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第 09 讲 三角形的证明单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．如果等腰三角形的三边长分别是x，2，6，那么x的值是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．4或8
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分两种情况求解后利用三角形的三边关系验
证；解题的关键是分类讨论．
【详解】解：当 时， ，不能构成三角形，不合题意；
当x=6时， ，能构成等腰三角形；
故选：B．
2．如图， 平分 是 上一点， 于点H，若 ，则点P到射线 的距离是
（ ）
A．5 B．2.5 C．10 D．7.5
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离．角平分上线上的点到这个角两边的距离相等，掌
握角平分线的性质是解题的关键．过点P作 于点G，根据角平分线的性质即可解答．
【详解】解：如图，过点P作 于点G，
平分 ，点P在 上， 于点H，
，
，
，
故选：A．
3．如图，在 中， ， ，直线 是线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角：三角形的内角和定理，求出 的度数，中垂线的性质
结合等边对等角，求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵直线 是线段 的垂直平分线，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
4． 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列判断正确的是（ ）
A．如果 ，则 是直角三角形
B．如果 ，则 是直角三角形
C．如果 ，则 是直角三角形
D．如果 ，则 是直角
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，据三角形内角和定理可得
是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出 是否是直角三角形，熟练掌握三角形内角和
定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，原选项不符合题意；
、由 ，
设 ， ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ， ，
∴ 是锐角三角形，原选项不符合题意；
、由 ，设 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，原选项符合题意；
、∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直角，原选项不符合题意；
故选： ．
5．秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜
叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰
是边 上的一点．下列条件不能说明 是 的角平分线的是（ ）
A． B． 与 的面积相等
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、性质，根据角平分线的定义判断选项
A；过点D作 于点E，作 于点F，由 与 的面积相等， 得出
，再根据角平分线定理的逆定理即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质即可判断选项
C；根据D选项的条件无法判断 是 的角平分线．
【详解】解：A、∵ ，
∴ 是 的角平分线，
故此选项不符合题意；
B、如图，过点D作 于点E，作 于点F，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点D在 的角平分线上，
即 是 的角平分线，故此选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
故此选项不符合题意；
D、当 时，不能确定 是 的角平分线，
故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图，在 中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交 于点D，交 于点E，分别以点D、E
为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点F，射线 交 于点G．若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图，由作图过程可知， 为 的平分线，可得 ．
由题意可得 ，得 ，根据外角的性质可得答案．
【详解】解：由作图过程可知， 为 的平分线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴
故选：D．
7．如图，在 中， ， 是边 上的中线，点E，F分别为 和 上的动点，连接 ，
．若 ， ，则 的最小值为（ ）A．4 B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理的理解和掌握，能求出 是解此题的关键．
题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过C作 于M，根据三线合一定理求出 的长和
，根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式求出 ，根据两点之间线段最短，且垂线段最
短，得出 ，即可得出答案．
【详解】解：过C作 于M，
， ， 是 的中线，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当 、F在 上时， 的最小，
∴ 的最小值为 ，
故选：B．
8．如图，将 沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】连接 ，根据三角形内角和求出 ，再根据 ， ，得
出 ，从而得出答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
由折叠知： ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质，三角形的
外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．
9．如图， 是边长为3的等边三角形，点Q是 边上一点， 于点D，点E为边 延长线
上一点，且满足 ，连接 交 于点F，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅
助线构造全等三角形是解题的关键．作 交 的延长线于点 ，利用全等三角形 判定证出，得到 ， ，再证出 ，得到 ，再利用线段和差即
可求出 的长．
【详解】解：作 交 的延长线于点 ，
是边长为3的等边三角形，
， ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
， ，
又 ， ，
，
，
．
故选：A．
10．如图，在 中， ， ，直角 的顶点P是 的中点，两边 ， 分别
交 ， 于点E，F，过点F作 于点H．现给出以下四个结论：
① ；② 是等腰直角三角形；③ ；④当 时， ，上
述结论中始终正确的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质
是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，
，求出 ，证 ，推出 ， ，推出
，求出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，P是 中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
故①②正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在线段 上截取 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确，符合题意；
