文档内容
贺州市 2023～2024 学年度上学期高一年级期末质量检测试卷
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前，请考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上;
2．回答选择题时，选出每小题答案后，请用2B铅笔将答题卡上对应答案标号涂黑，务必填
涂规范;
3．填空题和解答题请用0.5mm的黑色签字笔在答题卡上作答．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 若集合 ， 或 ，则集合 等于（ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】因为集合 ， 或 ，
所以 或 ．
故选：C
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】 或 ，
，故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B.
3. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得 的值即可求解．
【详解】 角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，
．
故选：D．
4. 下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；
②命题“ ”是全称量词命题；
③命题“ ”的否定为“ ”；
④命题“ ”是真命题；
.
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断
依据即可求解.
【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确；
对②，“ ”为任意，即为全称量词，所以命题“ ”是全称量词命题，故②正确；
对③，命题“ ”的否定为“ ”；故③错误；
对④， ，故该命题为真命题，故④正确，所以正确的有 个.
故选：D.
5. 下列函数的最小值为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A，利用函数求最值判断BCD .
【详解】对A： ， ，当且仅当 时取等号，
其最小值为2；故A正确；
对B： 时， ，其2不为最小值；故B错误；
对C： ，当 时等号成立，故C错误；
对D： ，当 时等号成立，故D错误；
故选：A
6. 当强度为 的声音对应的等级为 分贝时，有 （其中 为常数），某挖掘机的声
音约为 分贝，普通室内谈话的声音约为 分贝，则该挖掘机的声音强度与普通室内谈话的声音强度的
比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该挖掘机的声音强度为 ，普通室内谈话的声音强度为 ，则 ，根据对数运算可得 .
【详解】设该挖掘机的声音强度为 ，普通室内谈话的声音强度为 ，
由题意知 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选：B.
.
7 设 ， ， ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角差的正弦公式求 ，由二倍角的正切公式求 ，由二倍角的正弦公式求 ，即可根据正弦
函数的单调性比较大小．
【详解】 ，
，
，
正弦函数在 是单调递增的， ．又 ．
故选：A．
8. 若定义在 上 奇函数 ，对任意 ，都有 ，且 ，
的
则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设 ， ，分析 的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答
案．
【详解】根据题意，设 ， ，
是定义在 , , 上的奇函数，即 ，
故 ，函数 为偶函数，
由题意当 时，有 ，函数 在 上为减函数，
又由 为偶函数，则 在 上为增函数，
又由 ，则 ，同时 ，
或 ，
必有 或 ，即 的取值范围为 .故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情
况解不等式.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列各说法，正确的是（ ）
A. 半圆所对的圆心角是 rad
B. 1度的角是周角的 ，1弧度的角是周角的
C. 是第一象限角
D. 若 是第四象限角，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式判断 ABC，由三角函数在各象限符
号判断D．
【详解】对A,根据角度制和弧度制的定义可知，半圆所对的圆心角是 ，即 rad,所以A正确；
对B,由圆周角的定义知，1度的角是周角的 ，1弧度的角是周角的 ，所以B正确；
对C, 是第四象限角，故C错误；
对D,若 是第四象限角，则 ,故D错误.
故选：AB．
10. 若 ， ，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】【分析】直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D．
【详解】对A, ， ，由不等式性质易知 ，故A正确；
对B, ， ,则 ，故B正确；
对C, ， ，由不等式性质易知 ，故C错误；
对D, 若 ，则 , 故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A.
B. 将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象
C. ，都有
D. 函数 的减区间为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.【详解】由图知， , ,即 ,所以 .
将 代入 中，得 ，解得 ,
又因为 ，所以当 时，
所以 的解析式为： .
对A， ，故A正确；
对B，将 的图象向右平移 个单位，得 的图象，故B
错误；
对C，由三角函数的性质知， ，所以 ，都有 ，故C正确；
对D，由 ,得 ，
所以函数 的减区间为 ，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 有3个零点
B. 若函数 有2个零点，则
C. 若关于 的方程 有4个不等实根 ， ， ， ，则
D. 关于 的方程 有5个不等实数根【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选项是
否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，函数 ，
由此作出函数的草图：
依次分析选项：
对于A：由图象易知曲线 与y轴有两个交点，故函数 有2个零点，故A错误；
对于B：令 ，可得 ，
则函数 的零点个数即为 与 的图象的交点个数，
若函数 有两个零点，由图象可知 ，B正确；
对于C：若关于 的方程 有四个不等实根，则 与 的图象有四个交点.
不妨设 ，
由图象可得： ，且 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D：因为 ，解得 或 ，
结合图象可知： 有一个根， 有四个根，
所以关于 的方程 有5个不等实数根，D正确．故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数 ，则 的值为___________；
【答案】1
【解析】
【分析】代入即可求解.
