文档内容
河池市 2024 年秋季学期高一期末学业水平质量检测
数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】命题“ ”的否定是 .
故选：D.
2. 已知点 是角 终边上的一点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】根据三角函数的定义，可得 .
故选：A.
3. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，即可得结论.
【详解】 ，在 上单调递减， ，故 ，所以 ，
又 ，在 上单调递增， ，故 ，
即 ，所以 .
故选：A.
4. 若扇形面积为4，圆心角为2，那么该扇形的弧长为（ ）
.
A B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可.
【详解】由扇形的面积公式 ，可得 ，解得 ，
所以弧长为 .
故选：D.
5. 使 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的判定知，选项为条件，题干是结论.
【详解】对于A，取 时，可知 ，但 ，故 是 的不充分条件，故A错误；
对于B，取 ，可知 ，但 ，故 是 的不充分条件，故B错误；
对于C，由 ，所以 ，反之不成立，故C正确；
对于D，当 时，由 ，得 ，故 是 的不充分条件，故D错误.
故选：C.
6. 一元二次不等式 对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可知 ，要一元二次不等式 对一切实数 恒成立，则 ，解
不等式组可得答案
【详解】由已知可知 ，所以要一元二次不等式 对一切实数 恒成立，
则 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .故选：A
7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达
到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血
液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，
那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据： ， ， ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设经过 个小时才能驾驶，则 ，再根据指数函数的性质及对数的运算计算
可得.
【详解】设经过 个小时才能驾驶，则 ，
即 ，
由于 在定义域上单调递减，
∴ ，
∴他至少经过 小时才能驾驶.
故选：C.
8. 已知函数 （ ， ），满足 ，将函数 的图象向右平
移 个单位得到函数 的图象，若 的图象关于直线 对称，则 的取值可以为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，求得 ，进而得 ，再结合三角函数的
性质，求得 ， ，即可求解.
【详解】因为 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
函数 的图象向右平移 个单位得到 ，
的图象关于直线 对称， ， ，
即 ， ，令 ，得 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的
图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 与 表示同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.
【详解】 定义域为 ，且 .对于A： ，定义域也为 ，故A正确；
对于B： 的定义域为 ，定义域不一样，故B错误；
对于C： ，定义域与解析式都相同，故C正确；
对于D： 的定义域为 ，定义域不一样，故D错误；
故选：AC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，且 ，则 的最小值为18
B. 函数 的零点为
C. 已知 ，则 的最小值为3
.
D 已知函数 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可判断AC；利用零点的定义可判断C；利用整体代换法求函数解析式可判
断D.
【详解】对于A. ，且 ，即 ，
，
当且仅当 时取到等号，故A正确.
对于B：函数的零点是其图象与 轴交点的横坐标，
即函数 的零点为 ，故B错误.对于C： ，
当且仅当 时取等号，故C正确.
对于D：由 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
11. (多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是
（ ）
A. 浮萍每月的增长率为1
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t，t，t，则t+t=t
1 2 3 1 2 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由 ，可判断A；当t=5时，计算函数值
可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与
对数互化得t，t，t，可判断D.
1 2 3
【详解】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵ ，∴每月的增长率为1，A正
确.当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.
∵第二个月比第一个月增加y-y=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y-y=23-22=4(m2)≠y-y，∴C不正确.
2 1 3 2 2 1
∵2= ，3= ，6= ，∴t=log 2，t=log 3，t=log 6，∴t+t=log 2+log 3=log 6=t，D正确.
1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3
故选：ABD.
【点睛】本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数 经过点 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数 ，根据待定系数法求出 的值，由此即可求出 的值.
【详解】设幂函数 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
13. 在 中，若 ，则 值为__________.
的
【答案】2
【解析】
【分析】利用三角形内角和可求得 ，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.
【详解】在三角形ABC中，因为 ，
所以
.
故答案为： .14. 定义在 上的偶函数 满足对任意 ，有 ，且当 时，
，若函数 且 在 上至少有 个零点，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法求得 的值，然后判断出函数 的周期和性质，由此画出函数 的图像，
根据 和 图像的交点个数，求得 的取值范围.