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图，在 中， ， ，点 为 的中点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到
， ，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图， 平分 ， ， ， 于点 ， ，则 的长为 ．【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的
性质，过 作 于点 ，则 ，由角平分线的性质得 ， ，又
得 ，最后由 角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助
线构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，则 ，
∴ 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
13．如图，在 中，已知 是 的角平分线，点D是 内一点，且 ，
， ，那么 °．
【答案】58
【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质．
【详解】解：延长 交 于点 ，
是 的角平分线，
，，
，
故答案为： ．
14．如图，在 中， ， ， ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，过 作 于点
，则 ， ，故 ， ，然后由勾股定理和线段和差即可求
解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．15．如图，在等边△ 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，过点 作 ，交 的
延长线于点 ，若 ，则CE的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的定义、等腰三角形的判定，
解题关键是熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的判定．
先根据等边三角形的性质，平行线的性质得到 ，再结合三角形外角的定义得到
，即可得到 ．
【详解】解： ， 是等边三角形，
，
，
，
又 是 的外角，
，
．
故答案为： ．
16．如图， 中， ， ， ，若点 从点A出发，以每秒 的速度沿折
线 运动，设运动时间为 秒（ ）．当点 运动到边 时，t为 秒时， 为等腰三
角形．
【答案】5秒或4.75秒或5.3
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注
意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．先根据勾股定理求出 ．再分 ， ，
三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在 中，∵ ，∴ ．
①如图1，当 时， 为等腰三角形，
，
秒；
②如图2，当 时， 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
秒；
③如图3，当 时，作 于 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
，
，
∴ 秒．
综上所述， 为5秒或4.75秒或5.3秒时， 为等腰三角形．
故答案为：5或4.75或5.3．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图， 中， ， 是边 上一点，过点 作 ，垂足为 ，交 的延长线于
点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，结合垂直和直角三角形的两锐角互余得出 ，
，根据等角的余角相等，得出 ，结合对顶角相等和等角对等边即可证明；
（2）结合题意和直角三角形的两锐角互余得出 ，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半
得出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边对等角，直角三角形的两锐角互余，直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半，
等角的余角相等，等角对的等边，对顶角相等等；熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性
质是解题的关键．
18．如图：已知等边 中， 是 的中点， 是 延长线上的一点，且 ， ，垂
足为 ．
(1)求 的度数．
(2)求证：点 是 的中点．
【答案】(1)30°
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关
性质是解答的关键；
（1）由等边△ 的性质可得 ，然后根据等边对等角可得 ，最后根据
外角的性质可求 的度数；（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得： ，结合（ ）的结论可得
，然后根据等角对等边，可得 ，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得： 是
的中点．
【详解】（1）解： 三角形 是等边 ，
，
又 ，
，
又 ，
；
（2）证明：连接 ，
等边 中， 是 的中点，
由（1）知
又
是 的中点．
19．如图，在 中， ， ， 是 边上的中线，且 ， 的垂直平分
线 交 于F，交 于M．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是∶
（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出 ，再根据 即可得出 的
度数；
（2）根据线段垂直平分线性质得 ，则 ，进而得 ，再根据等腰三角
形性质得 ，则 ，由此可得出结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（2）证明：∵ 的垂直平分线 交 于F，交 于M，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
20．如图，点D是 外一点，连接 ， ，过点C作 ，垂足为E． ， ，
， 的面积为14．
(1)求证： 是 的平分线．
(2)若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长 ，过点C作 于点F，根据 的面积为14， ，求出
，得出 ，根据角平分线的判定，得出结论即可；
（2）在 上取点G，使 ，根据勾股定理求出 ，证明
，得出 ．【详解】（1）证明：延长 ，过点C作 于点F，如图所示：
∵ 的面积为14， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的平分线．
（2）解：在 上取点G，使 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解
题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
21．如图， 是 的角平分线， ， 分别是 和 的高．(1)求证： 垂直平分 ；
(2)若 ， ， 的面积是 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）由角平分线的性质得 ，再由 ，得 ，从而证明结
论；
（ ）根据三角形的面积 ，代入计算即可；
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角
平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线， ， 分别是 和 的高，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ；
（2）解：∵ ，
∴由 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
22．如图，早上 一渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏
东 方向上，航行2个小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东 方向上，同时测得灯塔P正东方向的