【详解】 , ,
故答案为：1
14. 已知扇形的面积为 ，圆心角弧度数为 ，则其弧长为________ ；
【答案】6
【解析】
【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解.
【详解】设弧长为 ，半径为 ，圆心角为 ，
故 ，
故 ，
故答案为：6
15. 已知矩形的周长为 ，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为
________ (结果保留 )；
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可.
【详解】不妨设矩形的一条边为 ，则矩形的另一条边为 ，
则旋转后的圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，从而圆柱 侧面积为 ，
的
当且仅当 时，即 时，圆柱的侧面积取得最大值 .
故答案为： .
16. 已知函数 的最大值是3， 的图象与y轴的
交点坐标为 ，其相邻两个对称中心的距离为2，则 _____
【答案】4048
【解析】
【分析】直接利用二倍角公式化简，再由余弦型函数性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的周
期的应用求出函数的值．
【详解】函数 的最大值是3，
故 ，得 ，则
由于函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
故 即
函数图象其相邻两个对称中心的距离为2，故 ，
所以 ；
当 ，2，3， 时， 的值依次为1，0， ，0， 成周期变化；
且周期为4，相邻4个之和为0，
由于 ，
所以 ．
故答案为：4048．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式的值．
（1） ；
（2） 且
【答案】（1）4 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用指数幂运算求解；
（2）利用对数运算求解.
【小问1详解】
原式 ；
【小问2详解】
原式 .
18. 已知集合 ，集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果；
（2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数 的范围.
【小问1详解】
由 时，集合 ，
，所以 ，
【小问2详解】
当 ，即 时，集合 ，符合 ，
当 时，由 ，有 ， 解得 ，
综上可知，若 ，则 的范围是 .
19. 已知 .
（1）求 的值；
（2）若 为钝角，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简并结合齐次式运算求解；
（2）由二倍角公式求解 ，结合平方关系和商数关系得 ，再利用二倍角和两角差的正切
求值.
【小问1详解】
因为 ，所以 .
【小问2详解】
因为 为钝角，由 ，得 ，
则 ，
，
又因为 ,
所以 .
20. 已知函数 ， （其中 且 ）．
（1）若函数 定义域为R ，求实数 的取值范围；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）
（2） 是偶函数
【解析】
【分析】（1）首先求出 的解析式，依题意可得 恒成立，即可得到
，从而求出参数的取值范围；
（2）设 ，首先求出定义域，再根据奇偶性的定义判断即可.
【小问1详解】
由题意得 ，因为函数 定义域为 ，
所以 恒成立，
即 ， 解得 ，
故实数 的取值范围 .
【小问2详解】
设 ，
定义域需满足： ，解得 ，
故函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
则 ，
又因为 ，
即 ，
所以 是偶函数，即 是偶函数.
21. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰
四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按
逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30 ．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 后距离地面的高度为 m，已知H关于t的函数解析式满足 （其中 ），求摩天轮转动一周的函数解析式 ；
（2）若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距
离地面的高度差 （单位：m）关于 的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】（1） ，（ ）
（2） ， ，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
【解析】
【分析】（1）根据周期以及 即可求解，
（2）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴建立直角坐标系.
设 时，游客甲位于 ，得到以 为终边的角为 ，
根据摩天轮转一周需要30 ，可知座舱转动的速度约为 ，
由题意可得， ，（ ），
【小问2详解】
甲、乙两人的位置分别用点 、 表示，则 ，
经过 后，甲距离地面的高度为 ，
点 相对于 始终落后 ，
此时乙距离地面的高度 ，则甲、乙高度差为
， ，
所以当 （或 ）时， 的最大值为55，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
22. 设区间 是函数 定义域内的一个子集，若存在 ，使得 成立，则称 是
的一个“不动点”，也称 在区间 上存在不动点，例如 的“不动点”满足
，即 的“不动点”是 .设函数 ， ．
（1）若 ，求函数 的不动点；
（2）若函数 在 上存在不动点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，即可得到 ，解得 ，从而求出 即可；
（2）依题意可得 在 上有解，令 ， ，则问题转化为
在 上有解，令 ， ，根据单调性求出 的取值范围，从而求
出 的取值范围.
【小问1详解】由“不动点”定义知：当 时， ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 ，且
所以函数 在 上的不动点为 .
【小问2详解】
根据已知，得 在 上有解，
在
所以 上有解，
令 ， ，
所以 ，即 在 上有解，
所以 在 上有解，
设 ， ，则 在 上单调递增，故 ，
所以 ，可得 ，
又 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，则 ，则 ，
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题.
