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第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)
目录
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】..............................................................................................1
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】............................................................................................6
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................18
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在 中， 平分 ， ， 是 的
中点．
(1)求证： 是等腰三角形
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）由角平分线的定义得 ，由 得 即可求证；
（2）先求出 ，根据“三线合一”得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ ，
∴由（1）得：
∵ 是等腰三角形， 是 的中点．
∴
∴ ．
【变式训练】
1．（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）已知在 中， 的平分线 交 于点 ， ．
(1)如图1，求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，若 平分 交 于 ， ，在 边上取点 使 ，若 ，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的
性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出 ，根据平行线的性质得出 ，进而得出
，根据等腰三角形的判定即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质得出 ，进而得出 ，根
据含30度角的直角三角形的性质得出 ，进而可得出答案．
【详解】（1）证明： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
即 是等腰三角形；
（2）解： ， ，
，又 平分 ，
，
由（1）可知， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
又 ， ，
．
2．（2023上·全国·八年级期末）如图1，在 中， 和 的平分线交于点O，过点O作
，交 于E，交 于F．
(1)当 ，则 ___________；
(2)当 时，若 是 的外角平分线，如图2，它仍然和 的角平分线相交于点O，过点O
作 ，交 于E，交 于F，试判断 ， 之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)8
(2) ，见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分
线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．
（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证 ，即可得出答案；
（2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：∵ ，
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB，
∵ 和 的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠BCO，
∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC，
∴ ，∴ ，
故答案为：8；
（2） ，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组
发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1， 为 的角平分线 上一点，常过
点 作 交 于点 ，易得 为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处，则重合部分
的形状是_______．
(2)【类比探究】如图3， 中，内角 与外角 的角平分线交于点 ，过点 作 分
别交 于点 ，试探究线段 之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形 中， 为 边的中点， 平分 ，连接 ，求证：
．
【答案】(1) 是等腰三角形
(2) ，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行
线的性质是解题的关键．
（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论可知， 为等腰三角形，则 ，且 ，可证
，由此即可求解；
（3）如图所示，过点 作 ， 为 边的中点，可知点 是 的中点，得出 为等腰三角关系，证明 平分 ，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明 ，即直角三角形
，由此即可求证．
【详解】（1） 是等腰三角形；
理由：在长方形 中， ，
，
由折叠性质可得 ，
，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
（2）解： ，理由如下，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，则 ，
平分 ， ，
，
为等腰三角形，即 ，
，
．
（3）证明：如图所示，过点 作 ， 交 于点 ，
为 边的中点，
点 是 的中点，即 ，
， 平分 ，
，
是等腰三角形，即 ，
，
，
，
，
，，
，即 ，
，
，
．
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图， 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延
长线上，且 ．
(1)若点 是 的中点，如图1，则线段 与 的数量关系是__________；
(2)若点 不是 的中点，如图2，试判断 与 的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点 作
，交 于点 )
(3)若点 在线段 的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请
说明理由．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．
（1）求出 ，推出 ，根据等腰三角形性质求出 ，即可得出答案；
（2）过 作 ，交 于 ，证明 ，推出 ，证 是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，证明 ，得到 ，即可得到
．
【详解】（1）解： ，理由如下：
是等边三角形，
．
∵点 为 中点，
，
，
，
，
，
，
又 ，
．
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下：
如图，过点 作 ，交 于点 ，
则 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
又 ，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
则 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
．
【变式训练】
1．（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线 ， 上的
点， ，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，运动过程
中始终满足 ．(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；
（1）证明 为等边三角形，得出 ，由等边三角形的性质得出
，由等腰三角形的性质得出 ，由三角形的外角性质得出 ，
即可得出结论；
（2）过点E作 交 于点F，由平行线的性质得出 ，证出
，得出 ，证出 ，由 证明 ，得出
，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
为等边三角形，
∴ ，
∵点E是线段 的中点，
∴ ，
，
，
∵
，
；
（2）解： ，理由如下：
过点E作 交 于点F，如图，∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
，
，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
．
2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形 中，点E在 上，点D在 的延长线
上，且 ．
(1)【感知】如图1，当点E为 的中点时，则线段 与 的数量关系是______；
(2)【类比】如图2，当点E为 边上任意一点时，则线段 与 的数量关系是______，请说明理由；
（提示如下：过点E作 ，交 于点F．）