避风港Q在B的北偏东 方向上．(1)填空： __________ ， __________海里；
(2)求海港A与灯塔P之间的距离；（结果保留根号）
(3)天气预报显示当天 台风将登陆渔船所在海域，为安全起见，渔船立即沿 方向加速驶向避风港
Q．出于安全考虑，渔船至少需要比台风到达所在海域的时刻提前1个小时抵达避风港Q，求渔船加速后
的最小速度．（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
【答案】(1)30，100
(2)海港A与灯塔P之间的距离为 海里
(3)渔船加速后的最小速度为63海里/时
【分析】（1）根据在 处测得灯塔 在北偏东 求解 ，根据速度，时间求出 即可；
（2）过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，先证明 ，算出 的值后，通
过三角函数可求 的值；
（3）根据速度 路程 时间即可求．
【详解】（1）解： 在 处测得灯塔 在北偏东 方向上，
，
∵渔船以50海里/时的速度从海港A出发沿正东方向航行，
∴ （海里）；
（2）解：如图 ，过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，
海里，
在 中 ，
海里， （海里），
在 中 ，（海里）．
答：海港 与灯塔 之间的距离是 海里；
（3）解： ，
，
，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
渔船从B到Q需要的最长时间为 小时，
∴加速后的最小速度为：
（海里/时），
答：渔船加速后的最小速度 海里/时．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数、方位角、等腰三角形的性质以及三角形外角的定义与性质等，掌握
直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
23．已知点 ， 分别为射线 和 上的一动点（点 ， 都不与点 重合）．过点 作一条直线与
线段 交于点 ，对于线段 给出如下定义：若线段 可以将 拆分成两个等腰三角形，则称线
段 为 的“腰剖线段”．
(1)如图1，当 ，线段 时，画出 的“腰剖线段” ，并写出此时
______ ．
(2)如图2，当线段 时，若存在 的“腰剖线段” ，且 ，则 的面积为______．
(3)设 ．若存在 的“腰剖线段” ．直接写出 的大小（数字或含
的式子表示）．【答案】(1)图见解析，50
(2)
(3) 或 或 或 或 ．
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义，
分类讨论是解答的关键是解答的关键．
（1）根据题意，当点 为线段 中点时， 为 的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角
形的性质和三角形的外角性质求得 ；
（2）根据题意可得 ， ，利用勾股定理求得 ，利用三角形的面积公式求解即
可；
（3）根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分
别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 和 是等腰三角形，且点D为线段 的中点，
如图， 为 的“腰剖线段”，
此时， ，故答案为：50；
（2）解：如图，
∵ ，存在 的“腰剖线段” ，点 在线段 上，
∴ ， ，
在 中，由 得 ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：根据题意，分以下情况：
①当 ， 时， 为 的“腰剖线段”，如图，
此时， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ；
②当 ， 时， 为 的“腰剖线段”，如图，
此时， ， ，
∴ ；
③当 ， 时， 为 的“腰剖线段”，如图，此时， ， ，
∴ ；
④当 ， 时， 为 的“腰剖线段”，
此时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
⑤∵ ，
∴当 时， ， ，此时，不存在 为 的“腰剖线段”；
⑥当 ， 时， 为 的“腰剖线段”，如图，
此时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
⑦∵ ，∴当 时， ， ，此时，不存在 为 的“腰剖线段”，
综上，满足条件的 度数为 或 或 或 或 ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．如图，已知 为边长为 的等边三角形，AD为 边上的高， ， 分别为边 ， 上的动
点，将 沿直线 折叠，使点 的对应点 刚好落在AD上，连接 ．
(1)如图 ，当点 与 重合时，求线段 的长．
(2)如图 ，当 时，判断 的形状，并说明理由．
(3)如图 ，当 、 、 三点共线时，求 的度数．
(4)当 在何处时，点 是 的中点，请直接写出结果．
【答案】(1) ；
(2)直角三角形，理由见解析；
(3) ；
(4)当点 与点 重合或与点 重合时，点 为 的中点．
【分析】 根据等边三角形的三线合一定理可知AD为 边上的高，则点 是 边上的中点，根据折
叠的性质可知 ；
根据平行线的性质和折叠的性质可知，当 时， 和 是等边三角形，从而可得
，根据勾股定理可得 ，所以可以求出 ，从而可知 ，所以可
得 是直角三角形；
连接 ，设 ，因为 、 、 三点共线所以 ，根据等边三角形的性质可知
，根据折叠的性质可知 ，解方程可以求出 的度数；
当点 为 的中点时， ，所以可得当点 与点 重合或与点 重合时，点 为 的
中点．
【详解】（1）解：如图 所示，是等边三角形，AD为 边上的高，
，
根据折叠的性质可知： ；
（2）解： 是直角三角形，
理由如下：
如图 所示，
是等边三角形，AD为 边上的高，
， ，
，
，
，
根据折叠的性质可知 ，
和 是等边三角形，
，
，
，
， ，
根据折叠的性质可得： ，
，
，
，， ，
，
是直角三角形；
（3）解：如图 所示，连接 ，设 ，
根据折叠的性质 ，
是等边三角形，AD为 边上的高，
，
则有
、 、 三点共线时，
，
，
，
，
解得： ，
，
当 、 、 三点共线时， ；
（4）解：如下图所示，
当点 为 的中点时， ，
当点 在点 的位置时，点 是 的中点，
如下图所示，当点 与点 重合，点 与点 重合时，点 为 的中点，
综上所述，当点 与点 重合或与点 重合时，点 为 的中点．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角
三角形的性质、勾股定理．解决本题的关键是根据折叠的性质找到边和角之间的相等关系．
25．问题探索：
（1）如图1，在 中， ， ， 为 中点，点 分别在边 上且
，则 与 的数量关系是______；
问题解决：
（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃 ，满足 ， ， ，
，花圃内铺设了一条小路 ， 平分 ，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通
道 与小路 相连，且 ，入口点E恰好在 的延长线上，解答下列问题：
①求证： ，
②求入口到点A的距离 的长．
【答案】（1）证明见详解，（2） 证明见详解，
【分析】（1）连接 ，根据等腰①三角形的性质得② 和 ，则 和
，进一步求得 ，即可证明 ，则有 ；
（2）①过点D作 于点F，作 交 的延长线于点H，则 ，由角平
分的性质得 ，进一步求得 ，即可证明 ，则 ；
②在BD上截取 ，使得 ，连接 、 和 ，则 为等边三角形，有 和
，且 为等边三角形，有 ，进一步得 ，即可证明 ，
有 ，求得 和 ，结合题意可得 ，利用 即可．
【详解】解：（1）连接 ，如下图：∵ ， ，
∴
∵D是 的中点
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ；
（2）①过点D作 于点F，作 交 的延长线于点H，如图，
则 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，∴ ，
∴ ；
②在BD上截取 ，使得 ，连接 、 和 ，如图，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判
定和性质和含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和全等三角形的性质．
