文档内容
第 08 讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形
目录
【模型一 双等边三角形模型】........................................................................................................................1
【模型二 双等腰直角三角形模型】..............................................................................................................13
【模型三 双等腰三角形模型】......................................................................................................................23
【模型一 双等边三角形模型】
条件：如图， ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
例题：（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在 和 中， ，若
，连接 、 交于点 ；
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据题意得出 ，即可证明 ；
（2）根据题意可得 是等边三角形，根据（1）的结论可得 ，进而根据三角形的内角
和定理，即可求解；
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是
解决此题的关键．【详解】（1）证明： ，
∴ ，
，
又 ， ，
∴ ，
（2）解： ， ，
是等边三角形，
，
，
，
；
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，已知 和 都是等边三角形，且点E在线段 上．
(1)求证： ；
(2)过点E作 交 于点G，试判断 的形状并说明理由；
(3)如图2，若点D在射线 上，且 ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
(3)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、内错角相等两
直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握等边三
角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明 ，得到 ，从而可证得 ，即可由平行线的判
定定理得出结论；（2）根据等边三角形的性质得 ，再根据 得
， ，从而得 即可得出结论；
（3）过E作 交 于M，先证明 ，得到 ，从而得出
，再由（1）得 ，得出 ，则 ，从而有
，根据 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 与 中,
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
如图1，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）证明：如图2，过E作 交 于M，由（2）可得 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴
∴ ．
2．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）阅读：如图1，已知A、B、C在一条直线上，分别以 为
边在 同侧作等边三角形 和等边三角形 交BD于点F， 交 于点G．
(1)求证： ；(2)拓展：如图2如果A、B、C不在一条直线上，那么
① 是否仍然成立？ （填“是”或者“否”）
②设 相交于H，则
【答案】(1)见解析
(2)①是；②
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理．
（1）根据等边三角形的性质，易证 ， ，再证明 ，可证 ，
可得 ；
（2） 同理（1）证明证 ，即可得 ；
（3）如图，在 上截取 连接 ，由 ，利用三角形内角和定理求出
，易证 为等边三角形，再证明 ，得到
，求出 ， ，由 即可
求解．
【详解】（1）证明∶∵ 、 都是等边三角形
∴ ， ， ，
∴ 即 ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：① 仍然成立，
证明：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∴ ．
∴ ；
②如图，在 上截取 连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
为等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
．
3．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·期中）探究等边三角形“手拉手”问题．
(1)如图1，已如 ， 均为等边三角形、点D在线段 上，且不与点B、点C重合，连接 ，
试判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，已知 、 均为等边三角形，连接 、 ，若 ，则
______度；
(3)如图3，已知点E在等边三角形 外，点E、点B位于线段 的异侧，连接 、 ．若
，猜想线段 、 、 三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ，详见解析
(2)180，详见解析
(3) ，详见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，
（1）利用 定理证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的判
定定理证明结论；
（2）根据题意得到证明 ，证明 ，得到 ，进而得到答案；
（3）在线段 上取一点H，使得 ，证明 ，得到 ， ，证
明 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到 ，结合图形计算，即可得到答案．
掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1） ，理由如下：
∵ 、 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 、 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（3）结论： ，理由如下，
如图3，在线段 上取一点H，使得 ，设 交 于点O，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1， 、 都是等边三角形，求证：
．
【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就
类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它
的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】(1)等边三角形 中， 是边 上一定点， 是直线 上一动点，以 为一边作等边：等边三角形
，连接 ．
①如图2，若点 在边 上，线段 、 、 之间的关系为__________（直接写出结论）．
②如图3，若点 在边 的延长线上， 试证明线段 、 、 之间的关系．
(2)如图4，等腰 中， ， ， ，且交 于点 ，以 为边作等
边 ，直线 交直线 于点 ，连接 交 于点 ，写出 、 、 之间的数量关系，并
加以说明．
(3)如图5，在 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一个动点，连
接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，则 是否有最小值，如有，求出它的最
小值，没有，请说明理由．
【答案】(1)① ；② ；
(2)
(3)有最小值，最小值为2
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握
相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键．
（1）①过点E作 ， 交 与点G，先证明 是等边三角形，再证明
，得出 ，即可得出结论；②过点E作 ， 交 与点G，先证明
是等边三角形，得出 ，再证明 ，得出 ，即可得出结论；
（2）先证明 ，在 上截取 ，通过证明 是等边三角形，得出
，再证明 ，得出 ，即可得出结论；
（3）以 为边，在 下方构造等边三角形 ，连接 ，通过证明 ，得出，则 ，根据点Q在直线 上，得出当 时， 取最小值，即
可解答．
【详解】（1）①结论： .