(3)【拓展】在等边三角形 中，点E在直线 上，点D在直线 上，且 ，若 的边长
为2， ，则 的长是______．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析(3)5
【分析】（1）由等腰三角形的性质得 ，再由等边三角形的性质得 ，然
后证 ，得 ，即可得出结论；
（2）过点E作 ，交 于点F，证 为等边三角形，得 ，再证 ，
得 ，即可得出结论；
（3）过点E作 ，交 的延长线于点F，同（2）得 是等边三角形，，则 ，
，即可得出答案．
【详解】（1） ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
过点E作 ，交 于点F，则 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点E作 ，交 于点F，如图3所示：
同（2）得： 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图， 中， ， ， 点P从点B出发沿线
段 移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿 的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移
动的速度相同，连接 与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；
(2)求证: ；(3)如图，过点P作 于点E，在点P，Q移动的过程中，线段 的长度是否变化?如果不变，请求
出这个长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 为定值5，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，
准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．
（1）利用 、 的移动速度相同，得到 ，利用线段间的关系即可推出 ；
（2）过点P作 ，交 于点F，利用等边对等角结合已知可证 ，即可得出结
论；
（3）过点P作 ，交 于点F，由（2）得 ，可知 为等腰三角形，结合 ，
可得出 即可得出 为定值．
【详解】（1）证明： 、 的移动速度相同，
，
，
；
（2）如图，过点P作 ，交 于点F，
，
，，
，
，
，
由（1）得 ，
，
在 与 中，
，
，
；
（3）解： 为定值5，理由如下：
如图，过点P作 ，交 于点F，
由（2）得： ，
为等腰三角形，
，
，
由（2）得 ，
，
，
为定值5．
4．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级齐齐哈尔市第三中学校校考期末）综合与实践：
已知：等边 ．【观察猜想】如图①：D为线段 上一点， ，交 于点E．可知 为______三角形．
【实践发现】如图②：D为线段 外一点，连接 ，以 为一边作等边三角形 ．连接 ．
猜想 与 数量关系为______，直线 与 相交所产生的交角中的锐角为______．
【深入探究】：D为线段 上一点，F为线段 延长线上一点，且 ．
（1）特殊感知：当点D为 的中点时，如图③，猜想线段 与 的数量关系为______；
（2）特例启发：当D为 上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段 与 的数量关系？并说
明理由．
（3）拓展延伸：在等边三角形 中，点D在直线 上，点F在直线 上，且 ．若 的
边长为2， ，则 的长为______．
【答案】观察猜想：等边；实践发现： ， ；（1） ；（2） ，证明见解析；
（3）5或1
【观察猜想】利用等边三角形的性质和判定即可证明；
【实践发现】利用等边三角形的性质证明 即可得出数量关系，再用三角形内角和定理
即可得出角度；
【深入探究】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可；
（2）正确作出辅助线证明三角形全等即可；
（3）分点D在 的延长线上两种情况讨论。
【详解】解：【观察猜想】等边
理由： 是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形．
实践发现
，
理由：
都是等边三角形，
，
，，
，
延长 交 于F，
中， ，
，
即 ，
，
深入探究
（1）特殊感知∶
理由：当点D为 的中点时， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
（2）特例启发：猜想 ，
证明：过点D作 ，交 于点E．
，
， ．
是等边三角形，
．，
又 ，
在 和 中，
，
，
（3）①如图：
②如图，
当点D在 的延长线上时，
作 ，交直线 于点E，
，
，
，的边长为2， ，
，
，
，
，
，
综上所述， 的长是5或1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定及“直角三角形中30锐角所对直角
边等于斜边的一半”，正确作出辅助线，构造全等三角形及分类讨论是解决问题的关键．
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的
添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另
一长边相等，解答下列问题：如图1，在 中，交 于点D， 平分 ，且 ．
(1)为了证明结论“ ”，小亮在AC上截取 ，使得 ，解答了这个问题，请按照小亮
的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形 中，已知 ， ， ， ， ，
，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）在 上截取 ，使得 ，连接 ，根据角平分线的定义可得 ，再利用
证明 ，从而可得 ， ，进而可得 ，然后利用三角形的外角性
质可得 ，从而可得 ，进而可得 ，再根据等量代换可得 ，
最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在 上截取 ，连接 ，先利用三角形内角和定理可得 ，从而可得
，再利用 证明 ，从而可得 ，进而可得 ，
然后利用三角形内角和定理可得 ，从而可得 ，再利用等腰三角形的三线合一性质
可得 ，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：证明：在 上截取 ，使得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）在 上截取 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为16．
【变式训练】
1．在 中， ，点 在边 上， ，点 在线段 上， ．
(1)如图 ，若点 与点 重合，则 ______ ；
(2)如图 ，若点 与点 不重合，试说明 与 的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断 ， 与 的数量关系，并说明你的理由．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据题意求出 ，根据三角形的外角性质
计算，得到答案；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到 ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到
，进而证明结论；（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ≌ ，根据求等三角形的性质得到
，根据三角形的外角性质得到 ，得到 ，进而得出结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
则 ，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
理由如下： ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解： ，
理由如下：如图 ，在 上截取 ，连接 ，
则 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，，
是 的外角，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是
解题的关键．
2．（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）已知，在 中，点 是 边上一点，
点 是 延长线上一点， 交 于点 ，点 是 上一点，连接
于点 ．
(1)写出图1中与 相等的角， ______；
(2)如图1，若 ，在图中找出与 相等的线段并证明；
(3)如图2，若 ，求 的长度．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案；
（2）利用 证明 ，可得 ， ，即可得出答案；
（3）延长 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ，可证得
则 ，设 ，再根据等腰三角形性质可得 ，建立方程求解即
可得出答案.
【详解】（1） ， ，
．
，故答案为： ；
（2） ，理由如下，
， ， ，
，
在 和 中，
，
， ．
，
即 ；
（3）如图2，延长 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
设 ，
， ，
， ．
，
， ，
．
，
解得：
，
，
故 的长度为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角
的性质，全等三角形的 性质与判定，构造全等三角形是解题的关键．
