等腰直角三角形模型】..............................................................................................................13
【模型三 双等腰三角形模型】......................................................................................................................23
【模型一 双等边三角形模型】
条件：如图， ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
例题：（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在 和 中， ，若
，连接 、 交于点 ；
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知 和 都是等边三角形，且点E在线段 上．(1)求证： ；
(2)过点E作 交 于点G，试判断 的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线 上，且 ，求证： ．
2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）阅读：如图1，已知A、B、C在一条直线上，分别以 为
边在 同侧作等边三角形 和等边三角形 交BD于点F， 交 于点G．
(1)求证： ；
(2)拓展：如图2如果A、B、C不在一条直线上，那么
① 是否仍然成立？ （填“是”或者“否”）
②设 相交于H，则
3．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题．
(1)如图1，已如 ， 均为等边三角形、点D在线段 上，且不与点B、点C重合，连接 ，
试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，已知 、 均为等边三角形，连接 、 ，若 ，则
______度；
(3)如图3，已知点E在等边三角形 外，点E、点B位于线段 的异侧，连接 、 ．若
，猜想线段 、 、 三者之间的数量关系，并说明理由．4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1， 、 都是等边三角形，求证：
．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就
类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
(1)等边三角形 中， 是边 上一定点， 是直线 上一动点，以 为一边作等边：等边三角形
，连接 ．
①如图2，若点 在边 上，线段 、 、 之间的关系为__________（直接写出结论）．
②如图3，若点 在边 的延长线上， 试证明线段 、 、 之间的关系．
(2)如图4，等腰 中， ， ， ，且交 于点 ，以 为边作等
边 ，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ，写出 、 、 之间的数量关系，并
加以说明．
(3)如图5，在 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一个动点，连
接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，则 是否有最小值，如有，求出它的最
小值，没有，请说明理由．
【模型二 双等腰直角三角形模型】
条件：如图， ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图①， 为等腰直角三角形， ，点D、点E分别
为 、 的中点．
(1)请任意写出两对相等的边________，________；
(2)若 绕点C顺时针旋转，连接 ， ，求证： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，已知 ， 均为等腰直角三角形，
，连接 ， 交于点 ．
①求证： ．
②试探究线段 ， ， 三者之间的数量关系．
（2）如图2，已知 ，以 为直角边，向外作等腰直角三角形 ， ，连接 ．
①若 ， ， ，求 的长；
②若 ， ， 时， 最大，最大值为 ．
2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知 是等腰直角三角形，动点P在斜边 所在的直线上，
以 为腰作等腰三角形 ，其中 ，探究并解决下列问题：(1)如图1，若点P在线段 上，且 ， ，则：
①线段 ______， ______；
②猜想： ， ， 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．
(2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中猜想的结论是否仍然成立，请写出证明过程．
3．（23-24七年级下·山东济南·期中） 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图1，点 在 上，则 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点 在 内部，点 在 外部，连接 ，则 满足怎样的数量关系和位置
关系？请说明理由．
(3)如图3，点 都在 外部，连接 ， ， ， ， 与 相交于 点．若 ，求四
边形 的面积．
4．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的
等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组： 和 是等腰直角三角形， ．
连接 ，构建“手拉手”模型（如图1），得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图
2的划斜线部分，得到了 ．
二组：如图3， 和 是等边三角形， ，连接 的延长线与 相交于点 ．
猜想也能构建上述两种模型得到结论 ．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在 和 中， ，连接
．则 与 的数量关系为_______，直线 与直线 的夹角为_______；
【变式拓展】
（3）四组：只需用 ，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5， 和 是等腰直角三角形， ， ，
连接 是线段 的中点，连接 ．若 ，请你求出 的长．
【模型三 双等腰三角形模型】
条件： ABC和 DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。
△ △
例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在 中， ．
(1)如图 ，在 中，若 ，且 ，求证： ；
(2)如图 ，在 中，若 ，且CD垂直平分 ，垂足为 ， ， ，求BD的长度？
(3)如图 ， ， ， ， ，则 的长度？
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们
的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，在“手拉手”图形中， ，若 ，则
(2)如图2， 和 是等边三角形，连接 ， 交于点O，求 的度数；
(3)如图3， ， ，试探究 与 的数量关系．
2．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图1，等腰 和等腰 中， ， ，连接
、 ，利用所学知识解决下列问题：
(1)若 ，求证： ；
(2)连接 ，当点D在线段 上时：
①如图2，若 ，则 的度数为 ，线段 与 之间的数量关系是 ；
②如图3，若 ， 为 中 边上的高，求出 的度数以及线段 、
、 之间的数量关系，并说明理由．
