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第 06 讲 解题技巧专题：构造等腰三角形
目录
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分 MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论： OPQ是等腰三角形。
条件：如图2， ABC中，BD是 ABC的角平分线，DE BC。结论： BDE是等腰三角形。
∠ △
条件：如图3，△在 中，∠ 平分 ，∥ 平分△ ，过点O作 的
平行线与 ， 分别相交于点M，N．结论： BOM、 CON都是等腰三角形。
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 △ 中 △ ， ，
平分 ， 平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于
， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分交 于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ，
的平分线交于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰
三角形．猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的
关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点
O，过点O作 交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ，
间的数量关系是 ．
【考点二 利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
模型分析：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形．
例题：（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在 中， 的平分线
交 于D，过C作 交 于II，交 于N．
(1)求证： 为等腰三角形；(2)求证： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在 中， 平分 ，且
，
(1)若 ，求 的长；
(2)如图2，若 交 于 ，交 于 ，且 为等腰三角形，求
的长．
2．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①
平分 ．点A 为 上一点，过点A作 , 垂足为C，延 长 交
于点B，可证得 ，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图②，在 中， 平分 ， 于点E，若 ，
， 通过上述构造全等的办法，求 的度数；
∠
【问题探究】
（2）如图③，在 中， ， ， 平分 ，
，垂足E在 的延长线上，试探究 和 的数量关系；【问题解决】
（3）如图④是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块
直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
①作 的平分线 ；
②再过点A作 交 于点D．
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【考点三 过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论： ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论： CDE是等腰三角形.
△
例题：（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图， △是 的角平分线， ，交
于点 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
如图，在 中， ， 为 延长线上的一动点，且 ，交
于点 ．(1)如图1，求证： 是等腰三角形．
(2)如图2，当 为 的中点时， 与 有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理
由．
2．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，
动点E在边 上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向
点C运动，连接 交于点P，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系
是______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线
上运动，动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，
交 于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数
量关系？请写出简要的证明过程．
3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在 中， ，点F是
上一点，点E是 延长线上的一点，连接 ，交 于点D，若 ，求证：
．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段 上截取 ，使
，连接 ，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作 交 的延长线
于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出
了新的问题，请你解答，
如图4，在 中，点E在线段 上，D是 的中点，连接 ， ，
与 相交于点N，若 ，求证： ；
【学以致用】
（3）如图5，在 中， ， ， 平分 ，点E在线
段 的延长线上运动，过点E作 ，交 于点N，交 于点D，且
，请直接写出线段 ， 和 之间的数量关系．
【考点四 利用倍角关系构造新等腰三角形】
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论： BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论： ADC是等腰三角形.
△
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA
△
的延长线于点D. 结论： DBC是等腰三角形.
例题：（23-24八年级上·△山西晋中·期中）【问题提出】在 中， ， 为
的角平分线，探究线段 ， ， 的数量关系．
【问题解决】如图1，当 ，过点 作 ，垂足为 ，易得
；由此，如图2，当 时，猜想线段 ， ， 有怎样
的数量关系？给出证明．
【方法迁移】如图3，当 ， 为 的外角平分线时，探究线段 ，
， 又有怎样的数量关系？直接写出结论，并说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）问题背景：在 中， ，点 为线段
一动点，当 满足某种条件时，探讨在线段 、 、 、 四条线段
中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
(1)在图1中，当 时，则可得 ，请你给出证明过程．
(2)当 时，如图2，求证： ；
(3)当 是 的角平分线时，判断 、 、 的数量关系，并证明你的结论．
2．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：
在几何题自中如果有 的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的点拨，同学们会发现了这样几种方法：
①如图a，作 的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作 ，构造等腰三角形．
③如图c，作 ，构造等腰三角形．④如图d，作 ，构造等腰三角形．
参考以上方法同学们就会解决下面问题：
如图1，在 中， ， ，求证 ．
【类比分析】
（2）如图2，在 中，点D、E两点分别在线段AB、BC上， ， ，
过点E作 ．如图2，求证 ．
【学以致用】
（3）如图3， 为等边三角形， ，若 ， ，求
的长．