证明：过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
②结论：
证明：过点E作 ， 交 与点G，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 上截取 ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解：有最小值，最小值为2
以 为边，在 下方构造等边三角形 ，连接 ，
∵ ，点D为 中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点Q在直线 上，
∴当 时， 取最小值，
此时， ．【模型二 双等腰直角三角形模型】
条件：如图， ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图①， 为等腰直角三角形， ，点D、点E分别
为 、 的中点．
(1)请任意写出两对相等的边________，________；
(2)若 绕点C顺时针旋转，连接 ， ，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质．
（1）由等腰直角三角形的性质即可得解；
（2）利用 证明 即可得证．
【详解】（1）解：∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵点D、点E分别为 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【变式训练】
1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，已知 ， 均为等腰直角三角形，
，连接 ， 交于点 ．
①求证： ．
②试探究线段 ， ， 三者之间的数量关系．
（2）如图2，已知 ，以 为直角边，向外作等腰直角三角形 ， ，连接 ．
①若 ， ， ，求 的长；
②若 ， ， 时， 最大，最大值为 ．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）① ；② ，
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算、全等的性质和SAS综
合（SAS）
【分析】（1）①利用 ， 是等腰直角三角形，可得 ，进而得出
；
②由 ，推出 ，推出 ，再利用勾股定理可得结论；
（2）①如图，在 的左侧构造等腰直角三角形 ，使得 ， ，连接 ，过点 作
，交 的延长线于 点，先求得 ，再根据勾股定理即可得到 的长可得结论；
②当 ， ， 三点共线时， 取最大值， ．依据 ，可得 的最大值
．
【详解】（1）①证明： △ 和△ 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；②解：结论： ．
理由： ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①解：如图，在 的左侧构造等腰直角三角形 ，使得 ， ，连接 ，过点
作 ，交 的延长线与于点 ，
等腰直角三角形 ， ，
， ，
，
，
，
根据勾股定理得 ，
，
，
根据勾股定理可得， ，
解得 ，
，
；
②解：如图3，在 的左侧构造等腰直角三角形 ， ， ，在 中， ， ，
根据三角形三边关系可得 ，
当 ， ， 三点共线时， 取最大值， ．如图4所示：
，
即 的最大值 ，
综上所述，当 时， 的值最大，最大值为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能判
定 是解此题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要
时添加适当辅助线构造三角形．
2．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）已知 是等腰直角三角形，动点P在斜边 所在的直线上，
以 为腰作等腰三角形 ，其中 ，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段 上，且 ， ，则：
①线段 ______， ______；
②猜想： ， ， 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．(2)如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中猜想的结论是否仍然成立，请写出证明过程．
【答案】(1)① ， ；② ，理由见解析
(2) ，见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算，熟练掌握勾股定理是解题的
关键．
（1）①根据题意求出 的长即可求出 的值；过点 作 于点 ，求出
，根据勾股定理即可求出 ；
②根据题意当点 在 点左边时， ，
，点 在 点右边时，
，
，得到 ，即可证明结论；
（2）过点 作 于点 ，求出 ，
，得到 ，即可证明结论；
【详解】（1）解：① ，
，
；
如图，过点 作 于点 ，
，
，
在 中， ，
；
故答案为： ， ；
② ，理由如下：是等腰直角三角形， ，
，
当点 在 点左边时，如图，
，
，
同理，当点 在 点右边时，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
；
（2）解：过点 作 于点 ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，
，
是等腰直角三角形， ，
，
；3．（23-24七年级下·山东济南·期中） 和 都是等腰直角三角形， ．
(1)如图1，点 在 上，则 满足怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图2，点 在 内部，点 在 外部，连接 ，则 满足怎样的数量关系和位置
关系？请说明理由．
(3)如图3，点 都在 外部，连接 ， ， ， ， 与 相交于 点．若 ，求四
边形 的面积．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ， ，理由见解析
(3)18
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义
【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）延长 ，分别交 、 于F、G，证明 ，根据全等三角形的性质、垂直的定
义解答；
（3）同理证明 ，得到 ， ，再根据 计算，
求出四边形 的面积．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ， ，理由如下：
延长 ，分别交 、 于F、G，
