文档内容
第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)
目录
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】..............................................................................................1
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】............................................................................................6
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................18
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， ， 是 的
中点．
(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在 中， 的平分线 交 于点 ， ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若 ，求的长．
2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在 中， 和 的平分线交于点O，过点O作
，交 于E，交 于F．
(1)当 ，则 ___________；
(2)当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点O，过点O
作 ，交 于E，交 于F，试判断 ， 之间的关系，并说明理由．
3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组
发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1， 为 的角平分线 上一点，常过
点 作 交 于点 ，易得 为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处，则重合部分
的形状是_______．
(2)【类比探究】如图3， 中，内角 与外角 的角平分线交于点 ，过点 作 分
别交 于点 ，试探究线段 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形 中， 为 边的中点， 平分 ，连接 ，求证：
．
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图， 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延
长线上，且 ．
(1)若点 是 的中点，如图1，则线段 与 的数量关系是__________；
(2)若点 不是 的中点，如图2，试判断 与 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点 作
，交 于点 )
(3)若点 在线段 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请
说明理由．
【变式训练】
1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线 ， 上的
点， ，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，运动过程
中始终满足 ．
(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，并说明理由．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线
上，且 ．
(1)【感知】如图1，当点E为 的中点时，则线段 与 的数量关系是______；
(2)【类比】如图2，当点E为 边上任意一点时，则线段 与 的数量关系是______，请说明理由；
（提示如下：过点E作 ，交 于点F．）
(3)【拓展】在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在直线 上，且 ，若 的边长
为2， ，则 的长是______．
3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图， 中， ， ， 点P从点B出发沿线
段 移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿 的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移
动的速度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；
(2)求证: ；
(3)如图，过点P作 于点E，在点P，Q移动的过程中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求
出这个长度；如果变化，请说明理由．4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级齐齐哈尔市第三中学校校考期末）综合与实践：
已知：等边 ．
【观察猜想】如图①：D为线段 上一点， ，交 于点E．可知 为______三角形．
【实践发现】如图②：D为线段 外一点，连接 ，以 为一边作等边三角形 ．连接 ．
猜想 与 数量关系为______，直线 与 相交所产生的交角中的锐角为______．
【深入探究】：D为线段 上一点，F为线段 延长线上一点，且 ．
（1）特殊感知：当点D为 的中点时，如图③，猜想线段 与 的数量关系为______；
（2）特例启发：当D为 上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段 与 的数量关系？并说
明理由．
（3）拓展延伸：在等边三角形 中，点D在直线 上，点F在直线 上，且 ．若 的
边长为2， ，则 的长为______．
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的
添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另
一长边相等，解答下列问题：如图1，在 中，交 于点D， 平分 ，且 ．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在AC上截取 ，使得 ，解答了这个问题，请按照小亮
的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ，
，求 的长．
【变式训练】
1．在 中， ，点 在边 上， ，点 在线段 上， ．
(1)如图 ，若点 与点 重合，则 ______ ；
(2)如图 ，若点 与点 不重合，试说明 与 的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断 ， 与 的数量关系，并说明你的理由．2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在 中，点 是 边上一点，
点 是 延长线上一点， 交 于点 ，点 是 上一点，连接
于点 ．
(1)写出图1中与 相等的角， ______；
(2)如图1，若 ，在图中找出与 相等的线段并证明；
(3)如图2，若 ，求 的长度．