【 详 解 】 根 据 函 数 为 偶 函 数 ， 令 得 ， 即
，故函数是周期为 的周期函数.根据偶函数图像关于 轴对称，画出函数的图像如下图
所示：
当 时，画出 和 的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不
符合题意.当 时，画出 和 的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有至少有
个交点，则需 ，即 ，解得 .
【点睛】本小题主要考查抽象函数的性质，考查函数的奇偶性，考查对数函数的图像与性质，考查二次函
数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题过程中首先利用赋值法求得函数
的周期，由此可根据函数为偶函数画出函数图像，结合题意求得参数的取值范围.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
15. 已知集合 .
（1）求 ；
（2）若集合 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，试求出实数 的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，（2）存在， 或3或5.
【解析】
【分析】（1）求出 ，再求 ；
（2）分类讨论求出集合 ，根据 得 ，可得答案.
【小问1详解】
，
，
，
【
小问2详解】
存在.
，
①当 时， ，满足 ，所以 ；
②当 时， ，要满足 ，则 ，
因为 ，所以 或5；
综上所述， 或3或5.
16. 某地因地制宜，大力发展“生态水果特色种植”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 （单位：千
克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系： ，肥料成本投入为 元，
其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费） 元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）4千克；1152元.
【解析】
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润 的解析式；
（2）判断 的单调性，及利用基本不等式求出 的最大值即可．
【详解】（1）由已知
（2）由（1）得
当 时， ；
当 时，
当且仅当 时，即 时等号成立.
因为 ，所以当 时， .
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是1152元.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.
17. 函数 在区间 上的最大值为6.
（1）求常数 的值；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）把函数 图象上各点向右平移 个单位长度得到函数 ，求函数 的对称中心坐
标.
【答案】（1） ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数 的
值；
（2）由 ，求解可得函数 的单调递增区间；
（3）根据题意可得变换后的函数解析式为 ，再根据余弦函数的对称中心结合整体思
想即可求解．
【小问1详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的最大值为 ，
所以 ，得 ；
【小问2详解】
由（1）得 .
由 ，解得 .
所以函数 的单调递增区间为
【小问3详解】
由（1）得 ，把函数 的图象上各点向右平移 个单位长度得函数
.
令 ，解得
所以，函数 的对称中心坐标为 .
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
（1）求 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并证明你的结论.（3）是否存在实数 ，对于任意 ，不等式 恒成立，若存在，求出实
数 的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；
（2） 为 上的减函数；
（3）
【解析】
【分析】（1）因为 为 上的奇函数，所以 ，代入可求 ；
（2）由（1）可得 ，利用定义，任取 ，只要说明 的符号即
可判断；
（3）由不等式 恒成立，及 是 上的奇函数且是 上的减函数，可得
对 恒成立．由题意可得 ， ，结合二次函数的性质先求出
的最大值，即可求 的范围．
【详解】（1）因为 为 上的奇函数，所以 ，
，
；
（2） 为 上的减函数．
任取 ，，
， ， ，
，
，所以 为 上的减函数．
（3）若不等式 恒成立，
，又 为 上的奇函数，
所以
又 为 上的减函数，所以 对 恒成立．
即 对 恒成立．
， ，
设 ，其对称轴为 ，
时 是增函数，
所以 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质 （定义域内有 时）的应用，灵活利用该性质可以简化
基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合
应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具．
19. 已知函数 的图象过点 .
（1）求函数 的解析式；（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）设 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 为奇函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知求得 ，代入即可得 ；
（2）函数 为奇函数，利用奇函数的定义即可证明.
（3）由题意可得 ，进而得 的最大值可能是 或 ，作差法可得
，结合题意可得 ，令h(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，进而求
解可求得 的取值范围.
【小问1详解】
函数 的图象过点
所以 ，解得
所以函数 的解析式为 .
【小问2详解】
判断：函数 为奇函数.
理由如下：由（1）知， ，
.由 ，解得函数 的定义域为
定义域关于原点对称
函数 为奇函数.
【小问3详解】
因为 且 ，所以 且 ，
因为 ，
所以 的最大值可能是 或 ，
因为
( 1)( 1 ) ( 1) (m−1) 2
= m− m+ −2 = m− ⋅ >0
m m m m
所以 ，
所以对于任意 ，都有 成立，
只需 ，即 ，
设h(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，易知 在 上单调递增，且 ，
，即 ，所以 ，
所以 的取值范围是
【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题.