∵ 和 都是等腰直角三角形，∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ；
（3）解：如图， 与 相交于 点
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
4．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题情境】在一次数学活动课上，九年一班同学用形状相同的
等腰三角形组合新图形，并尝试编制习题，下面是四个小组的探究情况．
（1）一组： 和 是等腰直角三角形， ．
连接 ，构建“手拉手”模型（如图1），得到了 ；在此基础上，又利用“蝴蝶型”，如图
2的划斜线部分，得到了 ．
二组：如图3， 和 是等边三角形， ，连接 的延长线与 相交于点 ．猜想也能构建上述两种模型得到结论 ．
请你模仿一组同学的思路，证明二组同学猜想的结论；
【类比分析】
（2）三组：如图4，在 和 中， ，连接
．
则 与 的数量关系为_______，直线 与直线 的夹角为_______；
【变式拓展】
（3）四组：只需用 ，就能构建上面任一图形．请你结合图4，用一句话解释这一过程_______；
（4）四组：如图5， 和 是等腰直角三角形， ， ，
连接 是线段 的中点，连接 ．若 ，请你求出 的长．
【答案】（1）见解析；（2） （或相等）， 或 ；（3）把 绕点 按逆时针方向旋
转 得 （或旋转 ），连接 ；（4）2
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及旋转的性质等知识：
（1）先证明 ，再证明 可得 ，再根据三角形内角和定理可得结论；
（2）方法同（1）；
（3）由（2）知 ，结合旋转可得出结论；
（4）延长 到 使 ，连接 ，证明 得 ，得 ，进一步
证明 ，再证明 即可得出结论
【详解】（1）证明： 和 是等边三角形，
，
，即 ，
，设 与 相交于点 ，则 ，
；
（2） （或相等）， 或
延长 交 于点F，设 交于点G，
∵ ，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴ ，
即直线 与直线 的夹角为 或 ；
故答案为： （或相等）， 或 ；
（3）把 绕点 按逆时针方向旋转 得 （或旋转 ），连接 ．
故答案为：把 绕点A按逆时针方向旋转 得 （或旋转 ），连接 ．
（4）证明：延长 到 使 ，连接 ．，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
【模型三 双等腰三角形模型】
条件： ABC和 DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。
△ △
例题：（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在 中， ．(1)如图 ，在 中，若 ，且 ，求证： ；
(2)如图 ，在 中，若 ，且CD垂直平分 ，垂足为 ， ， ，求
BD的长度？
(3)如图 ， ， ， ， ，则 的长度？
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和
性质
【分析】 由 ，得出 ，由 证得 ，即可得出结论；
连接 ，先证 是等边三角形，再由CD垂直平分 ，得出 ，由
，得出 ， ，得出 ， ，由勾股定理即
可得出结果；
将线段AD绕 逆时针旋转90°， 的对应点为 ，连接 交BD于 ，则 ，根据勾股
定理得到 ，求得 ， ，得到 ，根据
勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明： ，
，
，
在 和 中 ，
，
；
（2）解：连接 ，如图 所示：垂直平分 ，
，
，
是等边三角形，
垂直平分 ，
，
由 可知： ，
， ，
，
，
；
（3）解：将线段AD绕 逆时针旋转90°， 的对应点为 ，连接 交BD于 ，
则 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们
的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
(1)如图1，在“手拉手”图形中， ，若 ，则
(2)如图2， 和 是等边三角形，连接 ， 交于点O，求 的度数；
(3)如图3， ， ，试探究 与 的数量关系．
【答案】(1)40
(2)
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握
知识点是解题的关键．
（1）先证明 ，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2）根据等边三角形的性质得出 ， ，进而证明
，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可；
（3）延长 到P，使 ，先证明 是等边三角形，再证明 ，进而证明即
可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40；
（2）解：∵ 和 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，证明如下：
如图，延长 到P，使 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图1，等腰 和等腰 中， ， ，连接
、 ，利用所学知识解决下列问题：
(1)若 ，求证： ；(2)连接 ，当点D在线段 上时：
①如图2，若 ，则 的度数为 ，线段 与 之间的数量关系是 ；
②如图3，若 ， 为 中 边上的高，求出 的度数以及线段 、
、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；② ， ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、等腰三角形的判定与性质．
（1）由等角减同角 ，于是利用 证明 即可得到证明 ；
（2）①由题意易得 和 均是等边三角形，同（1）证明 ，得到 ，
，由平角的定义得 ，则 ；
②由题意易得 为等腰直角三角形，同（1）证明 ，得到 ， ，
由平角的定义得 ，则 ，由等腰直角三角
形的性质可得 ，于是可得 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ ， ， ，
∴ 和 均是等边三角形， ，
同（1）可证明 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
② ， ，理由如下：
同（1）可证明 ，∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 中 边上的高，
∴ ，
∴ ．
